1、第四节函数yAsin(x)的图像性质及模型应用授课提示：对应学生用书第60页基础梳理1五点法画函数yAsin(x)的图像(1)列表：Xx02xsin X01010y0A0A0(2)描点：，(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到yAsin(x)在区间长度为一个周期内的图像2由函数ysin x的图像变换得到yAsin(x)的图像的步骤12个小环节构成6条路线：(以线路为例)把ysin x的图像向左平移(0)个单位长度，得到ysin(x)的图像；再把所得图像上的所有点的横坐标变为原来的(0)倍，纵坐标不变，得到ysin(x)；最后把所有点的纵坐标变为原来的A(A0)倍，横坐标不变，就得到y
2、Asin(x)的图像3yAsin(x)的物理意义yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx1平移变换的两种单位长度由ysin x的图像变换到yAsin(x)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位长度；先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位长度2yAsin(x)b与最值的关系A，b.四基自测1(基础点：三角函数模型)电流i(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系是i5sin，t0，)，则电流i变化的初相、周期分别是()A.，B.，C.， D，答案：A2(易错点：平移变换)若将函数y2sin 2x
3、的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为()Ax(kZ)Bx(kZ)Cx(kZ)Dx(kZ)答案：B3(基础点：由变换得解析式)把函数ysin x的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移个单位，得到的函数图像的解析式是()Aycos 2x Bysin 2xCysin Dysin答案：A4(基础点：求变换单位)由曲线C1：ycos x，向左平移_个单位长度，再将横坐标缩小到原来的_倍，得到曲线C2：ycos.答案：授课提示：对应学生用书第61页考点一函数yAsin(x)的图像及变换挖掘1图像变换/ 自主练透例1(1)(2017高考全国卷)已知曲线C
4、1：ycos x，C2：ysin，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2解析易知C1：ycos xsin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数ysin的图像，再把所得函数的图像向左平移个单位长度，可得函
5、数ysinsin的图像，即曲线C2，故选D.答案D(2)已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)cos x的图像，只需将yf(x)的图像()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度解析因为T，故2，因此g(x)cos 2xsin，f(x)sinysinsin.答案A挖掘2作yAsin(x)的图像/ 互动探究例2设函数f(x)cos(x)的最小正周期为，且f.(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图像；(3)由ysin x经过怎样的变换得到f(x)cos(x)的图像(xR)解析(1)最小正周期T，2.fcos
6、cossin ，sin .0，.(2)由(1)得f(x)cos，列表：x02x0f(x)1010图像如图所示(3)f(x)cossinsin，由ysin x向左平移个单位长度，得到ysin的图像，再将图像的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，得到ysin的图像，即f(x)cos的图像破题技法函数yAsin(x)(A0，0)的图像的作法(1)五点法：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，令zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图像(2)图像变换法：由函数ysin x的图像通过变换得到yAsin(x)的图像有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后
7、平移”提醒：三角函数图像左右平移时应注意的问题(1)弄清楚平移方向，平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像(2)注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数(3)由yAsin x的图像得到yAsin(x)的图像时，需平移的单位数应为，而不是|.考点二由函数图像求解析式挖掘由图像写解析式/ 互动探究例(1)函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图像如图所示，则将yf(x)的图像向右平移个单位长度后，得到的函数图像的解析式为()Aysin 2xBysinCysin Dycos 2x解析由题图知，A1，T，所以T，所以2.所以22k，kZ.又|，所以，所以f(
8、x)sin，所以f(x)的图像向右平移个单位长度得g(x)sinsin.故选B.答案B(2)已知函数yf(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递增区间为_解析由图可知，A2，即T，A2，故2，又f2，所以2，故，所以f(x)2sin，由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)，故f(x)的单调递增区间为(kZ)答案(kZ)破题技法由三角函数图像确定解析式yAsin(x)的解析式，关键是根据图像所反映出的性质求振幅A，周期T及.(1)求，确定函数的周期T，则.(2)求，常用方法有：代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像
9、的最高点或最低点代入五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图像的“峰点”)为x；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图像的“谷点”)为x；“第五点”(即图像上升时与x轴的交点)为x2.考点三函数yAsin(x)的图像性质的综合应用挖掘1三角函数图像变换与性质综合问题/ 互动探究例1(1)函数f(x)Asin(x)的部分图像如图所示，点P、Q、R在f(x)的图像上，坐标分别为(1，A)、(1，0)、(x0，0)，PQR是以PR为底边的等腰三角形，将函数f(x)的图像向右平移5个单位长度
10、后得到函数g(x)的图像，则关于g(x)的说法中不正确的是()Ag(x)是偶函数Bg(x)在区间0，4上是减函数Cg(x)的图像关于直线x2对称Dg(x)在1，3上的最小值为解析由题意知2，所以8，作PHx轴于点H(图略)，则QH2，又因为PQQR4，所以A2，因为f(x)的图像过Q(1，0)，所以2sin0，因为|，所以，所以f(x)2sin.易知g(x)f(x5)2cos x，易知A、B、D正确，C错误故选C.答案C(2)(2019高考全国卷)函数f(x)在，的图像大致为()解析f(x)f(x)，f(x)为奇函数，排除A.当x时，f()0，排除B，C.故选D.答案D破题技法先将yf(x)化
11、为yAsin(x)B的形式，再借助yAsin(x)的图像和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题进行平移时，图像平移与坐标系平移是一种相对运动挖掘2与三角函数有关的方程、不等式问题/ 互动探究例2(1)(2020湖南十四校联考)已知函数f(x)2sin xcos x(0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1x2|min2，则f(1)的值为()A.BC2 D2解析依题意可得函数的最小正周期为2|x1x2|min224，则，所以f(1)2sin cos 2，故选C.答案C(2)已知函数f(x)sin xcos x(0)，若方程f(x)1在(0，)上有且只有4个实数
12、根，则实数的取值范围为()A(， B(，C(， D(，解析因为f(x)sin xcos x2sin(x)，作出函数yf(x)的大致图像与直线y1，如图所示令2sin(x)1，得x2k或x2k，kZ，所以x或x，kZ.设直线y1与曲线yf(x)在(0，)上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，易知xA，xB.因为方程f(x)1在(0，)上有且只有4个实数根，所以xAxB，即，解得.故选B.答案B破题技法对于函数yAsin(x)的零点即是图像与x轴交点的横坐标，对称轴一定穿过图像的最高点或最低点考点四三角函数模型的应用挖掘生活中的三角函数模型/ 互动探究例已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间
13、t(0t24，单位：小时)的函数，记作yf(t)下表是某日各时的浪高数据：t(小时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcos tb(A0，0)的图像根据以上数据，(1)求函数f(t)的解析式；(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间解析(1)由表格得解得又因为T12，所以，故yf(t)cos t1.(2)由题意，令cos t11.25，即cos t，又因为t0，24，所以t0，4，故0t或t2.或2t2或2t22，即0t2或10t12或12t14或22t2
14、4，所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时破题技法三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题如图所示，某地夏天从814时用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x)b，(0，)(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式解析：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度(2)观察图像，可知从814时的图像是yAsin(x)b的半个周期的图像A(5030)10，b(5030)40.148，y10sin40.将x8，y30代入上式，解得，所求解析式为y10sin40，x8，14