1、数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 第七节数学归纳法k1第一个值n0(n0N*)数学归纳法数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 12n(n3)条时，第一步检验n等于_答案：3小题体验2(教材习题改编)用数学归纳法证明“1aa2an11an21a(a1)”当验证 n1 时，上式左端计算所得为_答案：1aa2数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1数学归纳法证题时初始值n0不一定
2、是12推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法3解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础否则将会做大量无用功数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 判断正误(请在括号中打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时
3、，左边式子应为122223()小题纠偏 数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点一 用数学归纳法证明等式题组练透1(易错题)用数学归纳法证明：124 146 16812n2n2n4n1(nN*)证明：(1)当n1时，左边12121218，右边141118，左边右边，所以等式成立数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)假设nk(kN*)时等式成立，即有124 146 16812k2k2k4k1，则当nk1时，124 146 168 12k2k2 12k12k12k4k114k1k2 k
4、k214k1k2k124k1k2 k14k2k14k11所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对于一切nN*等式都成立数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2设 f(n)112131n(nN*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)证明：(1)当 n2 时，左边f(1)1，右边211211，左边右边，等式成立(2)假设 nk(k2，kN*)时，结论成立，即 f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当 nk1 时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)fk1 1k1
5、 k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当 nk1 时结论仍然成立由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 谨记通法用数学归纳法证明等式应注意的2个问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值(2)由nk到nk1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突
6、破 课 后 三 维 演 练 考点二 用数学归纳法证明不等式典例引领已知函数f(x)x32x2，设0a112，an1f(an)，nN*，证明：an 1n1证明：(1)当n1时，0a112，显然结论成立因为当x0，12 时，0f(x)16，所以0a2f(a1)1613故n2时，原不等式也成立数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)假设当 nk(k2，kN*)时，不等式 0ak 1k1成立因为 f(x)x32x2 的对称轴为直线 x13，所以当 x0，13 时，f(x)为增函数所以由 0ak 1k113，得 0f(ak)f1k1 于是，0ak1
7、f(ak)1k1321k12 1k2 1k2 1k2k42k12k2 1k2所以当 nk1 时，原不等式也成立根据(1)(2)，知对任何 nN*，不等式 an 1n1成立数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法用数学归纳法证明不等式应注意的2个问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突
8、 破 课 后 三 维 演 练 即时应用已知f(n)1 123 133 143 1n3，g(n)32 12n2，nN*(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解：(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)98，g(2)118，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)251216，g(3)312216，所以f(3)g(3)数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)由(1)猜想 f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当 n1,2,3 时，不等
9、式显然成立，假设当 nk(k3)时不等式成立，即 1 123 133 143 1k332 12k2那么，当 nk1 时，f(k1)f(k)1k1332 12k21k13因为 f(k1)g(k1)32 12k21k133212k12 12k1212k21k13 k32k13 12k2 3k12k13k20，所以 f(k1)g(k1)由可知，对一切 nN*，都有 f(n)g(n)成立数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点三 归纳猜想证明 典例引领已知数列an的前 n 项和 Sn 满足：Snan2 1an1，且 an0，nN*(1)求 a1，
10、a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性解：(1)当 n1 时，由已知得 a1a12 1a11，a212a120a1 31(a10)当 n2 时，由已知得 a1a2a22 1a21，将 a1 31 代入并整理得 a222 3a220a2 5 3(a20)同理可得 a3 7 5猜想 an 2n1 2n1(nN*)数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)证明：由(1)知，当 n1,2,3 时，通项公式成立假设当 nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即 ak 2k1 2k1由于 ak1Sk1Skak12 1ak1ak2 1
11、ak，将 ak 2k1 2k1代入上式，整理得a2k12 2k1ak120，ak1 2k3 2k1，即 nk1 时通项公式成立由可知对所有 nN*，an 2n1 2n1都成立数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法“归纳猜想证明”的3步曲(1)计算：根据条件，计算若干项(2)归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论(3)证明：用数学归纳法证明数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用(2017常德模拟)设 a0，f(x)axax，令 a11，an1f(an)，nN*
12、(1)写出 a2，a3，a4 的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解：(1)a11，a2f(a1)f(1)a1a；a3f(a2)a a1aa a1a a2a；a4f(a3)a a2aa a2a a3a猜想 anan1a(nN*)数学归纳法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)证明：易知，n1 时，猜想正确假设 nk(k1 且 kN*)时猜想正确，即 akak1a，则 ak1f(ak)aakaakaak1aaak1aak1a1ak11a这说明，nk1 时猜想正确由知，对于任何 nN*，都有 anan1a板块命题点专练（十）点击此处
