1、第8节 机械能守恒定律 学习目标 1.知道机械能的各种形式,能分析动能与势能(包括弹性势能)之间的相互转化问题。2.知道机械能守恒的条件,知道机械能守恒定律的表达式。3.会判断机械能是否守恒,应用机械能守恒定律解决有关问题。4.根据动能定理及重力做功与势能变化的关系,导出机械能守恒定律。5.从能量转化的角度理解机械能守恒的条件。自主学习 教材提炼 知识梳理 一、动能与势能的相互转化 1.动能与重力势能的相互转化(1)物体自由下落或沿光滑斜面滑下时,重力对物体做 功,物体的重力势能 ,动能 ,物体的 转化成 。(2)原来具有一定速度的物体,由于惯性在空中竖直上升或沿光滑斜面上升,这时重力做 ,物
2、体的动能 ,重力势能 ,即物体的 转化成 。2.动能与弹性势能的相互转化 被压缩的弹簧可以把物体弹出去,弹力做 ,弹簧的 转化为物体的 。正 减少 增加 重力势能 动能 负功 减少 增加 动能 重力势能 正功 弹性势能 动能 3.机械能(1)、弹性势能和 统称为机械能,通过重力或弹力做功,机械能可以从一种形式转化成另一种形式。(2)若物体的动能为Ek,系统的势能为Ep,则机械能的表达式为E=。二、机械能守恒定律 1.内容:在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以 ,而总的机械能 。2.机械能守恒定律表达式:Ek2+Ep2=,即E2=。3.守恒条件:只有重力或弹力做功。重力势能 动能 E
3、k+Ep 互相转化 保持不变 Ek1+Ep1 E1 练一练 1.如图所示,在大型游乐场里,小王乘坐匀速转动的“摩天轮”正在向最高点运动,则此过程中小王的()A.重力势能保持不变 B.动能保持不变 C.机械能守恒 D.机械能减少 B 解析:“摩天轮”匀速转动,故小王的动能不变,在向最高点运动时,小王的重力势能增加,故机械能增加。2.下列物体中,机械能守恒的是()A.竖直平面内做匀速圆周运动的物体 B.被匀速吊起的集装箱 C.光滑曲面上自由运动的物体 D.物体以 g的加速度竖直向上做匀减速运动 C 453.(2019浙江6月学考)如图所示是一种地下铁道,车站的路轨建得高些。当车辆以一定的速度到达坡
4、下A点时关闭发动机,在车上坡进站时通过刹车控制车速使其在B点正好停下。则该车从A到B的过程中()A.动能增加 B.动能减少 C.机械能守恒 D.重力势能减少 B 解析:由于桌面为零势能面,所以在A点时物体重力势能为mgh1,在B点重力势能为-mgh2。由于小球做自然落体运动,所以机械能守恒,从A到B点重力势能都转化为动能,所以B点动能为mg(h1+h2)。4.(2018浙江6月学考)如图所示,质量为m的小球,从距桌面h1高处的A点自由下落到地面上的B点,桌面离地高为h2。选择桌面为参考平面,则小球()A.在A点时的重力势能为mg(h1+h2)B.在A点时的机械能为mg(h1+h2)C.在B点时
5、的重力势能为0 D.落到B点时的动能为mg(h1+h2)D 5.在离地h高处以初速度v0沿竖直方向向下抛一球,设球击地反弹时机械能无损失,不计空气阻力,重力加速度为g,则此球击地后回跳的最大高度是多少?解析:设此球击地后回跳的最大高度为 H,对于整个过程,由机械能守恒得mgh+12m20v=mgH,解得 H=h+202vg。答案:h+202vg 课堂探究 要点一 机械能守恒的条件 例1 如图所示,下列关于机械能是否守恒的判断正确的是()A.甲图中,物体A将弹簧压缩的过程中,物体A机械能守恒 B.乙图中,A置于光滑水平面上,物体B沿光滑斜面下滑,物体B机械能守恒 C.丙图中,不计任何阻力时A加速
6、下落,B加速上升过程中,A的机械能守恒 D.丁图中,小球沿光滑圆弧曲面自由下滑时,小球的机械能守恒 D 思路探究:(1)存在弹簧弹力做功时,如何判断机械能是否守恒?(2)题图乙中,B沿斜面下滑时,斜面对B的支持力是否做功?答案:(1)若系统包含弹簧,则弹簧的弹力做功,不影响机械能守恒,若系统不包含弹簧,则弹簧的弹力做功,物体的机械能不守恒。(2)B沿斜面下滑时,A向右运动,斜面对B的支持力做负功。解析:甲图中重力和弹力做功,物体A和弹簧组成的系统机械能守恒,但物体A机械能不守恒,选项A错误;乙图中物体B除受重力外,还受斜面的支持力,支持力对B做负功,机械能不守恒,选项B错误;丙图中绳子张力对A
7、做负功,A的机械能不守恒,选项C错误;丁图中只有重力做功,小球的机械能守恒,选项D正确。规律方法 机械能是否守恒的判定方法(1)做功分析法:从各力的做功情况着手分析,若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功,其他力均不做功,则系统的机械能守恒。(2)能量转化分析法:若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化,系统跟外界没有发生机械能的传递,机械能也没有转变成其他形式的能(如内能),则系统的机械能守恒。针对训练1:如图所示,下列四个选项的图中,木块均在固定的斜面上运动,其中图A,B,C中的斜面是光滑的,图D中的斜面是粗糙的,图A,B中的F为木块所受的外力,方向如图中箭头所示,图A,B,D中的
8、木块向下运动,图C中的木块向上运动。在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是()解析:机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功,没有其他力做功,A,B中除重力外,有外力F做功,故机械能不守恒,选项A,B错误;C中只有重力做功,故机械能守恒,选项C正确;D中斜面是粗糙的,除重力外,还有摩擦力做功,机械能不守恒,选项D错误。C 要点二 机械能守恒定律的应用 例 2 如图所示,质量为 m 的物体可视为质点,以某一初速度从 A 点向下沿光滑的轨道运动,不计空气阻力,若物体通过轨道最低点 B 时的速度为 3gR,求:(1)物体滑至斜面底端时的速度大小;解析:(1)物体在运动的全过程中只有重力做功,机械能守恒
9、,选取 B 点为零势能点。设物体在 B 处的速度为 vB 则 mg3R+12m20v=12m2Bv,得 v0=3gR。答案:(1)3gR思路探究:(1)物体在运动过程中受到哪些力的作用?机械能是否守恒?答案:(1)不计空气阻力,物体在运动过程中受重力和轨道的支持力,机械能守恒。(2)物体离开C点后还能上升多高。解析:(2)设从 B 点上升到最高点的高度为 HB 由机械能守恒可得 12m2Bv=mgHB,则 HB=4.5R 所以离开 C 点后还能上升 HC=HB-R=3.5R。思路探究:(2)物体在运动过程中机械能有哪些表现形式?答案:(2)有重力势能与动能。答案:(2)3.5R 规律方法 应用
10、机械能守恒定律解题的步骤及方法 (1)选取研究对象 (2)分析受力情况和各力做功情况,确定是否符合机械能守恒条件。(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况。(4)选择合适的表达式列出方程,进行求解。(5)对计算结果进行必要的讨论和说明。单个物体多个物体组成的系统含弹簧的系统针对训练2:以v0=10 m/s的速度将质量为m的物体竖直向上抛出。若以地面为参考平面,忽略空气阻力,g取10 m/s2。求:(1)物体上升的最大高度。解析:(1)物体只受重力作用,故机械能守恒。以地面为参考平面,设物体上升的最大高度为 h,初状态时的机械能为 E1=Ep1+Ek1=12m20v,在末状态最
11、高点时的势能为 Ep2=mgh,最高点时的速度为零,末状态时的机械能为 E2=Ep2+Ek2=mgh,根据机械能守恒定律有 E1=E2,即 12m20v=mgh,所以最大高度为 h=202vg=5.0 m。答案:(1)5.0 m(2)上升过程中何处重力势能和动能相等?解析:(2)设在高度 h3处的重力势能和动能相等,此时物体的速度为 v,则有 12mv2=mgh3,h3处的机械能为 E3=Ep3+Ek3=12mv2+mgh3,则由机械能守恒得 E1=E3,即 12m20v=12mv2+mgh3,联立以上两式解得 h3=204vg=2.5 m。答案:(2)2.5 m 要点三 机械能守恒定律与圆周
12、运动结合 例3 如图所示,杂技演员正在表演“水流星”节目,手持系有水桶的轻绳一端,使盛有水的水桶在竖直面内做圆周运动,若要使桶中的水不溢出,在最低点时水对桶底的压力大小至少是水的重力的()A.2倍 B.4倍 C.5倍 D.6倍 D 解析:设桶中水的质量为 m,经过最低点时速度大小为 v1,水桶恰好能通过最高点时桶中的水不溢出,则在最高点时水对桶的压力为零,即 mg=m2vR,由最高点运动到最低点过程中机械能守恒,则有 mg2R+12mv2=12m21v;在最低点,根据牛顿第二定律得 FN-mg=m21vR,联立以上各式解得 FN=6mg;根据牛顿第三定律可知,在最低点时水对桶底的压力大小至少为
13、 6mg。规律方法 竖直面内圆周运动的求解思路(1)定模型:首先判断是轻绳模型还是轻杆模型,两种模型过最高点的临界条件不同,其原因主要是“绳”不能支持物体,而“杆”既能支持物体,也能拉物体。(2)确定临界点:v 临=gr,对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点,而对轻杆模型来说是 FN表现为支持力还是拉力的临界点。(3)研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。(4)受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛顿第二定律列出方程,F合=F向。(5)过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。针对训练3:如图所示是单杠运动员做“单
14、臂大回环”的动作图,质量为60 kg的体操运动员,用一只手抓住单杠,伸展身体,以单杠为轴做圆周运动,运动员在最低点时手臂受到的拉力至少为(忽略空气阻力,取g=10 m/s2)()A.600 N B.2 400 N C.3 000 N D.3 600 N C 解析:设运动员的回转半径为 r,达最低点时手臂受到的拉力 F 满足 F-mg=m2vr,v 最小时 F 最小;而运动员要做圆周运动,通过最高点的速度最小为零,则由机械能守恒得 12mv2=2mgr,所以 F=5mg=3 000 N,故选 C。要点四 弹性势能转化中的机械能守恒 例4 小创在课外小制作活动中制造了如图所示的轨道,数字“09”部
15、分轨道采用内部光滑的材料制成,连接的水平直轨道动摩擦因数=0.5,整个装置固定在竖直平面内。小创为了增加趣味性给轨道的左侧水平面安装了弹射器、数字“09”部分轨道外侧安装了LED灯,只要小球从弹射器射出后能顺利到达M点,就能够点亮所有的LED灯。已知图中小球的质量m=0.01 kg,轨道小圆弧的半径为R=1.0 m,大圆弧的半径为2R,圆弧轨道最低点B与B相靠但不相叠。重力加速度g=10 m/s2。求(1)小球从A到B损失的动能 Ek。答案:(1)0.09 J 解析:(1)小球离开弹射器后,由动能定理有 Ek=12m2Av-12m2Bv=mgL,得Ek=0.09 J。(2)小球恰好能过C点时,
16、弹射器释放的弹性势能Ep1。答案:(2)0.44 J 解析:(2)小球沿光滑数字“0”轨道上升过程,机械能守恒,有:12m2Bv=12m2Cv+mg3R,若小球恰好过 C 点,由向心力公式有 mg=m2CvR,联立两式可得 12m2Bv=72mgR=0.35 J,由能量守恒定律可得,弹射器释放的弹性势能 Ep1=12m2Bv+mgL=0.44 J。(3)恰好能点亮灯时小球对D点(圆弧上)的压力大小。答案:(3)0.45 N 解析:(3)若小球恰能点亮灯,则小球应至少恰好过 E 点,才能顺利到达 M点,由能量守恒定律有 12m2Dv=12m2Ev+mg3R,恰好过 E 点的速度与恰好过 C 点的
17、速度相同,即 vE=vC 小球在 D 点做圆周运动,应有 FD-mg=m22DvR,得 FD=0.45 N,由牛顿第三定律得,小球对轨道 D 点的压力 FD=0.45 N。规律方法 当有弹力做功时,弹性势能与动能、重力势能相互发生转化。需要注意,问题中的研究对象是否包括弹簧在内。针对训练4:如图所示,固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环,圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接,弹簧的另一端连接在墙上,并且处于原长状态,现让圆环由静止开始下滑,已知弹簧原长为L,圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度),则在圆环下滑到最大距离的过程中()A.圆环的机械能守恒 B.弹簧弹性势能变化了
18、mgL C.圆环下滑到最大距离时,所受合力为零 D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变 3B 解析:圆环沿杆下滑的过程中,圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒,选项 A,D 错误;弹簧长度为 2L 时,圆环下落的高度h=3 L,根据机械能守恒定律,弹簧的弹性势能增加了Ep=mgh=3 mgL,选项 B 正确;圆环释放后,圆环向下先做加速运动,后做减速运动,当速度最大时,合力为零,下滑到最大距离时,具有向上的加速度,合力不为零,选项 C 错误。要点五 机械能守恒定律的综合应用 例5 如图所示为某种弹射小球的游戏装置,水平面上固定一轻质弹簧及长度可调节的竖直细管AB,下端接有一
19、小段长度不计的圆滑弯管,上端B与四分之一圆弧弯管BC相接。每次弹射前,总将小球及弹簧压缩到同一位置后锁定。解除锁定,小球即被弹簧弹出,水平射进A端,再沿ABC管从C端水平射出。已知弯管BC的半径R=0.30 m,小球的质量为m=50 g,当调节竖直细管AB的长度至L0=0.90 m时,发现小球恰好能过管口C端。不计小球运动过程中的机械能损失,g取10 m/s2。(1)求每次弹射时弹簧对小球所做的功W。解析:(1)设小球通过管口C端时的速度为v,恰好能过管口C端,则v=0,根据功能关系,每次弹射时弹簧对小球所做的功为 W=mg(L0+R)=0.60 J。答案:(1)0.60 J 答案:(2)0.
20、75 m (2)当AB的长度L取多少时,小球过管口C端时,对管壁的作用力恰好为0?解析:(2)小球通过管口 C 端对管壁的作用力恰好为 0 时,根据牛顿运动定律有 mg=m2vR,由于 W=mg(L0+R)则 mg(L+R)+12mv2=mg(L0+R)即得 L=L0-2R=0.75 m。解析:(3)由(2)中方法得,小球到达 C 时的速度为 v=02g LL,根据平抛运动规律,小球落至水平面时的落点离直管 AB 的距离为 s=vt+R,其中 t=2 LRg,联立解得 s=2 0LLLR+R,根据数学知识可判知,当 L=02LR=0.30 m 时,s 最大。即当 AB 的长度取 0.30 m
21、时,小球落至水平面时的落点离直管 AB 最远。(3)当AB的长度L取多少时,小球落至水平面时的落点离直管AB最远?答案:(3)0.30 m 针对训练5:“猴子荡秋千”是某马戏团的经典表演项目。如图所示,离地高H=5.4 m的O点固定一根长L=3.6 m且不可伸长的轻质绳,在绳的一侧有一平台,拉直绳子,其末端正好位于平台边缘A点,绳子与竖直方向成60角。有一质量m=5 kg的猴子在A点抓住绳子末端无初速地离开平台。在运动过程中猴子可视为质点,空气阻力不计,g取10 m/s2。求:解析:(1)猴子从 A 到 B 过程中由机械能守恒定律有 mgL(1-cos 60)=12mv2 解得 v=21 co
22、s60gL 代入数据得 v=6 m/s。(1)猴子经过O点正下方B点时的速度大小。答案:(1)6 m/s 解析:(2)设猴子在 B 点时绳子的拉力为 T,由牛顿第二定律得 T-mg=m2vL 则 T=mg+m2vL 代入数据得 T=100 N。(2)猴子经过O点正下方B点时受到的绳子拉力大小。答案:(2)100 N 解析:(3)猴子从 B 到 C 过程做平抛运动 H-L=12gt2 则 t=2 HLg 代入数据得 t=0.6 s,落地点 C 与悬点 O 间的水平距离 x=vt 代入数据得 x=3.6 m。(3)若猴子在B点放开绳子,则其落地点C与悬点O间的水平距离多大。答案:(3)3.6 m
23、解析:(4)设猴子沿绳向上爬行到距 O 点 L处向下摆动,到达 O 点正下方时速度记为 vmgL(1-cos 60)=12mv2 H-L=12gt2 落地点与 O 点间水平距离 x=vt=2L HL 解得当 L=12 H=2.7 m 时最远,此时 x=2.72 m3.6 m,即能跳得比 C 点更远。(4)若猴子沿绳向上爬行一定距离后(在训练员的帮助下绳仍与竖直方向成60角),再抓紧绳子无初速向下摆动,当摆至O点正下方时放开绳子,这次能否跳得比C点更远?试判断并简要说明理由。答案:(4)见解析 课堂达标 1.下列运动过程中的物体机械能守恒的是()A.匀速下降的电梯 B.加速上升的火箭 C.起重机
24、吊起的重物 D.在光滑曲面上自由运动的物体 D 解析:电梯匀速下降过程中,重力做正功,拉力做负功,机械能减少,选项A错误;加速上升的火箭,受到向上的推力做功,机械能不守恒,故选项B错误;起重机吊起重物过程,重力做负功,拉力做正功,机械能增加,选项C错误;在光滑曲面上自由运动的物体,曲面对物体的支持力不做功,只有重力对物体做功,其机械能守恒,故选项D正确。2.质量为m的苹果,从离地面高为H的树上由静止开始下落,树下有一深度为h的坑。若以地面为零势能参考平面,则当苹果落到坑底时重力势能减少了()A.-mgh B.mgH C.mg(H+h)D.mg(H-h)C 解析:由于Ep1=mgH,Ep2=-m
25、gh,则重力势能的减少量等于重力在该过程中做的功Ep1-Ep2=mg(H+h),选项C正确。3.如图,在地面上以速度v0抛出质量为m的物体,抛出后物体落在比地面低h的海平面上,若以地面为零势能参考面,且不计空气阻力,则()C A.物体在海平面的重力势能为 mgh B.重力对物体做的功为-mgh C.物体在海平面上的动能为 12m20v+mgh D.物体在海平面上的机械能为 12m20v+mgh 解析:对物体受力分析和做功分析,整个过程不计空气阻力,只有重力对物体做功,机械能守恒。以地面为零势能参考面,海平面低于地面 h,所以物体在海平面上时的重力势能为-mgh,故选项 A 错误;重力做功与路径
26、无关,所以整个过程重力对物体做功为 mgh,故选项 B 错误;由机械能守恒得12m20v=Ek-mgh,则物体在海平面上的动能为 Ek=12m20v+mgh,故选项C 正确;根据机械能守恒知物体在海平面上的机械能等于抛出时的机械能,为E=12 m20v,故选项 D 错误。4.把一质量为m的小球放在竖立的弹簧上,并把球往下按至A的位置,如图 甲所示。迅速松手后,弹簧把球弹起,球升至最高位置C(图丙),途中经过 位置B时弹簧正好处于原长(图乙)。已知A,B的高度差为h,C,B高度差为 2h,弹簧的质量和空气的阻力均可忽略,选A位置为重力势能零势能点,则()A.刚松手瞬间,弹簧弹力等于小球重力 B.
27、状态甲中弹簧的弹性势能为2mgh C.状态乙中小球的动能为mgh D.状态丙中系统的机械能为3mgh D 解析:松手后小球向上加速运动,故刚松手瞬间,弹簧弹力大于小球重力,选项A错误;由能量关系可知状态甲中弹簧的弹性势能转化为状态丙中小球的重力势能,故甲状态下的弹性势能为3mgh,选项B错误,D正确;在状态乙中,有Ek+mgh=3mgh,故状态乙中小球的动能为2mgh,选项C错误。5.(2019浙江1月学考)如图甲所示为商场内的螺旋滑梯,小孩从顶端A处进入。由静止开始沿滑梯自然下滑(如图乙),并从底端B处滑出。已知滑梯总长度L=20 m,A,B间的高度差h=12 m。(g取10 m/s2)(1
28、)假设滑梯光滑,则小孩从B处滑出时的速度v1多大?(2)若有人建议将该螺旋滑梯改建为倾斜直线滑梯,并保持高度差与总长度不变。已知小孩与滑梯间的动摩擦因数=0.25,若小孩仍从顶端由静止自然下滑,则从底端滑出时的速度v2多大?解析:(1)由机械能守恒可得 mgh=12 m21v,解得 v1=2gh=4 15 m/s。(2)由动能定理可得 WG+Wf=12m22v,mgh-mg22LhLL=12 m22v,解得 v2=4 10 m/s。答案:(1)4 15 m/s(2)4 10 m/s解析:(3)v2更大。WG+Wf=12m23v,与直线下滑相比,重力做功相等,沿螺旋滑梯下滑时小孩受到的弹力更大(
29、或需要向心力),受到的滑动摩擦力更大,滑动摩擦力做的负功更大,v3更小。答案:(3)见解析(3)若小孩与滑梯间的动摩擦因数仍为0.25,你认为小孩从螺旋滑梯底端B处滑出的速度v3与(2)问中倾斜直线滑梯滑出的速度v2哪个更大?试简要说明理由。6.(2016浙江4月选考)如图所示,装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成。其中轨道由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接,高度差分别是h1=0.20 m,h2=0.10 m,BC水平距离L=1.00 m。轨道由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成,且A点与F点等高。当弹簧压缩量为d时,恰能使质量m=0.05 kg的滑块沿轨道上升到B点;当弹
30、簧压缩量为2d时,恰能使滑块沿轨道上升到C点。(已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比)(1)当弹簧压缩量为d时,求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小;(2)求滑块与轨道BC间的动摩擦因数;解析:(1)由机械能守恒定律可得 E 弹=Ek=Ep=mgh1=0.1 J,由Ek=12 m20v 可得 v0=2 m/s。答案:(1)0.1 J 2 m/s (2)0.5(2)由 E 弹 d2可得Ek=E 弹=4E 弹=4mgh1=0.4 J,对滑块从弹簧释放后运动到 C 点的过程,由动能定理可得-mg(h1+h2)-mg222Lh=-Ek,解得0.5。(3)当弹簧压缩量为d时,若沿轨道运动,滑块能否上升到B点?请通过计算说明理由。解析:(3)恰好能通过圆环最高点须满足的条件是 mg=m2mvR,由机械能守恒定律有 v=v0=2 m/s,得 Rm=0.4 m,当 RRm=0.4 m 时,滑块会脱离螺旋轨道,不能上升到 B 点;若 R0.4 m,滑块能上升到 B 点。答案:(3)若R0.4 m,滑块能上升到B点;若R0.4 m,滑块不能上升到B点,计算说明见解析。