1、2015-2016学年四川省成都市高新区高三（上）11月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合M=xR|x23x100，N=xZ|x|2，则MN为（）A（2，2）B（1，2）C1，0，1D2，1，0，1，22在复平面内，复数z=对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第在象限D第四象限3等差数列an中，已知a2+a4+a6=39，a3+a6+a9=27，则an的前9项和为（）A66B99C144D2974汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能
2、是（）ABCD5，是两个向量，|=1，|=2，且（+），则与的夹角为（）A30B60C120D1506某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A4B4C6D87已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（）A4B3C2D18阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a，i分别是（）Aa=12，i=3Ba=12，i=4Ca=8，i=3Da=8，i=49将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A最大值为1，图象关于直线对称B在上单调递增，为偶函数C周期为，图象关于点对称D在上单调递增，为奇函数10已知抛物线y2=4x的准线过
3、双曲线=1（a0，b0）的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB的面积为，则双曲线的离心率为（）AB4C3D211若实数a，b，c，d满足（b+a23lna）2+（cd+2）2=0，则（ac）2+（bd）2的最小值为（）AB8CD212设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f（x）f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）Af（a）eaf（0）Bf（a）eaf（0）CD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在约束条件下，函数S=2x+y的最大值为14设函数f（x）=，则f（2）+f（log212）=15在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，则该
4、三棱柱外接球的表面积等于16在数列an中，a1=1，an+2+（1）nan=1，记Sn是数列an的前n项和，则S60=三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤）17已知f（x）=sin（+x）sin（x）cos2x（0）的最小正周期为T=（1）求f（）的值；（2）在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有（2ac）cosB=bcosC，则求角B的大小以及f（A）的取值范围18某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组50，60），第二组60，70），第五组90，100如图所示是按上述分
5、组方法得到的频率分布直方图（）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（）从测试成绩在50，60）90，100内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|mn|10”概率19如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明：ABA1C；（）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABCA1B1C1的体积20已知椭圆C： +=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点B（0，）为短轴的一个端点，OF2B=60（）求椭圆C的方程；（）如图，过右焦点F2，且斜率为k（k0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，
6、A为椭圆的右顶点，直线AE、AF分别交直线x=3于点M、N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k求证：kk为定值21已知函数f（x）=ax22lnx，aR（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m），对任意m1，e，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围22已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为=2cos（+）（）求圆心C的直角坐标；（）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值2015-2016学年四川省成都市高新区高三（上）11月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小
7、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合M=xR|x23x100，N=xZ|x|2，则MN为（）A（2，2）B（1，2）C1，0，1D2，1，0，1，2【考点】交集及其运算；一元二次不等式的解法【分析】化简M、N 两个集合，根据两个集合的交集的定义求出MN【解答】解：集合M=xz|x23x100=x|2x5，N=xZ|x|2=1，0，1，故MN=1，0，1，故选C2在复平面内，复数z=对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第在象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】本题考查的是复数的计算【解答】解：Z=，故选D3等差数列an中，已知a2+a4+a6=39，a3+
8、a6+a9=27，则an的前9项和为（）A66B99C144D297【考点】等差数列的前n项和【分析】由已知得a4=13，a6=9，从而能求出an的前9项和S9=99【解答】解：等差数列an中，a2+a4+a6=39，a3+a6+a9=27，a4=13，a6=9，an的前9项和S9=99故选：B4汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）ABCD【考点】函数的图象与图象变化【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（
9、时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有A答案满足要求，故选A5，是两个向量，|=1，|=2，且（+），则与的夹角为（）A30B60C120D150【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算【分析】设，的夹角为，0180，则由题意可得（）=0，解得cos=，可得 的值【解答】解：设，的
10、夹角为，0180，则由题意可得（）=0，即 +=1+12cos=0，解得cos=，=120，故选C6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A4B4C6D8【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是正四棱柱挖去一个半球，由三视图判断正四棱柱的底面边长及高，判断挖去半球的半径，把数据代入半球与棱柱的体积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是正四棱柱挖去一个半球，正四棱柱的底面边长与半球的直径为2，正四棱柱的高为1，几何体的体积V=22113=4故选：A7已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（）A4B3C2D1【考点】二项式系数的性质【分析】由题意利用二项展开式
11、的通项公式求得展开式中x2的系数为+a=5，由此解得a的值【解答】解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5） 展开式中x2的系数为+a=5，解得a=1，故选：D8阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a，i分别是（）Aa=12，i=3Ba=12，i=4Ca=8，i=3Da=8，i=4【考点】程序框图【分析】由程序框图依次计算第一、第二、第三次运行的结果，直到满足条件满足a被6整除，结束运行，输出此时a、i的值【解答】解：由程序框图得：第一次运行i=1，a=4；第二次运行i=2，a=8；第三次运行i=3，a=12；满足a被6整除，结束运行，输出a=12，
12、i=3故选A9将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A最大值为1，图象关于直线对称B在上单调递增，为偶函数C周期为，图象关于点对称D在上单调递增，为奇函数【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】直接利用三角函数的图象变换，写出函数的解析式，然后判断选项即可【解答】解：将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=cos2（x）=sin2x，显然y=sin2x 是奇函数，最大值为1，周期为：，在上单调递增，x=是对称轴，对称中心为：（，0）故选：D10已知抛物线y2=4x的准线过双曲线=1（a0，b0）的左焦点且与双
13、曲线交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB的面积为，则双曲线的离心率为（）AB4C3D2【考点】双曲线的简单性质【分析】求出抛物线y2=4x的准线方程，可得双曲线=1（a0，b0）的左焦点，求出x=1时，y的值，利用AOB的面积为，求出a，即可求双曲线的离心率【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=1，双曲线=1（a0，b0）的左焦点为（1，0）x=1时，代入双曲线方程，由b2=1a2，可得y=，AOB的面积为，=，a=，e=2故选：D11若实数a，b，c，d满足（b+a23lna）2+（cd+2）2=0，则（ac）2+（bd）2的最小值为（）AB8CD2【考点】函数的最值及其几何意义【分
14、析】化简得b=（a23lna），d=c+2；从而得（ac）2+（bd）2=（ac）2+（3lnaa2（c+2）2表示了点（a，3lnaa2）与点（c，c+2）的距离的平方；作函数图象，利用数形结合求解【解答】解：（b+a23lna）2+（cd+2）2=0，b=（a23lna），d=c+2；（ac）2+（bd）2=（ac）2+（3lnaa2（c+2）2，其表示了点（a，3lnaa2）与点（c，c+2）的距离的平方；作函数y=3lnxx2与函数y=x+2的图象如下，（3lnxx2）=2x=；故令=1得，x=1；故切点为（1，1）；结合图象可知，切点到直线y=x+2的距离为=2；故（ac）2+（bd
15、）2的最小值为8；故选：B12设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f（x）f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）Af（a）eaf（0）Bf（a）eaf（0）CD【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】根据选项令f（x）=，可以对其进行求导，根据已知条件f（x）f（x），可以证明f（x）为增函数，可以推出f（a）f（0），在对选项进行判断；【解答】解：f（x）是定义在R上的可导函数，可以令f（x）=，f（x）=，f（x）f（x），ex0，f（x）0，f（x）为增函数，正数a0，f（a）f（0），=f（0），f（a）eaf（0），故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题
16、5分，共20分）13在约束条件下，函数S=2x+y的最大值为2【考点】简单线性规划【分析】有约束条件画出可行域，对于目标函S=2x+y化成直线的一般式利用目标函数的几何含义即可求得【解答】解：根据线性规划知识作出平面区域为：图形中的阴影区域直角三角形ABC，即为不等式组表示的可行域由于目标函数为：S=2x+y化成直线的一般式可得：y=2x+S，此直线系为斜率为定值2，截距为S的平行直线系在可行域内，当目标函数过点A（）时使得目标函数在可行域内取最大值：S=2故答案为：214设函数f（x）=，则f（2）+f（log212）=9【考点】函数的值【分析】由条件利用指数函数、对数函数的运算性质，求得f
17、（2）+f（log212）的值【解答】解：由函数f（x）=，可得f（2）+f（log212）=（1+log24 ）+=（1+2）+=3+6=9，故答案为：915在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，则该三棱柱外接球的表面积等于12【考点】球的体积和表面积【分析】由题意推出三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积【解答】解：正三棱柱ABCA1B1C1的中，底面边长为，高为2，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，正三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心为O，外
18、接球的半径为r，表面积为：4r2球心到底面的距离为，底面中心到底面三角形的顶点的距离为： =1，所以球的半径为r=外接球的表面积为：4r2=12，故答案为：1216在数列an中，a1=1，an+2+（1）nan=1，记Sn是数列an的前n项和，则S60=480【考点】等比数列的前n项和【分析】由an+2+（1）nan=1得，当n为奇数时，an+2an=1，可判断数列an的奇数项构成等差数列，当n为偶数时，an+2+an=1，即a2+a4=a4+a6=1，然后利用分组求和可求得答案【解答】解：由an+2+（1）nan=1得，当n为奇数时，an+2an=1，即数列an的奇数项构成等差数列，首项为1
19、，公差为1，当n为偶数时，an+2+an=1，即a2+a4=a4+a6=1，S60=（a1+a3+a59）+（a2+a4+a60）=（1+2+30）+（1+1+1）=151+130=480，故答案为：480三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤）17已知f（x）=sin（+x）sin（x）cos2x（0）的最小正周期为T=（1）求f（）的值；（2）在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有（2ac）cosB=bcosC，则求角B的大小以及f（A）的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【分析】（1）先逆用两角差的正弦公式化成正
20、弦型函数的标准形式，然后利用周期公式T=，求的值，进而写出函数f（x）的解析式；求出f（）的值（2）利用正弦定理，求出cosB的值，继而求出B的大小，再根据A为三角形的内角求出A的范围，继而求出f（A）的范围【解答】解：（1）f（x）=sin（+x）sin（x）cos2x，=sinxcosxcos2x，=sin2xcos2x，=sin（2x）函数f（x）的最小正周期为T=即： =，得=1，f（x）=sin（2x），f（）=sin（2）=sin=1， （2）（2ac）cosB=bcosC，由正弦定理可得：（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，2sinAcosB=sinBcosC+co
21、sBsinC=sin（B+C）=sinA，sinA0，cosB=，B（0，），B=，A+C=B=，A（0，），2A（，），sin（2A）（，1，f（A）=sin（2A）（1，18某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组50，60），第二组60，70），第五组90，100如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图（）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（）从测试成绩在50，60）90，100内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|mn|10”概率【考点】频率分布直方
22、图【分析】（1）先算出频率分布直方图成绩大于或等于60且小于80的频率，再利用频数等于频率样本总数即可解得全班学生中成绩合格的人数（2）欲求事件“|mn|10”概率，根据古典概型，算出基本事件的总个数n和算出事件事件“|mn|10”中包含的基本事件的个数m；最后 算出事件A的概率，即P（A）=【解答】解：（I）由直方图知，成绩在60，80）内的人数为：5010（0.18+0.040）=29所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人（II）由直方图知，成绩在50，60）内的人数为：50100.004=2，设成绩为x、y成绩在90，100的人数为50100.006=3，设成绩为a、b、c，若m，n
23、50，60）时，只有xy一种情况，若m，n90，100时，有ab，bc，ac三种情况，若m，n分别在50，60）和90，100内时，有 a b c x xa xb xc y ya yb yc共有6种情况，所以基本事件总数为10种，事件“|mn|10”所包含的基本事件个数有6种19如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明：ABA1C；（）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABCA1B1C1的体积【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB平面OA1C得要证的结
24、论；（）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1OC，再根据OA1AB，得到OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积【解答】（）证明：如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B因为CA=CB，所以OCAB由于AB=AA1，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB因为OCOA1=O，所以AB平面OA1C又A1C平面OA1C，故ABA1C；（）解：由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以又，则，故OA1OC因为OCAB=O，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积，故三棱柱ABCA1B1C1的体积20已
25、知椭圆C： +=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点B（0，）为短轴的一个端点，OF2B=60（）求椭圆C的方程；（）如图，过右焦点F2，且斜率为k（k0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE、AF分别交直线x=3于点M、N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k求证：kk为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）由已知条件推导出b=，a=2，由此能求出椭圆方程（）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x1），由，得：（4k2+3）x28k2x+4k212=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线的斜率k=由此能证明kk为定值【解答】解：（）解：如图
26、，椭圆C： +=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点B（0，）为短轴的一个端点，OF2B=60，b=，a=2，故所求椭圆方程为（）证明：设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x1）由，得：（4k2+3）x28k2x+4k212=0，因为点F2（1，0）在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即0恒成立设点E（x1，y1），F（x2，y2），则，因为直线AE的方程为：y=，直线AF的方程为：y=，令x=3，得M（3，），N（3，），所以点P的坐标（3，）直线的斜率为=（）=所以kk为定值21已知函数f（x）=ax22lnx，aR（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数
27、f（x）图象上动点M（m，f（m），对任意m1，e，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，利用导数大于0或导数小于0，得到关于x的不等式，解之即可；注意解不等式时要结合对应的函数图象来解；（2）因为对任意m1，e，直线PM倾斜角都是钝角，所以问题转化为导数值小于0恒成立的问题，对于导函数小于0在区间1，e上恒成立，则问题转化为函数的最值问题，即函数f（x）0恒成立，通过化简最终转化为f（m）1在区间1，e上恒成立，再通过研究f（x）在1，e上的单调性求最值，结合（）的结果即可解决问题注意分
28、类讨论的标准的确定【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=ax=，（）当a0时，f（x）0，故函数f（x）在（0，+）上单调递减；当a=0时，f（x）=0，故函数f（x）在（0，+）上单调递减；当a0时，令f（x）=0，结合x0，解得，当x（0，）时，f（x）0，所以函数f（x）在（0，）上单调递减；当x（，+）时，f（x）0，所以函数f（x）在（，+）上单调递增；综上所述：当a0时，f（x）0，故函数f（x）在（0，+）上单调递减；当a0时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增（）因为对任意m1，e，直线PM的倾斜角都是钝角，所以对任意m1，e，直线PM的斜
29、率小于0，即，所以f（m）1，即f（x）在区间1，e上的最大值小于1又因为f（x）=ax=，令g（x）=ax22，x1，e（1）当a0时，由（）知f（x）在区间1，e上单调递减，所以f（x）的最大值为f（1）=1，所以a2，故a0符和题意；（2）当a0时，令f（x）=0，得，当1，即a2时，f（x）在区间1，e上单调递增，所以函数f（x）的最大值f（e）=，解得a，故无解；当e，即时，f（x）在区间1，e上单调递减，函数f（x）的最大值为f（1）=1，解得a2，故0；当，即时，函数f（x）在（1，）上单调递减；当x（，e）上单调递增，故f（x）在区间x1，e上的最大值只能是f（1）或f（e），
30、所以，即，故综上所述a的取值范围22已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为=2cos（+）（）求圆心C的直角坐标；（）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可【解答】解：（I），圆C的直角坐标方程为，即，圆心直角坐标为（II）直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是2016年11月20日
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