1、函数内容是每年高考都要考查的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新函数和其它内容如导数、不等式、数列等内容的结合是近几年的考查热点，题目由易到难几乎都有，与导数的结合更是经常作为压轴题出现.考试要求：（1）了解映射概念，理解函数的概念；（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法；（3）掌握指、对数函数的概念、图象和性质.（4）根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.题型一 函数解析式问题例 某学校要召开学生代表大
2、会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx（x表示不大于x的最大整数）可以表示为( ). A. B. C. D.点拨 用具体数据代入选项，确定哪个函数比较符合；解 法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B法二：设,当时, 当时,所以选B.例2设函数若方程有四个不同的实数解,若方程有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是.点拨在同一坐标系中画出和的图象，再根据题意画出，根据图象得出的取值范围.解在坐标系中作出和的图象，可知图象如图所示，故a的取值
3、范围是.易错点 对例中抽象函数理解不强，缺少处理方法容易造成错误；（2）正确理解例2中解析式所表示的意义是解题的关键，如果讨论和的大小再得出的解析式，然后画图，一是计算量比较多，再是容易出错.变式与引申1： 设函数若,则关于x的方程的解的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4变式与引申2： 设函数由方程确定，下列结论正确的是 （请将你认为正确的序号都填上）（）是上的单调递减函数；（）对于任意，恒成立；（）对于任意，关于的方程都有解；题型二 函数的性质与图象例 已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根，则点拨 由求出的周期，又
4、根据函数是奇函数且在区间0,2上是增函数，得出在一个周期-2,2中的单调性，再根据对称性求值.解 因为定义在R上的奇函数，满足，所以，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间0,2上是增函数，所以在区间上也是增函数如图所示，那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设，由对称性知，所以易错点 对函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性等其中的一个知识点掌握不好，都容易出错；不能得出是周期函数，或不能得出对称轴及单调区间等错误.变式与引申3：函数的图像大致是（ ） 变式与引申4：设函数的集合，平面上点的集合,则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经
5、过中两个点的函数的个数是 ( )A 4 B 6 C 8 D 10题型三 函数零点与二分法思想 例4 设函数 （1）当时,求函数在上的最大值；（2）记函数，若函数有零点，求的取值范围.点拨 （1）这是一道含绝对值的函数题，对与1的大小进行讨论，去掉绝对值后求值；（2）函数有零点转化为方程有解，用导数求出该函数的值域得出的取值范围.解 （1）当时，当时，.当时，.函数在上单调递增,由,得,又,解得,当时,当时, .（2）函数有零点即方程有解，得.令，当时，所以函数在上是增函数，；当时，,因为，所以函数在上是减函数，所以.所以方程有解时，即函数有零点时的取值范围是.题型四 函数与导数问题例5 已知函
6、数 (1) 若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围； (2) 设,求的最大值的解析式点拨 （1）求曲线的切线的斜率就是对的求导，其导数值不能取到已知直线的斜率； （2）是偶函数，只须求在上最大值.解 （1） ,要使直线=0对任意的总不是曲线的切线，当且仅当,. （2）因在上为偶函数,故只求在上最大值,当时,在上单调递增且,. 当时,.若当,即时,在上单调递减,且,所以在上,所以,在上单调递增，此时.若当,即时，在上单调递减，在上单调递增.当,即时，在上单调递增，在上单调递减，故.当,即时，（）当即时, .（） 当即时，.综上.易错点 本题第二问分类讨论比较多，计算量也很大，考虑不周都会产
7、生错误.变式与引申7： 已知函数，和直线，又.（1）求的值；（2）是否存在的值，使直线既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，求出的值；如果不存在,说明理由本节主要考查 （1）函数的解析式和函数的图象，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等函数性质；（2）结合图象，直观地反映函数的性质，考查了数形结合的思想和基本的作图、运算、分析等解题能力；（3）零点和二分法体现了函数和方程的关系；（4）考查了用导数作为工具求曲线的切线和函数的最值等思想方法.点评 （1）数形结合函数的性质是高考考查的重点内容解决一些函数单调性和奇偶性，对称性等要从数形结合的角度去认识，以形辅数，以数画形，化抽象为直观；（2）要
8、充分利用导数这一工具，结合函数的一些思考方法解决函数中的如求最大值和最小值等问题；（4）重视计算能力，画图能力及分类讨论的思想方法.习题14. 已知表示不超过实数的最大整数,为取整函数,是函数的零点，则等于( ).A. B. C. D. 设函数，则的值为.3已知函数在点x=1处的切线与直线垂直，且f（1）=0，求函数f(x)在区间0，3上的最小值.4已知函数（1）若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求的解析式；（2）命题P：函数在区间上是增函数； 命题Q：函数是减函数 如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；5（2011年高考北京卷，文）已知函数.（）求的单调区间；（）求在区间0
9、,1上的最小值.【答案】当时，切线方程为y=9, 当时，切线方程为y=12x+9.由得，即有当时，的切线，当时， 的切线方程为是公切线，又由得或，当时的切线为，当时的切线为，不是公切线综上所述 时是两曲线的公切线习题1-41B 2 3解： 与直线垂直的直线的斜率为，又f（1）=ln（21）14+c=0，所以c=5 ，由，当时，f（x） 0，f（x）单调递增；当时，f（x） 0，f（x）单调递减。又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在0，3最小值为ln2+54解：（1） 解得（2）在区间上是增函数，解得又由函数是减函数，得命题P为真的条件是：命题Q为真的条件是：又命题P、Q有且仅有一个是真命题，5解：（）令，得与的情况如下：x（）（0+所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是（）当，即时，函数在0，1上单调递增，