1、二次函数与幂函数学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知函数，m，n满足且，则当时，()A. B. C. D. 2. 已知二次函数图象上有三点，则当m在实数范围内逐渐增加时，面积的变化情况是()A. 逐渐增加B. 先减小后增加C. 先增加后减小D. 保持不变3. 已知幂函数与的部分图象如图所示，直线，与，的图象分别交于A、B、C、D四点，且，则()A. 2B. C. 1D. 4. 已知函数，若对于任意实数 x，函数与的值至少有一个为正值，则实数 m 的取值范围是A. B. C. D. 5. 已知点在幂函数的图
2、象上，则的单调减区间为()A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）6. 已知函数，实数m，n满足不等式，则()A. B. C. D. 7. 已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是()A. 函数在R上不具有单调性B. 当时，在上递减C. 若的单调递减区间是则a的值为D. 若在区间上是减函数，则a的取值范围是E. 在区间上不可能是减函数8. 下列选项中说法正确的是()A. 函数的单调减区间为B. 幂函数过点，则C. 函数的定义域为，则函数的定义域为D. 若函数的值域为R，则实数a的取值范围是9. 已知函数，给出下列命题，其中是真命题的是()
3、A. 若，则在区间上是增函数B. 存在，使得为偶函数C. 若，则的图象关于对称D. 若，则函数有2个零点三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）10. 若R，且的最大值为，则_.11. 已知函数在上是递减的，则a的取值范围是_.12. 已知函数在区间上单调且有最大值8，则实数t的值为_.13. 已知函数对于任意的都存在使得成立，则实数a的取值范围是_.四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）14. 本小题分已知函数画出的图象，并写出的增区间不需要证明；若的图象与在上没有公共点，求k的取值范围15. 本小题分已知幂函数在区间上单调递减.求函数的解析式;
4、若在上恒成立，求实数a的取值范围.16. 本小题分已知函数是幂函数，且求函数的解析式；若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围；当时，恒成立，求实数a的取值范围答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题设，求出直线AB的方程，根据的开口方向即可得出与直线的大小关系，从而得出答案【解答】解：设，则直线AB的方程为，即A，B为直线与的图象的两个交点，的图象开口向上，当时，即，故选：2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质、三角形与梯形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题如图所示，当m在实数范围内逐渐增加时
5、，面积，代入计算即可得出结论【解答】解：如图所示，当m在实数范围内逐渐增加时，面积保持不变故选：3.【答案】C【解析】【分析】本题考查幂函数的性质以及指数幂的运算性质、函数图象的应用，属于中档题.求出A，B，C，D的坐标，利用，化简即可求出结果.【解答】解：因为幂函数与经过点，且在第一象限内为增函数，所以，所以，因为，所以，又因为，因为，所以故选4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查一元二次函数的图象和性质的应用，属于中档题对于一元二次函数，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式，当时，显然不成立；当时，因为，所以仅对对称轴进行讨论即可【解答】解：当时，当x接近时，函数与均为负值，显然不成立
6、；当时，函数与，显然当时，不成立；当时，因为时，若对称轴：，即时，结论显然成立；若，只要即可，解得，综上，实数m的取值范围是，故选5.【答案】A【解析】【分析】本题考查幂函数的性质，考查复合函数单调性的求法，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”由幂函数的性质求得m，把点的坐标代入幂函数解析式求得a，再由复合函数的单调性求解【解答】解：由题意，则，得，函数化为令，由，得，外层函数为定义域内的减函数，而内层函数的对称轴为，且在上为增函数，函数的单调减区间为故选：6.【答案】AC【解析】【分析】本题考
7、查了函数奇偶性，单调性，指数函数性质，对数函数性质以及幂函数，属于中档题.利用函数的性质可以判断为奇函数，利用导数可知其在R上单调递增，进而得出：，对于A：根据题意并结合指数函数性质判断选项A；对于B：取特殊值来排除选项B；对于C：根据题意并结合对数函数性质判断选项C；对于D：根据题意并结合幂函数性质判断选项【解答】解：函数，函数定义域为R，且，故函数为奇函数.又函数在R上单调递增.，可得：，即：对于A：， ，故选项A正确；对于B：令，可验证B错误；对于C：，故选项C正确；对于D：函数在R上是增函数，且，故选项D错误.故答案选：7.【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查了二次函数，函数单调性
8、和分类讨论思想，属于中档题.对a进行讨论，当时，利用一次函数的单调性进行判断，当时，利用二次函数的单调性对选项一一进行分析判断即可得.【解答】解：当时，在R上是减函数， A错误；当时，其单调递减区间是因此在上递减，B正确；由的单调递减区间是得，a的值不存在，C错误；在D中，当时，在上是减函数；当时，由，得，所以a的取值范围是，D正确；由在区间上是减函数得，解得，因此在区间上可能是减函数，E错误.故选：BD8.【答案】BD【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性、基本初等函数的概念及其性质，属于中档题.根据各基本初等函数的概念与性质以及复合函数单调性的判断方法进行逐个判断即可.【解答】解：A项，
9、令，可得或，函数的定义域为又函数在上单调递减，且函数在定义域上是增函数，函数的单调减区间为，故A错误；B项，是幂函数，又的图象过点，故B正确；C项，函数的定义域是，函数中，解得，故的定义域为，故C错误；D项，若函数的值域为R，当时，显然成立；当时，则二次函数与x轴必有交点，且开口向上，即，解得，所以实数a的取值范围是，故D正确.故选9.【答案】AB【解析】【分析】本题考查命题真假性的判定，涉及函数的单调性与奇偶性以及对称性及函数的零点存在性定理以及二次函数的性质.利用二次函数的性质逐项判断即可.【解答】解：，恒成立，则对称轴为，在区间上是增函数，故A正确；当时，函数，则，为偶函数，故B正确；取
10、，函数化为，满足，但的图象不关于对称，故C错误;，即，的零点即为与的交点，由图可知，有4个零点，故D错误.故答案为10.【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，考查不等式问题，是一道中档题根据x的范围以及函数的最大值得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值即可【解答】解：若的最大值为，同理，+得：，由、得：，当时，分别代入、得：，故，故答案为：11.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，属于一般题由于函数解析式的二次项系数a不确定，故分，和三种情况进行研究，结合一次函数和二次函数的性质进行分析，最后综合讨论结果，即可求得实数a的取值范围【解答】解：函数在区间上是递减的
11、，当时，在R上单调递减，符合题意；当时，函数为二次函数，开口向下，二次函数在对称轴左侧单调递增，不可能在区间上递减，故不符合题意；当时，函数为二次函数，对称轴为，二次函数在对称轴左侧单调递减，且在区间上是递减的，解得，实数a的取值范围是故答案为12.【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，是一道基础题先求出函数的对称轴，结合函数的单调性，得到关于t的方程即可得到答案【解答】解：易知函数图象的对称轴方程是，因为函数在区间上单调，所以或若，则函数在区间上单调递增，故，解得若，则函数在区间上单调递减，故，解得舍去，综上所述，故答案为13.【答案】【解析】【分析】本题考查
12、恒成立问题和存在问题的求解，二次函数的图象和性质属于较难题目.对任意的，都存在，使得，即在上函数的值域为在值域的子集，求解即可.【解答】解：在上的值域为，对于任意的都存在使得成立，在上的值域为的子集，当时，符合，当时，函数在上为增函数，故时，不符合题意，当时，函数在上为减函数，解得此时a的取值范围为，综上，a的取值范围为故答案为14.【答案】解：的图象如图增区间为，写作，亦可时，方程，化为：，即在上无解，令，由，可知：上，恒成立，等价于故k的取值范围是【解析】本题考查二次函数图像以及图像的变换，属于中档题.由题意，画出的图像，然后将x轴下方的部分翻转到x轴上方，观察图像，从左到右的升降趋势判断
13、得到单调区间;由题意化为在上无解，令，等价于解之即可得到所求15.【答案】解：幂函数在区间上单调递减.，解得，且，故的解析式为在上恒成立，在上恒成立，只需即在上恒成立，当时，则，综上所述， a的取值范围为【解析】本题考查不等式的恒成立问题以及幂函数的性质，属于中档题.由题意可得，又且，故即可求解；由在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，解得在上的最大值即可求解；16.【答案】解：函数是幂函数，且，则可得解得，则所求函数解析式为若函数在区间上单调递减，则函数在区间上单调递减，故，又在区间上恒成立，则，即，综上可得，在上恒成立在上恒成立，设，当时，恒成立，当时，当时，故，当时，当时，故，综上【解析】本题考查幂函数的定义，复合函数单调性，函数恒成立问题，属于较难题.由幂函数定义及单调性可得解得，可求函数解析式.由符复合函数单调性，可得在区间上单调递减，则，又在区间上恒成立，可得，综合可得a的取值范围.利用参数分离法求解恒成立问题，结合换元法，设，对t进行分类讨论，即可求出a的取值范围.