1、章末综合测评(一)不等式的基本性质和证明的基本方法(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知，则下列不等式一定成立的是()A.a2b2B.lg alg bC.D.【解析】由，得ab(c0).显然，当a，b异号或其中一个为0时， A，B，C不正确.【答案】D2.“|x1|2成立”是“x(x3)0成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】|x1|21x3，x(x3)00x0的解集是，则常数ab等于()A.14B.10C.10D.14【解析】由题意知
2、a0，且，是方程ax2bx20的两根，故有ab14.【答案】A7.已知x，yR，Mx2y21，Nxyxy，则M与N的大小关系是() 【导学号：38000030】A.MNB.MNC.MND.不能确定【解析】MNx2y21(xyxy)(x2y22xy)(x22x1)(y22y1)(xy)2(x1)2(y1)20，MN.【答案】A8.不等式|5xx2|6的解集为()A.x|x3B.x|1x2，或3x6C.x|1x6D.x|2x3【解析】|5xx2|665xx261x2或3x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()A.0B.1C.2D.4【解析】依题意abxy，x
3、ycd.又x0，y0，24，当且仅当xy时，等号成立.的最小值为4.【答案】D10.已知0a1，下列不等式一定成立的是()A.|log(1a)(1a)|log(1a)(1a)|2B.|log(1+a)(1a)|log(1-a)(1a)|C.|log(1+a)(1a)log(1-a)(1a)|log(1+a)(1a)|log(1-a)(1a)|D.|log(1+a)(1a)log(1-a)(1a)|log(1+a)(1a)|log(1-a)(1a)|【解析】0a1，11a2,01a1，log(1a)(1a)0，log(1a)(1a)0.A项，左边log(1a)(1a)log(1a)(1a)log
4、(1a)(1a).令log(1a)(1a)t0，左边t(t)2.由选择题的唯一性，其余可不判断.【答案】A11.f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)，对任意的正数a，b，若ab，则必有()A.af(a)bf(b)B.af(a)bf(b)C.af(b)bf(a)D.af(b)bf(a)【解析】xf(x)f(x)xf(x)xf(x)00，令F(x)，x(0，)，则F(x)0，F(x)是定义在(0，)上的减函数或常数函数，又正数ab，则必有F(a)F(b)af(b)bf(a).【答案】C12.关于x的不等式|x1|x2|a2a1的解集是空集，则a的取值范围是()A.(0
5、,1)B.(1,0)C.(1,2)D.(，1)【解析】|x1|x2|的最小值为1，故只需a2a11，所以1a0，y0且12，xy3.当且仅当时取等号.【答案】315.已知a，b，c，d为正数，且S，则S的取值范围是_.【解析】用放缩法，；.以上四个不等式相加，得1S2，b3，求ab的最小值.【解】a2，b3，a20，b30，0，因此ab(a2)(b3)5358.当且仅当a2b3时，即a3，b4时等号成立.故ab的最小值为8.19.(本小题满分12分)设a，b，c均为正数，且abc1，证明：1.【证明】因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.20.(本小题满分12
6、分)已知函数f(x)|2x1|2x3|.(1)求不等式f(x)6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)|a1|的解集非空，求实数a的取值范围.【解】(1)不等式f(x)6，即|2x1|2x3|6，等价于或或解得1x，解得x，解得x2，原不等式的解集为x|1x2.(2)f(x)|2x1|2x3|(2x1)(2x3)|4，即f(x)的最小值等于4，|a1|4，解此不等式得a3或a5.故实数a的取值范围为(，3)(5，).21.(本小题满分12分)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年巴西奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售x万件与年促销费t万元之间满
7、足3x与t1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件.已知2014年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完.(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销完，试将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？【解】(1)由题意可设3x，将t0，x1代入，得k2.x3.当年生产x万件时，年生产成本为32x33233.当销售x万件时，年销售收入为150%32
8、33t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，得年利润y(t0)(2)y5050250242，当且仅当，即t7时，等号成立.当促销费定在7万元时，年利润最大.22.(本小题满分12分)等差数列an各项均为正整数，a13，前n项和为Sn，等比数列bn中，b11，且b2S264，ban是公比为64的等比数列.(1)求an与bn；(2)证明：.【解】(1)设an的公差为d(dN)，bn的公比为q，则an3(n1)d，bnqn1.依题意由知，q642.由知，q为正有理数.所以d为6的因子1,2,3,6中之一，因此由知d2，q8.故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)证明：Sn357(2n1)n(n2)，则，.