1、第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义5.1.1 变化率问题 必备知识自主学习导思1.什么是平均速度？什么是瞬时速度？两者有何联系？2什么是割线的斜率？什么是切线的斜率？两者有何联系？1.变化率对于高台跳水中运动员的重心相对水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)的函数 yh(t).(1)平均速度在 t1tt2 这段时间里的平均变化率：时间的改变量：t_高度的改变量：y_平均变化率 yt _t2t1h(t2)h(t1)h（t2）h（t1）t2t1(2)瞬时速度瞬时速度：物体在_的速度称为瞬时速度极限：函数 h(t)在 t2 处的瞬时速度是函数 h(t)从 2
2、到 2t 的平均变化率在t0 时的极限，即limt0yt _某一时刻limt0h（2t）h（2）t(1)t，y 以及平均变化率一定为正值吗？提示：t，y 可正可负，y 也可以为零，但 t 不能为零，平均变化率yt 可正可负可为零(2)函数平均变化率的几何意义提示：如图所示，函数 f(x)在区间x1，x2上的平均变化率，就是直线 AB 的斜率，其中 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，事实上 kABf（x2）f（x1）x2x1yx.(3)物体的平均速度能反映它在某一时刻的瞬时速度吗？提示：不能，物体的瞬时速度是指某一时刻的速度，而平均速度是指某一段时间或一段路程的速度2抛物线的切线的斜率
3、(1)割线的斜率：设 P0(2，f(2)，P(2x，f(2x)是抛物线 yf(x)上任意不同两点，则割线 P0P 的斜率为f（2x）f（2）2x2f（2x）f（2）x.(2)过点 P0(2，f(2)切线的斜率：当 P 点逐渐靠近 P0 点，即 x 逐渐变小，当 x0时，瞬时变化率 limx0f（2x）f（2）x就是 yf(x)在 2 处的_的斜率，即k limx0f（2x）f（2）x.切线(1)曲线的割线 P0P 与曲线在 P0 的切线有什么关系？提示：当横坐标间隔|x 无限变小时，点 P 无限趋近于点 P0，割线 P0P 无限趋近于点 P0 处的切线 P0T.割线 P0P 的斜率 k 无限趋
4、近于点 P0 处的切线 P0T 的斜率 k0.(2)曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？提示：不一定，如图所示，可知切线与函数的图象不一定只有一个交点1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)在平均变化率的定义中，自变量 x 在 x0 处的变化量 x 可取任意实数()提示：在平均变化率的定义中，自变量 x 在 x0 处的变化量 x 可以是正数，也可以是负数，但不能为 0.(2)函数 yf(x)从 x1 到 x2 的平均变化率yx f（x2）f（x1）x2x1公式中 x 与 y 同号()提示：函数 yf(x)从 x1 到 x2 的平均变化率yx f（x2）f（x1）x2x1公式中 x 与 y
5、可能同号，也可能异号(3)物体在某一时刻 t 的瞬时速度即在t，tt上，当 t 较小时的平均速度()提示：物体在某一时刻 t 的瞬时速度是当 t0 时，平均速度的极限2函数 yf(x)，自变量 x 由 x0 改变到 x0 x 时，函数的改变量 y 为()A.f(x0 x)Bf(x0)xC.f(x0)x Df(x0 x)f(x0)【解析】选 D.yf(x0 x)f(x0).3(教材练习改编)曲线 yx22x4 在点(1，3)处的切线的斜率为()A.0 B1 C1 D12【解析】选 A.k limx0f（1x）f（1）x limx012x（x）222x43x limx0 x0.关键能力合作学习类型
6、一 求运动物体的平均速度(数学抽象、数学运算)1已知函数 yf(x)x21，则在 x2，x0.1 时，y 的值为()A.0.40 B0.41 C0.43 D0.44【解析】选 B.yf(2x)f(2)f(2.1)f(2)2.12220.41.2已知一物体的运动方程为 yf(t)2t21，其中 t 的单位是 s，路程单位为 m，那么物体在时间1，1t内的平均速度为()A.4 B4tC.42t D2t【解析】选 C.由题意，yf(1t)f(1)2(1t)2134t2(t)2，所以yt 4t2（t）2t42t.3一个物体做直线运动，位移 s(单位：m)与时间 t(单位：s)之间的函数关系为 s(t)
7、5t2mt，且这一物体在 2t3 这段时间内的平均速度为 26 m/s，则实数 m 的值为()A.2 B1 C1 D6【解析】选 B.由已知，得s（3）s（2）3226，所以(5323m)(5222m)26，解得 m1.求平均变化率的步骤物体的运动方程为 yf()x，求在区间x0，x的平均变化率的步骤：(1)求时间的改变量 xxx0；(2)求函数值的变化量 yf()xf()x0；(3)求平均变化率 yx.提醒：x，y的值可正、可负，但x0，当fc为常数时，y0.【补偿训练】1.物体甲、乙在时间 0 到 t1 范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是()A.在 0 到 t0 范围内甲的平均
8、速度大于乙的平均速度B.在 0 到 t0 范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在 t0 到 t1 范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在 t0 到 t1 范围内甲的平均速度小于乙的平均速度【解析】选 C.在 0 到 t0 范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同；在 t0 到 t1 范围内，甲、乙所用的时间相同，而甲走的路程较多，所以甲的平均速度较大2若一质点按规律 s8t2 运动，则在一小段时间2，2.1内的平均速度是()A4 B4.1 C0.41 D1.1【解析】选 B.v st s（2.1）s（2）2.122.12220.14.1.3一质点的运动方程是 s42t2，则
9、在时间段1，1t内相应的平均速度为()A.2t4 B2t4C.2t4 D2t4【解析】选 D.v st 42（1t）24212t4t2（t）2t2t4.类型二 求瞬时速度(数学抽象、数学运算)【典例】枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是 5.0105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为 1.6103s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度四步内容理解题意条件：加速度是5.0105 m/s2枪弹从枪口射出时所用时间为1.6103s结论：枪弹射出枪口时的瞬时速度思路探求利用位移公式，求出位移的变化量s，时间的变化量t，最后求出即为所求limt0st1求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间
10、改变量 t 和位移改变量 ss(t0t)s(t0).(2)求平均速度 v st.(3)求瞬时速度，当 t 无限趋近于 0 时，st 无限趋近于常数 v，即为瞬时速度2求yx(当 x 无限趋近于 0 时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把 x 作为一个数来参与运算(2)求出yx 的表达式后，x 无限趋近于 0，可令 x0，求出结果即可1一质点运动的方程为 s53t2，若该质点在 t1 到 t1t 这段时间内的平均速度为3t6，则该质点在 t1 时的瞬时速度是()A.3 B3 C6 D6【解析】选 D.vlimt0 (3t6)6.2质点 M 按规律 s2t23 做直线运动(位移单位：m，时间单
11、位：s)，则质点 M 在t2 s 时的瞬时速度是()A.2 m/s B6 m/s C4 m/s D8 m/s【解析】选 D.vlimt02（2t）23（2223）tlimt08t2（t）2tlimt0 (82t)8(m/s).类型三 求曲线的切线方程(数学抽象、数学运算)角度 1 求切线方程【典例】求函数 y 4x2 在 x2 处的切线方程【思路导引】先求出变化量，再求平均变化率，再求切线的斜率，进而求切线方程【解析】因为 y4（x2）2 422 4（x2）2 1（x）24x（x2）2，所以yx x4（x2）2，所以 k limx0yx limx0 x4（x2）2 441.又 x2 时 y 4
12、22 1.所以切线方程为 y11(x2)，即 xy30.在本例中“x2”改为“x2”结果如何？【解析】因为 y4（x2）2 4（2）2 4（x2）2 1（x）24x（x2）2，所以yx x4（x2）2，所以 k limx0yx limx0 x4（x2）2 44 1.又 x2 时 y4（2）2 1.所以切线方程为 y11(x2)，即 xy30.角度 2 求切点坐标【典例】已知曲线 y2x27 在点 P 处的切线方程为 8xy150，则切点 P 的坐标为()A(2，1)B(0，7)C(2，1)D(3，11)【思路导引】求出切点的横坐标，进而求出切点坐标【解析】选 C.设 P 点坐标为(x0，2x2
13、0 7)，则 limx0f（x0 x）f（x0）x limx02x20 2x0 x（x）272x20 7x limx0 (4x02x)4x0.所以 4x08，解得 x02.所以 P 的坐标为(2，1).求曲线上某点处切线方程的三个步骤1已知点 P(1，1)为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，当 x0 时，若 kPQ 的极限为2，则在点 P 处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2【解析】选 B.由题意可知，曲线在点 P 处的切线方程为 y12(x1)，即y2x1.2已知函数 f(x)ax2b 在点(1，3)处的切线斜率为 2，则ba _【解析】因为斜率为 2，又 limx
14、0f（1x）f（1）x limx0a（1x）2ax limx0 (ax2a)2a，所以 2a2，所以 a1.又 f(1)ab3，所以 b2.所以ba2.答案：23下面是一段登山路线图同样是登山，但是从 A 处到 B 处会感觉比较轻松，而从B 处到 C 处会感觉比较吃力想想看，为什么？你能用数学语言来量化 AB 段、BC段曲线的陡峭程度吗？【解析】山路从 A 到 B 高度的平均变化率为 kAByx 100500 15，山路从 B 到 C高度的平均变化率为 kBCyx 20107050 12，所以 kBCkAB，所以山路从 B 到 C 比从 A 到 B 陡峭【补偿训练】1.设函数 f(x)在 x1
15、 处切线斜率为 2，则 limx0f（1x）f（1）3x_【解析】根据条件知 k limx0f（1x）f（1）x2，所以 limx0f（1x）f（1）3x13 limx0f（1x）f（1）x23.答案：232已知函数 yf(x)1x，则此函数在区间1，1x上的平均变化率为_【解析】yx f（1x）f（1）x11x1x11x.答案：11x课堂检测素养达标1已知一直线运动的物体，当时间从 t 变到 tt 时物体的位移为 s，那么limt0st 为()A时间从 t 变到 tt 时物体的速度B在 t 时刻该物体的瞬时速度C当时间为 t 时物体的速度D时间从 t 变到 tt 时物体的平均速度【解析】选
16、B.st 表示从时间 t 到 tt 时物体的平均速度，从而limt0st 表示在 t时刻该物体的瞬时速度2如图，函数 yf(x)在1，3上的平均变化率为()A1 B1 C2 D2【解析】选 B.yx f（3）f（1）311.3(2021汕头高二检测)一个物体的运动方程为 s1tt2.其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 t3 秒时的瞬时速度是()A7 米/秒 B6 米/秒 C5 米/秒 D8 米/秒【解析】选 C.s1(3t)(3t)2(1332)t25t，st t5，所以瞬时速度limt0st limt0 (t5)5(米/秒).4(教材练习改编)函数 f(x)x2x 在区间2，t
17、上的平均变化率是 2，则 t_【解析】因为函数 f(x)x2x 在区间2，t上的平均变化率是 2，所以f（t）f（2）t（2）t2t（2）2（2）t22，即 t2t62t4，从而 t23t100，解得 t5 或 t2(舍去).答案：55蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为 T(t)120t5 15，其中 T(t)为体温(单位：)，t 为太阳落山后的时间(单位：min).(1)从 t0 到 t10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从 t0 到 t10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？【解析】(1)在 t0 和 t10 时，蜥蜴的体温分别为 T(0)12005 1539，T(10)120105 1523，392316()，故从 t0 到 t10，蜥蜴的体温下降了 16.(2)平均变化率为T（10）T（0）101610 1.6.它表示从 t0 到 t10，蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6.