1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-1-上海市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 8 部分:立体几何 一、选择题：15、(上海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科)给定空间中的直线l 及平面，条件“直线l 与平面 垂直”是“直线l 与平面 内无数条直线垂直”的（B ）.A充要条件.B 充分非必要条件.C 必要非充分条件.D既非充分又非必要条件16 (上 海 市 五 校2011年 联 合 教 学 调 研 理 科 下 列 四 个 命 题 中 真 命 题 是 （B ）（A）同垂直于一直线的两条直线互相平行；（B）过空间任一点与两条异面直线
2、都垂直的直线有且只有一条；（C）底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱；（D）过球面上任意两点的大圆有且只有一个。16.(上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试)（文）将图所示的一个直角三角形 ABC（C90）绕斜边 AB 旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的（B ）（A）（B）（C）(D)高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-2-17(上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科)在正方体1111DCBAABCD 的侧面11AABB内有一动点 P 到直线11BA与直线 BC 的距离相等,则动点 P 所在的曲线的形状为(B)17、(上海市徐汇区 20
3、11 年 4 月高三学习诊断文科)如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主 视 图、左 视 图、俯 视 图）中 有 且 仅 有 两 个 相 同，而 另 一 个 不 同 的 几 何 体是（A）（A）（2）（3）（4）（B）（1）（2）（3）（C）（1）（3）（4）（D）（1）（2）（4）二、填空题：11(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题理科)已知圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半径相同，若圆柱 M 与球 O 的表面积相等，则它们的体积之比VV圆柱球：=(用数值作答)348(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题文科)已知正方体1111ABCDABC D的棱长是 3，点
4、 MN、分别是棱1ABAA、的中点，则异面直线 MN 与1BC 所成的角是 310(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题文科)已知圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半（2）底面直径和高均为 1 的圆柱（1）棱长为 1 的正方体（3）底面直径和高均为 1 的圆锥A1B1BAP(A)A1B1BAP(B)A1B1BAP(C)A1B1BAP(D)（4）底面边长为 1、高为 2 的正四棱柱高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-3-径相同，若圆柱 M 与球 O 的表面积相等，则它们的体积之比VV圆柱球：=(用数值作答)3413(上 海市 十校 2010-2011 学 年 第二 学
5、期 高三 第 二次 联考 理科)平面上 三条直 线210,10,0 xyxxky ，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的取值集合为0,1,2 10.(上海市五校 2011 年联合教学调研理科在北纬 450东经 300有一座城市 A,在北纬 450东经1200有一座城市 B,设地球半径为 R,则 A、B 两地之间的距离是 。R3 8(上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科)一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角为362。6(上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科)圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2 cm，半径为2 cm，则该圆锥的体积为3cm.39(上海
6、市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科)如图是一个正三棱柱零件，面1AB 平行于正投影面，则零件的左视图的面积为.4 34、(上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试)在正方体1111DCBAABCD 中，异面直线BD与CB1所成角的为37.(上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科)已知直线m平面，直线n 在平面 内，给出下列四个命题：nm /；nm/；/nm；nm/，其 中 真 命 题 的 序 号是 .【，】.12.(上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科)在平行四边形 ABCD 中，AB=1，AC=3，AD=2；线段 PA平行四边形 ABCD 所在的平面，且 P
7、A=2，则异面直线 PC 与 BD 所成的角等于（用反三角函数表示）.【arccos 73 或714arcsin2】ABCA1B1C142高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-4-ABCDC1D1A1B1ABCDC1D1A1B1(O)xyz 10、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科)在一个水平放置的底面半径为 3 cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为 R cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升 R cm，则 R _cm 32三、解答题：20(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题理科)(本题满分 14 分)本题共有
8、 2 个小题，第 1小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 a(1)求点1C 到平面11AB D 的距离；(2)求平面11CDDC 与平面11AB D 所成的二面角(结果用反三角函数值表示)20(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分解(1)按如图所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为(0 0 0)A，、1(0)Daa，、1()B aa，0，、1()C aaa，向量1()C Aaaa，1(0)ADaa，1()ABaa，0，2 分设()nxyz，是平面11AB D 的法向量，于是，有1100
9、n ADn AB ，即00ayazaxaz令1z ，得11xy，于是平面11AB D 的一个法向量是(1)n ，1，-1 5 分因此，1C 到平面11AB D 的距离1|33|C A ndan(也可用等积法求得)8 分高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-5-OGFDCEBAP(2)由(1)知，平面11AB D 的一个法向量是(111)n，又因11ADCDDC 平面，故平面11CDDC 的一个法向量是1(01 0)n，10 分设所求二面角的平面角为(结合图形可知二面角是锐角，即 为锐角)，则11|3cos3|n nn n13 分所以，平面11CDDC 与平面11AB D 所成的二
10、面角为3arccos 314 分19(上海市十校 2010-2011 学年第二学期高三第二次联考理科)（本题满分 12 分）如图，已知圆锥的底面半径为10r，点 Q 为半圆弧 AB 的中点，点 P 为母线 SA 的中点若 PQ 与 SO 所成角为 4，求此圆锥的全面积与体积19、(上海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科)（本题满分 14 分）已知：四棱锥ABCDP，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，PA平面 ABCD，且2PA，60ABC，E，F 分别是 BC，PC 的中点（1）求四棱锥ABCDP 的体积；（2）求二面角CAEF的大小19、(14 分)（1）33
11、4ABCDPV4 分（2）取 AC 的中点 O，连接 FO，F 为 PC 中点，PAFO/且PAFO21，又PA平面 ABCD，FO平面ABCD6 分过O 作AEOG 于 G，则F G O就 是 二 面 角CAEF的平面角8 分由1FO，21GO，得 二 面 角 的 大 小 为PSAQOBFDCEBAP高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-6-2arctan14 分20、(上海市五校 2011 年联合教学调研理科（满分 14 分）如图已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PD底面 ABCD，E，F 分别为 棱 BC，AD 的中点.（1）若 PD=1，
12、求异面直线 PB 和 DE 所成角的大小。（2 若二面角 P-BF-C 的余弦值为66，求四棱锥 P-ABCD 的体积.20、解：（1）E，F 分别为棱 BC，AD 的中点，ABCD 是边长为 2 的正方形 DF BE 且 DF=BE DFBE 为平行四边形 DE BF DEPBPBF与是的所成角 2 分 PBF中，BF=5 ,PF=2,PB=3552cosPBF 异面直线 PB 和 DE 所成角的大小为552arccos 5 分 2）如图，以 D 为原点，射线 DA,DC,DP 分 别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设 PD=a,可得如下点的坐标：P(0,0,a),F(1,0,0),B
13、(2,2,0)则有：(1,0,),(1,2,0),PFa FB 7 分 因为 PD底面 ABCD，所以平面 ABCD 的 一个法向量为(0,0,1)m，8 分 设平面 PFB 的一个法向量为(,)x y zn，则可得 0=0PFFBnn 即 0+2=0 xazxy 令 x=1,得11,2zya，所以1 1(1,)2 an.10 分 由已知，二面角 P-BF-C 的余弦值为66，所以得:216cos|6514aam nm nmn 解得 a=2.12 分 ABECPDFABECPDF高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-7-BCDA1PB1C1D1A 因为 PD 是四棱锥 P-ABC
14、D 的高，所以，其体积为182433P ABCDV 14 分 20(上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科)（本小题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）如图，四棱锥ABCDP 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，且CDAB/，90BAD，2DCADPA，4AB。（1）求证：PCBC；（2）求点 A到平面 PBC 的距离。20（1）如图建系，则)2,0,0(,)0,2,2(,)0,0,2(,)0,4,0(PCDB。（2 分）)2,2,2(,)0,2,2(PCBC，（4 分）02)2(22 PCBC，故PCBC。（7 分）（2）)2,2,2(,
15、)2,4,0(PCPB，设平面 PBC 的法向量为),(cban，依题意，00200cbacbnPCnPB，取)2,1,1(n。（11分）)0,4,0(AB，所以点 A 到平面 PBC 的距离36264|nnABd。（14分）解法二：（1）由PA平面 ABCD 可推得BCPA，又BCAC，所以BC平面 PAC。从而可得PCBC。（2）过 A 作PCAH，由（1）知：BC平面 PAC，所以AHBC。所以AH平面 PBC。在直角三角形 PAC 中，2PA，22AC，32PC，故点 A 到平面 PBC 的距离362AH。19.(上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科)（本题满分 12 分）
16、如图，已知1111ABCDA B C D是底面为正方形的长方体，1160AD Ao，14AD，点 P 是1AD 的中点，求异面直线1AA 与1B P 所成的角（结果用反三角函数表示）19.解：（1）解法一：过点 P 作11PEAD，垂足为 E，连结1B E（如图），则1PEAA，1B PE是异面直线1AA 与1B P 所成的角（3 分）在11RtAAD中 1160AD A1130A ADABCDPxyy高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-8-zyxPD1C1B1A1DCBA11111122A BA DAD,111112A EA D，2211115B EB AA E又1132PE
17、AA（8 分）在1RtB PE中，11515tan33B EB PEPE（10 分）来源:学科网异面直线1AA 与1B P 所成的角为15arctan3（12 分）解法二：以1A 为原点，11A B 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如图所示，则1(0 0 0)A，(0 0 2 3)A，1(2 0 0)B，(01 3)P，（4分）1(0 0 2 3)A A，1(21 3)B P ，（8 分）111111cos|A A B PA A B PA AB P，6642 3 2 2（10 分）异面直线1AA 与1B P 所成的角为6arccos 4（12 分）21.(上海市普陀区 2011 年 4
18、月高三质量调研)（理）（本题满分 14 分）如图，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，2 ADPA，点 E、F、G 分别为线段 PA、PD 和CD的中点.（1）求异面直线 EG 与 BD 所成角的大小；（2）在线段 CD 上是否存在一点 Q，使得点 A 到平面EFQ 的距离恰为 45？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由.21.（本题满分 14 分）（理科）解：（1）以点 A 为坐标原点，射线AZADAB,分别为轴轴、轴、zyx的正半轴建立空间直角坐标系如图示，点)1,0,0(E、)0,2,1(G、)0,0,2(B、)0,2,0(D，则)1,2,1(EG，)0,2,2(B
19、D.设异面直线 EG 与 BD 所成角为GFECPADBQ高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-9-BDEGBDEGcos638642,所 以异 面直 线EG 与 BD 所成角大小为3arccos 6.（2）假设在线段CD 上存在一点Q 满足条件，设点Q)0,2,(0 x，平面 EFQ 的法向量为),(zyxn，则有00EQnEFn得到0,0 xxzy，取1x，所以),0,1(0 xn，则8.0nnEA，又00 x，解得340 x，所以点)0,2,34(Q即)0,0,32(CQ，则32CQ.所以在线段CD 上存在一点Q 满足条件，且长度为 32.21.(上海市普陀区 2011 年
20、 4 月高三质量调研)（文）（本题满分 14 分）已 知 坐 标 平 面 内 的 一 组 基 向 量 为11,sinex，20,cosex，其中0,2x，且向量121322aee.（1）当1e 和2e 都为单位向量时，求 a；（2）若向量a 和向量1,2b 共线，求向量1e 和2e 的夹角.（文科）解：(1)由题意，当0 x 时，sin0,cos1xx，此时11,0e，20,1e 都为单位向量.故121313,2222aee，所以1a.(2)由条件12131 13,sincos222 22aeexx 因为向量a 和向量1,2b 共线，所以113sincos022212xx FGECPABDQ第
21、 21 题图 xyzGFECPADBQ高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-10-131sincos1sin0223xxx ，因为0,2x，所以6x.于是111,2e，230,2e，设向量1e 和2e 的夹角为 则1212cose ee e354=55322，即向量1e 和2e 的夹角为5arccos 5.19、(上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试)用 2平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为 x，圆锥母线的长为 y（1）、建立 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（6 分）（2）、圆锥的母线
22、与底面所成的角大小为 3，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米(精确到0.01m3)（6 分）19、解：（1）22 xyxxxy22 4 分10,22xxxxyx6 分（2）依题意，作圆锥的高 SO，SAO是母线与底面所成的线面角，7 分设圆锥高h，213cos yx，xy2xh332x，2h9 分323331xhxV399.0m11 分答：所制作的圆锥形容器容积99.0立方米12 分SAOB高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-11-19(上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科)(本题满分 12 分)如图，用半径为210cm，面积为2100cm2的扇形铁皮 制作一个无盖的
23、圆锥形容器（衔接部分忽略不计），该容器最 多盛水多少？（结果精确到 0.1 cm3）19(本题满分 12 分)解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为 R、l，圆锥形容器的高和底面半径分别为 h、r，则由题意得 R=210，由210021Rl得 20l；2 分 由lr 2得10r；5 分 由222hrR得10h；8 分 由322.1047101003131cmhrV锥 所以该容器最多盛水 1047.2 cm3 12 分（说明：用 3.14 得 1046.7 毫升不扣分）20、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科)（本题满分 14 分）第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分。
24、如图，已知点 P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径，圆柱1OO 的表面积为24，2OA，120AOP。（1）求三棱锥1AAPB的体积。（2）求异面直线1A B 与OP 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）1A1O1BAOBP（第 20 题）高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-12-20解：（1）由题意2122224SAA 表，解得14AA.-2 分 在 AOP中，02,120OAOPAOP，所以2 3AP -3 分 在 BOP中，02,60OBOPBOP，所以2BP -4 分 1113AAPBAPBVSAA -5 分 1 18 32 3 2 43 23 -
25、6 分（2）取1AA 中点Q，连接OQ，PQ，则1/OQA B，得POQ或它的补角为异面直线1A B 与OP 所成的角.-8 分 又2 3AP，2AQAO，得2 2OQ，4PQ，-10 分 由余弦定理得2222cos24POOQPQPOQPO OQ，-12 分 得异面直线1A B 与OP 所成的角为2arccos 4.-14 分 19(上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)（本题满分 12 分）已知矩形 ABCD 内接于圆柱下底面的圆O，PA是圆柱的母线，若6AB，8AD ，此圆柱的体积为300，求异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值19解：设圆柱下底面圆O 的半径为 r，连 A
26、C，由矩形 ABCD 内接于圆O，可知 AC 是圆O 的直径，于是2226810rAC，得5r，3 分又圆柱的体积25300VPA，可得12PA6 分分别以直线,AB AD AP 为,x y z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，可得(6,8,0),(6,0,12)ACPB，8 分设异面直线 AC 与 PB 所成角所成的角，向量 AC 与 PB 的夹角为，APBCDOxyzAPBCDO高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-13-则|363 5cos|cos|25|106 5AC PBACPB，故异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值为 3 525 12 分高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-14-