1、第十二讲角的初步认识（一）一、知识精讲1.角的定义 角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。2.角的大小比较（1）叠合法；（2）度量法3.余角和补角如果两个角的和是 90，那么称这两个角互为余角。 如果两个角的和是 180，那么称这两个角互为补角。4.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.二、典例解析【例 1】 （2019 汉阳区期末）如图，在锐角AOB内部，画 1 条射线，可得 3 个锐角画 2 条射线，可得 6 个锐角，画 3 条射线，可得 10 个锐角，按此 规律，画 9 条不同射线
2、，可得锐角 个.【练 1】如图，在AOB 内部引出两条射线 OC，OD，则图中小于平角的角共 有（）个A.3 B.4 C.5 D.6【练 2】在AOB 内部从 O 点引出 n 条射线，图中小于平角的角共有多少 个？第 8 页【练 3】从 O点引出 n条射线，图中小于平角的角共有多少个？【例 2】（2019 武昌区期末）一个角的余角比它的补角的大 15，求这个角的度数.【练 4】若AOB 和BOC 互为邻补角，且AOB 比BOC 大18，则AOB 的度数是（）A.54B.81C.99D162【练 5】如图，O 是直线 AB 上一点，OC，OD，OE 是三条射线，则图中互补 的角共有（）对A.3B
3、.3C.4D.5【例 3】（2019 东湖开发区）如图，直线 AB、CD相交于点 O，OM 平分BOD，ON平分BOC，1271，求BOD 和AON 的度数.【例 4】 （2019 江岸区期末）如图，在同一平面内，O AO B 于 O，射线 O M 平分A O B，从点 O引射线 O C，射线 ON 平分B O C（1）若B O C30，请你补全图形，再计算M O N 的度数（2）若 O A与 O B 不垂直，A O B，B O C（090）， 其它条件不变，请你画出大致图形，并直接写出 M O N 的度数（3）结合上面的计算，观察并继续思考：在同一平面内，A O B， B O C，OM 平分
4、AOB，ON 平分BOC，你发现MON 与AOC 有怎样的数量 关系？请你直接写出来.【例 5】（2019 东湖开发区期末）8 时 30 分，钟的时针与分针成（）的 角.A.75B.90C.105 D.120【练 6】2 点 30 分时，时钟与分钟所成的角为 度.【例 6】（2019 江汉区期末）如图，直线 S N与直线 WE相交于点 O，射线 O N表示正北方向，射线 O E表示正东方向已知射线 O B的方向是南偏东 m，射线OC 的方向是北偏东 n，且 m的角与 n的角互余.（1）若 m60，则射线 O C 的方向是 .请直接写出图中所有与 BOE 互余的角及与 BOE 互补的角；（2）若
5、射线 OA 是B O N 的角平分线，求A O C 的度数（用含有 m 的式子 表示）三、课堂检测1.（2019 黄陂区期末）如图，已知 OD 平分AOB，OE 平分BOD，若 AOC =BOC，则的值为（）A. B. C. D. 2.（2019 洪山区期末）如图，O 为直线 AB 上一点，DOC90，OE 平分AOC，OF 平分BOC.(1)图中与COF 互余的角有 ，与COF 互补的角有 .(2)如若EOD = AOE ，EOD的度数为 .3.（2019 江岸区期末）如图，直线 SN 与直线 WE 相交于点 O，射线 ON表示正北方向，射线 OE表示正东方向已知射线 OB的方向是南偏东 m
6、，射线 OC的 方向是北偏东 n，且 m的角与 n的角互余.（1）若 m50，则射线 OC 的方向是 图中与BOE 互余的角有 与BOE 互补的角有 （2）若射线 O A 是BON 的角平分线，则BOS 与AOC 是否存在确定的 数量关系？如果存在，请写出你的结论以及计算过程；如果不存在，请说明理由.四、课后练习1.（2019 江汉区期末）9 时 30 分钟的时针与分针所成的角度是（） A.75B.90C.105D.1202.（2019 青山区期末）如图，在观测站 O测得渔船 A、B 的方向分别为北偏东50、南偏西 30，为了减少相互干扰并取得较好的捕鱼效益，渔船 C恰好位 于AOB 的平分线
7、上，则渔船 C 相对观测站 O的方向是（A.南偏东 50B.东偏西 50C.东南方D.不能确定3.如图，在正方形网格中，1+2+3+4+5=（）A.175B.180C.210D.2254.（2019 青山区期末）如图，O 是直线 AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分AOB，OE 在BOC 内，且DOE60，BOEEOC，则下列四个结论正确的个数有（） BOD30； 射线 OE 平分AOC； 图中与BOE 互余的角有 2 个； 图中互补的角有 6 对A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个5.（2019 洪山区期末）已知：O 为直线 AB 上一点，一个三角板 COD 的直角顶 点放在
8、点 O上，OE 平分AOC，OF 平分BOD，当三角形 COD 绕 O 点旋转到 如图所示时，下列结论不正确的是（ ）A.AODEOC90 B.AOCBOD90 C.AOEBOF45D.EOF1356.如图，已知 O 为直线 AB 上一点，OC 平分BOE，ODOC 于点 O，则与DOE互补的角是（ ）A.EOC BAOCC.AOE DBOD7.如图，AOB=100OM 平分AOC，ON 平分BOC，则MNO= .8.图中的正五角星有条对称轴，图中与A 的 2 倍互补的角有 个.9.如图，BO，CO 分别平分ABC 和ACB.（1）若A=60，求O；（2）若A=100，O 是多少？若=120，
9、O 又是多少？（3）若（1）、（2）你又发现了什么规律，当A 的度数发生变化后，你的 结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于 180）10.已知： AOD160，OB、OC、OM、ON 是AOD 内的射线。（1）如图，若 OM 平分AOB，ON 平分BOD. 当 OB 绕点 O 在AOD 内 旋转时，求MON的大小；（2）如图，若BOC20，OM 平分AOC, ON 平分BOD. 当BOC 绕 点 O 在AOD内旋转时求MON 的大小；11.（2019 武昌区期末）如果两个角的差的绝对值等于 90，就称这两个角互为垂角，例如：1120，230，|12|90，则1 和2 互 为垂角（本题中所有角都是指大于 0且小于 180的角）（1）如图 1，O 为直线 AB 上一点，OCAB 于点 O，OEOD 于点 O， 直接指出图中所有互为垂角的角；（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数；（3）如图 2，O 为直线 AB 上一点，AOC75，将整个图形绕点 O 逆时针旋转 n（0n90），直线 AB 旋转到 A1B1，OC 旋转到 OC1，作射线 OP， 使BOPBOB1，求：当 n 为何值时，POA1 与AOC1 互为垂角.
