1、课时达标检测（十一） 抛物线及其标准方程一、选择题1顶点在原点，且过点(4,4)的抛物线的标准方程是()Ay24xBx24yCy24x或x24yDy24x或x24y解析：选C设抛物线方程为y22p1x或x22p2y，把(4,4)代入得168p1或168p2，即p12或p22.故抛物线的标准方程为y24x或x24y.2已知点P(8，a)在抛物线y24px上，且点P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A2B4C8 D16解析：选B准线方程为xp，8p10，p2.焦点到准线的距离为2p4.3已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A. B1C2 D4解析：
2、选C抛物线y22px的准线x与圆(x3)2y216相切，1，即p2.4设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为()A抛物线 B双曲线C椭圆 D圆解析：选A由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线5已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为()A. B.C(1,2) D(1，2)解析：选A点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，|PF|PQ|PS|PQ|，故最小值在S，P，Q
3、三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是1，点P坐标为.二、填空题6抛物线xy2的焦点坐标是_解析：解析：方程改写成y24mx，得2p4m，p2m，即焦点(m,0)答案：(m,0)7已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_.解析：根据抛物线的定义得15，p8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得21，故a.答案：8对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为y2
4、10x的是_(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y210x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1，y0)是y210x上一点，则|MF|116，所以不满足；由于抛物线y210x的焦点为，过该焦点的直线方程为yk，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k2，此时存在，所以满足答案：三、解答题9已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x22py(p0)，则焦点F，准线l：y.作MNl，垂足为N，则|MN|MF|5，而|MN|3，35，即p4.所以抛物线方程为x28y，准线方程为y2.由
5、m28(3)24，得m2.法二：设所求抛物线方程为x22py(p0)，则焦点为F.M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，故解得抛物线方程为x28y，m2，准线方程为y2.10如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)解：如图所示：(1)依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x25y.(2)设车辆高h，则|DB|h0.5，故D(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米
