1、章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.数列2，5，11，20，x，47，中的x等于()A.28B.32C.33D.27【解析】观察知数列an满足：a12，an1an3n，故x203432.【答案】B2.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3axb0没有实根B.方程x3axb0至多有一个实根C.方程x3axb0至多有两个实根D.方程x3axb0恰好有两个实根【解析】方程x3axb0至少有一个实根的反面是方
2、程x3axb0没有实根，故应选A.【答案】A3.下列推理过程是类比推理的是()A.人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C.通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数【解析】A为归纳推理，C，D均为演绎推理，B为类比推理.【答案】B4.下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180归纳出所有三角形的内角和都是180；由f(x)sin x，满足f(x)f(x)，xR，推出f(x)sin x是奇函数；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五
3、边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n2)180.A.B.C.D.【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，是类比推理，是归纳推理，是演绎推理.【答案】C5.设a21.522.5，b7，则a，b的大小关系是()A.abB.abC.a2(b1)【解析】因为a21.522.5287，故ab.【答案】A6.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：abba；(ab)ca(bc)；a(bc)abac；|ab|a|b|；由abac(a0)，可得bc.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】正确；错误.【答案】A7.证明命题：“f(x)ex
4、在(0，)上是增函数”.现给出的证法如下：因为f(x)ex，所以f(x)ex.因为x0，所以ex1，00，即f(x)0.所以f(x)在(0，)上是增函数，使用的证明方法是() 【导学号：37820030】A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法.【答案】A8.已知c1，a，b，则正确的结论是()A.abB.a1，所以a0，b0，故只需比较与的大小即可，而，显然，从而必有a2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述结果，可推测出一般结论()A.f(2n)B.f(n2)C.f(2n)D.以上都不对【解析】f(2)，f(4)f(22)，
5、f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25).由此可推知f(2n).故选C.【答案】C10.定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4)，则图中a，b对应的运算是()图1A.B*D，A*DB.B*D，A*CC.B*C，A*DD.C*D，A*D【解析】根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应椭圆.由此可知选B.【答案】B11.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A.28B.76C.123D.199【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三
6、项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.【答案】C12.在等差数列an中，若an0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，公比q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A.b4b8b5b7B.b4b8b5b8D.b4b7a3a7，所以在等比数列bn中，由于4857，所以应有b4b8b5b7或b4b81，bn0，所以b4b8b5b7.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.)13.已知x，yR，且xy2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为_.【
7、解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大于1”(或x1且y1).【答案】x，y均不大于1(或x1且y1)14.如图2，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1，2，3，)，则第n2(n2)个图形中共有_个顶点. 【导学号：37820031】图2【解析】设第n个图形中有an个顶点，则a1333，a2444，an(n2)(n2)(n2)，an2n2n.【答案】n2n15.设a0，b0，则下面两式的大小关系为lg(1)_lg(1a)lg(1b).【解析】因为(1)2(1a)(1b)12ab1abab2(ab)()20，所以(1)2(1a)(1b)，所以lg(1)lg(1
8、a)lg(1b).【答案】16.(2016杭州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点，则|0”将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，有SOBCSOCASOBA0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有_.【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为VOBCDVOACDVOABDVOABC0.【答案】VOBCDVOACDVOABDVOABC0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知a，b，c成
9、等差数列，求证：abac，b2ac，acbc也成等差数列.【证明】因为a，b，c成等差数列，所以2bac，所以(abac)(acbc)b(ac)2ac2(b2ac).所以abac，b2ac，acbc也成等差数列.18.(本小题满分12分)在平面几何中，对于RtABC，C90，设ABc，ACb，BCa，则(1)a2b2c2；(2)cos2Acos2B1；(3)RtABC的外接圆半径r.把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明.【解】在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面积为S，则SSSS2.(2)设三个两两垂直
10、的侧面与底面所成的角分别为，则cos2cos2cos21.(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球半径R.19.(本小题满分12分)已知ABC的三条边分别为a，b，c，且ab，求证：0，b0，所以10，1ab0.所以要证，只需证(1ab)(1)(ab)，只需证b，所以2ab，所以1，证明：f(m)，f(n)至少有一个不小于零；(2)若a，b为不相等的正实数且满足f(a)f(b)，求证：ab.【证明】(1)假设f(m)0，f(n)0，即m3m20，n3n20，n0，m10，n10，0m1，0n1，mn1矛盾，假设不成立，即f(m)，f(n)至少有一个不小于零.
11、(2)证明：由f(a)f(b)，得a3a2b3b2，a3b3a2b2，(ab)(a2abb2)(ab)(ab)，ab，a2abb2ab，(ab)2(ab)ab，(ab)2(ab)0，解得ab0，且a1).(1)523，请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.【解】(1)f(3)g(2)g(3)f(2)，又g(5)，g(5)f(3)g(2)g(3)f(2).(2)由(1)知g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)，即g(32)f(3)g(2)g(3)f(2)，于是推测g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y).证明：f(x)，g(x)，g(xy)，g(y)，f(y)，f(x)g(y)g(x)f(y)g(xy).