1、2022 上海数学模拟 试卷共 4 页/第1页 2022.62022 年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学 模拟试卷2022.6考生注意：1.本场考试时间 120 分钟，试卷共 5 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分.4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共 54 分，其中 16 题各 4 分，712 题各 5 分）1.已知集合1,3,5,7,9A=，
2、25Bx|x=Z，则 AB=_2.已知复数 z 满足132iiz+=（其中i 为虚数单位），则 z=_3.已知函数2()(0)f xxx=，则()f x 的反函数为_4.已知二项式263()xx，则其展开式中3x 前的系数为_5.设抛物线2:2(0)ypx p=，F 为 的焦点，过 F 的直线l 交 于,A B 两点.若|4AB=且OFFA，则抛物线的方程为_6.已知,x y 满足：2103200 xyxyx+，则2zxy=+的最小值为_7.设有直线:30l kxy+=，l 的倾斜角为.若在直线l 上存在点 A 满足|2OA=，且 tan0，则 k 的取值范围是_8.已知公差为(0)d d 的
3、等差数列na，其中2312aa a=，则12345aaaaa+=_9.如图所示，有边长为 2 的正方体1111ABCDA BC D，P 为正方体表面的一个动点.若三棱锥 APBC的体积为 12，则1|PD 的取值范围是_10.2021 年 7 月，上海浦东美术馆正式对外开放，今年计划招募 15 名志愿者担任“采访者”和“讲述者”两项工作（每人只能承担一项工作），对“采访者”和“讲述者”的要求如下：2022 上海数学模拟 试卷共 4 页/第2页 Helios Yu 保留版权志愿者类型所需人数备注采访者10男、女比例为1:1讲述者5男、女比例不限现有 10 名女生，10 名男生报名，则符合要求的方
4、案有_个.11.已知点 P 在椭圆22:143xy+=上运动，的左、右焦点分别为12,F F.以 P 为圆心，半径为 12n的圆交线段12,PF PF 于,M N 两点（其中n 为正整数）.设12MF NF的最大值为 M，最小值为m，则 lim()nMm+=_12.设角数列n的通项为*2(1),nnnk=+N，其中 k 为常数且0,2.若存在整数3,40k，使n的前 k 项中存在,()ij ij 满足coscosij=，则 的最大值为_二、选择题（本大题共 20 分，每小题各 5 分）13.下列函数定义域为)0,+的是（）A.1yx=B.lnyx=C.yx=D.tanyx=14.复平面内存在复
5、数11z=，21z=，32222zi=+对应的三点123,Z Z Z，若点4Z 可与123,Z Z Z 共圆，则下列复数中可以表示为4Z 的是（）A.tan15cot30 i+B.cos45sin30 i+C.tan30sin15 i+D.sin75sin15 i+15.已知定义在)0,10 的函数()f x，满足：(2)()f xf xa+=+，()f x 在0,2 上的解析式为1,012()1,123axxf xa xx+=+，设()f x 的值域为 A.若存在实数b，使得,3Ab b+，则 a 的可能取值为（）A.712B.79C.76D.7316.已知不等式2:0(0)axbxca+有
6、实数解.结论：设12,xx 是 的两个解，则对于任意的12,xx，不等式12bxxa+和12cxxa恒成立；结论：设0 x 是 的一个解，若总存在0 x，使得2000axbxc+，则0c，下列说法正确的是（）A.结论、都成立B.结论、都不成立2022 上海数学模拟 试卷共 4 页/第3页 2022.6C.结论成立，结论不成立D.结论不成立，结论成立三、解答题（本大题共 76 分）17.（本题满分 14 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）如图所示，设有底面半径为 3 的圆锥.已知圆锥的侧面积为15，D 为 PA 中点，3AOC=.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线CD 与 A
7、B 所成角.18.（本题满分 14 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）已知在三角形 ABC中，2ab=，三角形的面积12S=.（1）若4b=，求 tan()AB+；（2）若3sin5C=，求sin,sinAB.19.（本题满分 14 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）自 2019 年起，上海市推进“三星级绿色生态城区”示范区项目.今年，一座人民公园将要建设一块绿地.设计方案如图所示，有一块边长为 500 米的正方形土地 ABCD，CE 是一段圆弧（以 D为圆心，与 BC 相切于C），其中,BEDE 为两条人行步道，AE 为一条鲜花带.已知每米人行步道的修建费
8、用为每米 288 元.（1）当50ADE=时，求人行步道,BEDE 的长度之和；（2）如何设计圆弧CE 的长度，才能使人行步道,BEDE 的总造价最低，并求出总造价.（长度精确到 0.1 米，造价精确到 0.01 元）DPAOBCBADCE2022 上海数学模拟 试卷共 4 页/第4页 Helios Yu 保留版权20.（本题满分 16 分，其中第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）已知双曲线22:12xy=，12,F F 是其左、右两个焦点.P 是位于双曲线 右支上一点，平面内还存在Q 满足22(0)PFF Q=.（1）若Q 的坐标为(2 3,5)，求 的值；（2
9、）若0py，3=，且1163PF PQ=，试判断，Q 是否位于双曲线上，并说明理由；（3）若Q 位于双曲线上，试用 表示1PF PQ，并求出7=时1PF PQ的值.21.（本题满分 18 分，其中第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）已知数列,nnab满足：存在*kN，对于任意的*nN，使得n knn kbaa+=+，则称数列 nb与na成“k 级关联”.记 nb与na的前 n 项和分别为,nnT S.（1）已知*2,2,nnnan bnN=，判断 nb与na是否成“4 级关联”，并说明理由；（2）若数列 nb与na成“2 级关联”，其中*cos1,2nnanN=+
10、，且有121,2bb=，求20222022TS的值；（3）若数列 nb与na成“k 级关联”且有2022nb=，求证：nS为递增数列当且仅当122,0ka aa.2022 上海数学模拟 评分细则共 6 页/第1页 2022.62022 年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学 模拟试卷2022.6参考答案及评分细则 教师注意：1.本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该试题的评阅.当考生的解答在某一步出现了错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视
11、影响程度决定后面部分的评分.这时原则上不应超过后面部分应给分数之半.如果有较严重的概念性错误，就不给分.一、填空题（本大题共 54 分，其中 16 题各 4 分，712 题各 5 分，考生所给答案与本答案不一致，且经过商议后仍评为错误的，扣除相应空格所有分数）1.3,5；2.102；3.)1(),0,fxx x=+；4.540；5.24yx=；6.2；7.5,2+；8.34；9.5 3 17,44；10.16003008；11.5；12.1939；二、选择题（本大题共 20 分，每小题各 5 分，每题只有一个正确选项）13.C；14.D；15.A；16.B；三、解答题（本大题共 76 分）17
12、.（本题满分 14 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）（1）（本题每 2 分为一个评级，其中含有线段表示的公式 1 分，答案 1 分）31555SrlllPBPA=侧 （2 分）224hOPPAOA=（4 分）21119412333VShOAOP=底 （6 分）2022 上海数学模拟 评分细则共 6 页/第2页 Helios Yu 保留版权（2）（本题提供两种解法）解法一：取 OA边上中点 E，连结,DE CEAC（7 分）DE 是 AOP的中位线，所以/DEOP（8 分）OP 垂直于底面，DE也垂直于底面，故 DEAB（9 分）CACOCEOA=，即 ABCE（10 分）由
13、于,CEDE 是平面 CDE 内两条相交直线（11 分）则 AB 平面CDE（13 分）故 ABCD，即异面直线 AB 与 CD 所成角为2（14 分）解法二：取圆弧 AB 中点 E，连结OE，由垂径定理可知OEAB分别以,OE OB OP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示（7 分）则(0,3,0),(0,3,0)(0,6,0)ABAB=（8 分）同时，3 3333 3,0,0,2,0,22222CDCD=（10 分）设异面直线 AB 与CD 所成角为（11 分）则 cos0AB CDABCD=（13 分，其中公式 1 分，答案 1 分）故2=，即异面直线 AB 与CD 所
14、成角为2（14 分）18.（本题满分 14 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）（1）（本体要求分情况讨论分别写出结果，未进行分类讨论混写结果的本题最高得 4 分）2113sin2sin16sin12sin224SabCbCCC=（1 分）而sintan()tan()tancosCABCCC+=（2 分）分情况讨论，当C 为锐角时，27cos0cos1 sin4CCC=，3tan()77AB+=（4 分）当 C 为钝角时，27cos0cos1 sin4CCC=，DPAOBCEDPAOBCExyz2022 上海数学模拟 评分细则共 6 页/第3页 2022.63tan()77AB
15、+=+（6 分）（2）（若有其他解法，请参照评分）22113sin2sin122 54 5225SabCbCbba=（8 分）分情况讨论，当C 为锐角时，24cos0cos1 sin5CCC=，由余弦定理，222cos366cababCc=+=（9 分）由正弦定理，4 52 52 5510sin,sinsinsinsinsinsin55abcABABCAB=（11 分）当 C 为钝角时，24cos0cos1 sin5CCC=，由余弦定理，222cos1642 41cababCc=+=（12 分）由正弦定理，4 52 5106 2053 20541sin,sinsinsinsinsinsin32
16、05205abcABABCAB=（14 分）19.（本题满分 14 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）（1）（本题亦可用余弦定理求解，请参照评分，但不利于后续解答）如图所示，作,EFAB EGAD（1 分）同时可知，500DEDA=米，故由cos500cos50DGDEEDA=500500cos50EFAGADDG=（2 分）同时，500500sin50BFABAFABEG=（3 分）由勾股定理，222BEEFBF=+（4 分）解得()()22500500cos50500500sin50BE=+213.50=米（5 分）213.50500713.50713.5BEDE+=+=
17、米（6 分）（2）（本题还可采用余弦定理求解，但需注意中间半角和全角的转化，请参照评分）设 ABBCCDADDER=（500R=米）则与第（1）问相同，设ADE=，由于 DE 为定值，只需考虑 BE 的变化情况则()()1cos,1sinEFRBFR=（8 分）由勾股定理，222BEEFBF=+解得()()221cos1 sin32sin2cosBERR=+=32 2sin,0,42R=+（10 分，辅助角公式和定义域各 1 分）故当424+=时，BE 取得最小值.（11 分）BADCEFG2022 上海数学模拟 评分细则共 6 页/第4页 Helios Yu 保留版权则()()min32 2
18、32 21500 2707.1BEDERRR+=+=+=米（12 分）则总造价288 500 2203646.753=元 （13 分）此时圆弧500125392.74CE=米 （14 分）故当圆弧长度设计为392.7 米时，人行步道,BEDE 的总造价最低，为 203646.753元.（答句不写倒扣 1 分）20.（本题满分 16 分，其中第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）（1）2222222,13(3,0)abcabF=+=（1 分）2233(3,),(3,5)(33,5)5ppppxPFxyF QPy=（2 分）代入双曲线方程化简得27610+=（3 分）解
19、得17=（负值舍去）（4 分）（2）()1122122121214164333PF PQPF PFF QPFPFPFPF PFPF PF=+=+=（6 分）设()00,P xy，则100200(3,),(3,)PFxyPFxy=，2222200120000344 315331443,22333xxPF PFxyxxP=+=+=同时解出8 315,99Q （8 分，,P Q 一个坐标 1 分）代入双曲线方程，即228 3152299=，所以Q 在双曲线上 （10 分）（3）设()00,P xy，则1002002(3,),(3,),(3,)QQPFxyPFxyF Qxy=由0002203333,Q
20、QxxxyPFF QQyy=+=（11 分）代入双曲线方程，即22003322xy+=，化简得()()()()20312 31211x+=+（12 分）2022 上海数学模拟 评分细则共 6 页/第5页 2022.6()()00312 3212 35xx+=（13 分）()20112212212311142xPF PQPF PFF QPFPFPFPF PF+=+=+=()221 31025174113,0,2128+=+（15 分）代入7=，解得116PF PQ=（16 分）21.（本题满分 18 分，其中第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）（1）由44nnnba
21、a+=+可得：442222824822nnnnnnn+=+=+=+（2 分）显然，等式不恒成立，举反例：1n=时，有：左83=右.（4分）（2）由22nnnbaa+=+可得：22nnnbaa+=（5 分）利用累加法：202220222021202133122020()()()bababaaaa+=+（6 分）整理得：20222022121220202022202220201212()()()()TSbbaaSTSSaabb+=+（7 分）由*cos1,2nnanN=+可知：4nnaa+=且第一周期内有12341,0,1,2aaaa=（8 分）所以20204505505 42020SS=（9 分
22、）而又因为121,2bb=，故202220222020 1 32022TS=+=.（10 分）（3）由2022nn kaa+=展开分析：则有：222022n knknn knnkaaaaaa+=+=（*）（12 分）（此处必要性与充分性的说明分别给出一种解法，但都可用反证法，可参照评分）（a）先说明必要性.由nS为递增数列可知：11nnnSSa+=，当121nk 时，显然需有22,0kaa，由此才能保证2211kkSSS （13 分）接着论证 241knk 的情况，首先当2nk=时，因为212kkSS+，故212210kkkSSa+=，2022 上海数学模拟 评分细则共 6 页/第6页 Hel
23、ios Yu 保留版权由（*）式可知：1210kaa+=，故122,0ka aa.（14 分）而当 2141knk+时，因为2221222232223344142000kkkkkkkkkkSSaaSSaaSSaa+=，也可说明22,0kaa.故可知：2122112221222*23222332(1)2(1)12(1)2000,0k mk mk mk mk mk mk mk mk mk mk mk mkSSaaSSaaSSaamNSSaa+=（必要性得证）（15 分）（b）再说明充分性.考虑反证法.假设数列nS中存在两项满足1iiSS+，得到110iiiSSa+=（16 分）由于2nnkaa+=
24、结合122,0ka aa，能够得到：122,21,22,2(1)nka nk mank mamNank m=+=+=+（17 分）可知0na 对于全体正整数*N 都成立，这与存在一项10ia+矛盾！假设不成立（18 分）（充分性得证）由（a）、（b），命题得证.上海数学模拟 双向细目表共 3 页/第1页 2022.62022 年普通高等学校招生全国统一考试 上海数学 模拟试卷 双向细目表 2022.6命题的目的仿真模拟、查漏补缺、打开思路试卷总体难度估计0.550.65试卷内容考察目标其他考量题号考察知识与能力记忆理解应用分析评价创造题型难度估计1集合的运算填空0.80.92复数的共轭、复数的
25、模长运算填空0.80.93基本初等函数的反函数填空0.80.94二项式定理填空0.80.95抛物线的标准方程填空0.70.86简单的线性规划填空0.70.87直线与圆的位置关系填空0.60.78简单的等差数列填空0.70.89简单的几何体、空间中两点连线的长度填空0.60.710简单的排列组合填空0.70.811向量的数量积、数列的极限填空0.40.512数列与平面几何填空0.20.313基本初等函数的定义域选择0.80.914复数的几何意义选择0.70.815分段函数的单调性、周期性、值域选择0.50.616一元二次不等式与二次函数图像选择0.50.617（1）简单的几何体的侧面积、体积解答
26、0.80.917（2）空间中异面直线所成角解答0.70.8上海数学模拟 双向细目表共 3 页/第2页 Helios Yu 保留版权18（1）三角形面积公式、诱导公式、角的三角比解答0.70.818（2）三角形面积公式、正弦定理、余弦定理解答0.60.719（1）平面几何中的长度问题解答0.70.819（2）三角函数的最值问题、数学建模解答0.50.620（1）双曲线的焦距、向量的坐标表示、简单计算解答0.70.820（2）向量的分解、向量的数量积、简单计算解答0.50.620（3）向量的分解、向量的数量积、函数关系的表示解答0.30.421（1）新定义数列的定义理解解答0.70.821（2）新
27、定义数列的性质理解与应用、累加法的应用解答0.50.621（3）新定义数列性质探究、充要条件的证明解答0.20.3知识点题号总分值知识点分布与分值集合与命题1、21（3）12不等式165函数3、13、15、19、20（3）35三角12、1819平面向量11、20（2）、20（3）17复数2、149数列8、12、2128解析几何5、7、11、2030矩阵、行列式、线性规划、排列组合、二项式定理、算法、概率统计、参数方程等4、6、1013立体几何、空间向量、三视图9、1719数形结合思想5、12、15、16分类讨论思想10、12、15、16、18转化与化归思想6、7、9、11、12、14、15、2
28、1上海数学模拟 双向细目表共 3 页/第3页 2022.6函数与方程思想16试卷命制说明试卷命制过程主要为封校期间，耗时约为 2 周半，命制思路为：1.考察主干知识及高中期间基本数学思想；2.问题设计情景化、丰富化、多样化，符合上海高考一贯特点，引导学生关注社会实际；3.90%及以上为原创（其中重点位置如 11、12、15、16、19、20、21 均为原创），10%左右有微小改编（根据教材内容和历年高考真题，借助类似思想进行改编，如 8、9、14，其中 14 改编于教材）4.关注难度的梯度性，展现不同层次学生能力，目标起到较好的区分度；5.使得教师的教学成果及学生的课后思考有所体现，如 16 题命制思路源自于一元二次不等式的教学；6.关注一题多解，如 17（2）用几何演绎法和空间向量法都可探寻到正确的答案，19（2）也有多种思路，但哪种思路为最优解，仍需要学生自主探究.感谢试卷命制过程中多位同学提供的帮助，同时感谢上海 maths 刘伏星老师提供交流学习的机会.获取试卷、参考答案、双向细目表 pdf 请联系：Helios_O