1、基础诊断考点突破课堂总结第3讲 圆的方程 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.基础诊断考点突破课堂总结定义平面内到的距离等于的点的轨迹叫做圆圆心 C(a，b)标准(xa)2(yb)2r2(r0)半径为 r充要条件：圆心坐标：D2，E2方程一般x2y2DxEyF0半径 r12 D2E24F1圆的定义和圆的方程定点定长D2E24F0基础诊断考点突破课堂总结2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)drM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在；(2)drM在圆上，即(x0a)2(y0b
2、)2r2M在；(3)d rM 在 圆 内，即(x0 a)2 (y0 b)2 r2M在圆外圆上圆内基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()基础诊断考点突破课堂总结2方程|x|1 1y12所表示的曲线是()A一个圆B两个圆C半个圆D两个半圆解析 由题意知，(|x|1)2(y1)21 又|x|10，即 x1或 x1，故表示两个半圆答案 D基础诊断考点突
3、破课堂总结3若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A(1,1)B(0,1)C(，1)(1，)Da1解析 因为点(1,1)在圆的内部，所以(1a)2(1a)24，所以1a1.答案 A基础诊断考点突破课堂总结4(人教 A 必修 2P124A4 改编)圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A(1,1)和 B(1,3)，则圆 C 的方程为_解析 设圆心坐标为 C(a,0)，点 A(1,1)和 B(1,3)在圆 C 上，|CA|CB|，即 a121 a129，解得 a2，所以圆心为 C(2,0)，半径|CA|2121 10，圆 C 的方程为(x2)2y210.答案(x2
4、)2y210基础诊断考点突破课堂总结5(2014山东卷)圆心在直线 x2y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为_解析 因为圆心在直线 x2y0 上，且圆 C 与 y 轴相切，所以可设圆心坐标为(2a，a)，则(2a)2a2(3)2，解得 a1.又圆 C 与 y 轴的正半轴相切，所以 a1，故圆 C 的标准方程为(x2)2(y1)24.答案(x2)2(y1)24基础诊断考点突破课堂总结考点一 圆的方程的求法【例1】(1)经过点P(2,4)，Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为_(2)已知圆C与直线xy0及xy
5、40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22基础诊断考点突破课堂总结深度思考 第2小题常规解法有两种：一是待定系数法；二是几何法，作为选择题的解法也可以采用验证解答.解析(1)设圆的方程为 x2y2DxEyF0，将 P，Q 两点的坐标分别代入得2D4EF20，3DEF10.又令 y0，得 x2DxF0.设 x1，x2 是方程的两根，由|x1x2|6 有 D24F36，由，解得 D2，E4，F8，或 D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80 或 x2y26x8y0.基础诊断考点突破
6、课堂总结(2)法一 设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可设圆心坐标为(a，a)，则|aa|2|aa4|2，即|a|a2|，解得 a1，故圆心坐标为(1，1)，半径 r 22 2，故圆 C 的方程为(x1)2(y1)22.基础诊断考点突破课堂总结法二 题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离 d 422 2；圆心是直线 xy0 被这两条平行线所截线段的中点，直线 xy0 与直线 xy0的交点坐标是(0,0)，与直线 xy40 的交点坐标是(2，2)，故所求圆的圆心坐标是(1，1)，所求圆 C 的方程是(x1)2(y1)22.法三 作为选择题也可以验证解答圆
7、心在 xy0 上，排除选项 C，D，再验证选项 A，B 中圆心到两直线的距离是否等于半径 2即可答案(1)x2y22x4y80 或 x2y26x8y0(2)B基础诊断考点突破课堂总结规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 xy10 相切于点B(2,
8、1)，则圆 C 的方程为_(2)(2015广州模拟)与 x 轴相切，圆心在直线 3xy0 上，且被直线 xy0 截得的弦长为 27的圆的方程为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)法一 由已知 kAB0，所以 AB 的中垂线方程为 x3.过 B 点且垂直于直线 xy10 的直线方程为 y1(x2)，即 xy30，联立，解得x3，y0，所以圆心坐标为(3,0)，半径 r432102 2，所以圆 C 的方程为(x3)2y22.基础诊断考点突破课堂总结法二 设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，点 A(4,1)，B(2,1)在圆上，故4a21b2r2，2a21b2r2，又b1a21，解得 a3
9、，b0，r 2，故所求圆的方程为(x3)2y22.基础诊断考点突破课堂总结(2)设所求的圆的方程是(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线 xy0 的距离为|ab|2，r2(|ab|2)2(7)2，即 2r2(ab)214.所求的圆与 x 轴相切，r2b2.又所求圆心在直线 3xy0 上，3ab0.联立，解得 a1，b3，r29 或a1，b3，r29.故所求的圆的方程为(x1)2(y3)29 或(x1)2(y3)29.答案(1)(x3)2y22(2)(x1)2(y3)29 或(x1)2(y3)29基础诊断考点突破课堂总结考点二 与圆有关的最值问题【例 2】已知实数 x，y 满足方程 x
10、2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求 yx 的最大值和最小值；(3)求 x2y2 的最大值和最小值基础诊断考点突破课堂总结解 原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yxk，即 ykx.当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k0|k21 3，解得 k 3(如图 1)所以yx的最大值为 3，最小值为 3.基础诊断考点突破课堂总结(2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|20b|23，解得 b2 6
11、(如图 2)所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6.基础诊断考点突破课堂总结(3)x2y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图 3)又圆心到原点的距离为 2020022，所以 x2y2 的最大值是(2 3)274 3，x2y2 的最小值是(2 3)274 3.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见：(1)形如 mybxa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如 taxby 的最值问题，可转化为动直线截
12、距的最值问题；(3)形如 m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】已知两点 A(1,0)，B(0,2)，点 P 是圆(x1)2y21 上任意一点，则PAB 面积的最大值与最小值分别是()A2，12(4 5)B.12(4 5)，12(4 5)C.5，4 5D.12(52)，12(52)基础诊断考点突破课堂总结解析 如图，圆心(1,0)到直线 AB：2xy20 的距离为 d 45，故圆上的点 P 到直线 AB 的距离的最大值是 451，最小值是 451，又|AB|5，故PAB 面积的最大值和最小值分别是 2 52，2 52.答案 B基
13、础诊断考点突破课堂总结考点三 与圆有关的轨迹问题【例3】已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程基础诊断考点突破课堂总结解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(
14、y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等基础诊断考点突破课堂总结【训练3】设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解 如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为x2，y2，线段 MN 的中点坐标为基础诊断考点突破课
15、堂总结x032，y042.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2x032，y2y042.从而x0 x3，y0y4.又 N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点95，125 和215，285(点 P 在直线 OM 上时的情况).基础诊断考点突破课堂总结思想方法1确定一个圆的方程，需要三个独立条件“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数2解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算基础诊断考点突破课堂总结易错防范1求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程2求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.