1、第二章 基本初等函数（）2.3 幂函数 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(重点、易混点)2结合幂函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx12的图象，掌握它们的性质(重点、难点)3能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)1.结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养2借助幂函数的性质，提升逻辑推理的数学素养.自 主 预 习 探 新 知 1幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数yxx思考：幂函数与指数函数的自变量有何区别？提示：幂函数是形如 yx(R)，自变量在底数上，而指数函数是形如 yax(a0 且 a1)，自变量在指数上2幂函数的图
2、象,在同一平面直角坐标系中，画出幂函数 yx，yx2，yx3，yx12，yx1 的图象如图所示：3幂函数的性质,yxyx2yx3yx12yx1 定义域RRR 值域R0，)R 奇偶性奇偶_ _ 0，)x|x00，)y|y0 奇非奇非偶奇单调性增函数x0，)时，函数x(，0时，函数函数函数x(0，)时，函数x(，0)时，减函数减增增增减1下列函数中不是幂函数的是()Ay x Byx3 Cy3x Dyx1C 只有 y3x 不符合幂函数 yx 的形式，故选 C.2已知 f(x)(m1)xm22是幂函数，则 m()A2B1 C3D0D 由题意可知 m11，即 m0，f(x)x2.3已知幂函数f(x)x的
3、图象过点2，22，则f(4)_.12 由f(2)22 可知2 22，即12，f(4)41212.合 作 探 究 释 疑 难 幂函数的概念【例 1】已知 y(m22m2)x1m212n3 是幂函数，求 m，n的值解 由题意得m22m21，m210，2n30，解得m3，n32，所以 m3，n32.判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 yx 为常数的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2底数为自变量；3系数为 1.跟进训练1.(1)在函数 y1x2，y2x2，yx2x，y1 中，幂函数的个数为()A0 B1 C2 D3(2)若函数 f(
4、x)是幂函数，且满足 f(4)3f(2)，则 f12 的值等于_(1)B(2)13(1)y1x2x2，是幂函数；y2x2 由于出现系数 2，因此不是幂函数；yx2x 是两项和的形式，不是幂函数；y1x0(x0)，可以看出，常函数 y1 的图象比幂函数 yx0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数 y1 不是幂函数(2)设 f(x)x，f(4)3f(2)，432，解得 log23，f1212log2313.幂函数的图象及应用【例 2】(教材改编题)点(2，2)与点2，12 分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当 x 为何值时，有：(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x
5、)g(x)；(2)当 x1 时，f(x)g(x)；(3)当 x(0,1)时，f(x)cbaBabcdCdcabDabdc(2)函数 yx121 的图象关于 x 轴对称的图象大致是()A B C D(1)B(2)B(1)令 a2，b12，c13，d1，正好和题目所给的形式相符合 在第一象限内，x1 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以 abcd.故选 B.(2)yx12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数 yx121 的图象可看作由 yx12的图象向下平移一个单位得到的(如选项 A 中的图所示)，将 yx121 的图象关于 x 轴对称后即为选项 B.幂函数性质的综
6、合应用 探究问题1幂函数 yx 在(0，)上的单调性与 有什么关系？提示：当 0 时，幂函数 yx 在(0，)上单调递增；当 30.7.(2)函数 yx3 是增函数，且 0.210.23，0.2131.812.又y1.8x 是增函数，且1213，1.8121.813，2121.813.(4)0.91210912，1.11.112.1.2109 1.1，且 yx12在0，)上单调递增，1.212109121.112，即 1.2120.912 1.1.把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：(1)250.5与130.5；(2)231与351；(3)2334与3423.解(1)因为幂函数 yx0
7、.5 在0，)上是单调递增的，又2513，所以250.5130.5.(2)因为幂函数 yx1 在(，0)上是单调递减的，又23351.(3)因为函数 y123x为 R 上的减函数，又3423，所以23232334.又因为函数 y2x23在(0，)上是增函数，且3423，所以34232323，所以34232334.比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例 33中的 1.812课 堂 小 结 提 素 养 1核心要点：(
8、1)幂函数的概念是区别指数函数及处理幂函数相关问题的依据判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合 yx(为常数)的形式(2)幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题2数学思想：幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数 yx(为常数)同五个函数(yx，yx2，yx3，yx1，yx12)图象与性质的关系1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)()(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限()(3)当幂指数 取 1,3，12时，幂函数 yx 是增函数()(4)当幂指数1时，幂函数yx在定义域上是减函数()答案(1)(2)(3)(4)2幂函数的图象过点(2，2)，则该幂函数的解析式是()Ayx1 Byx12Cyx2Dyx3B 设 f(x)x，则 2 2，12，f(x)x12.选 B.3函数 yx54的图象是()A BC DC 函数 yx54是非奇非偶函数，故排除 A、B 选项又541，故选 C.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!