1、章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线2x2y28的实轴长是()A2B2C4D4【解析】双曲线方程可化为1，所以a24，a2,2a4.【答案】C2(2016临沂高二检测)若抛物线的准线方程为x7，则此抛物线的标准方程为()Ax228yBy228xCy228xDx228y【解析】抛物线准线方程x7，p14，焦点在x轴上，标准方程为y228x.【答案】B3已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为()A.BC.D【解析】由题意双曲线焦点在
2、x轴上，故，e.【答案】A4若椭圆1的焦点在y轴上，则m的取值范围是()A.B(0,1)C.D【解析】由题意得3m0,2m10且2m13m，解得0m1.【答案】B5设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若点P在双曲线上，且0，则|()A.B2C.D2【解析】设点P(x，y)，由0，得点P满足在以F1F2为直径的圆上，即x2y210.又2(2x，2y)，|2.【答案】B6以双曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为() 【导学号：63470051】Ay216xBy216xCy28xDy28x【解析】因为双曲线1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y2
3、16x.【答案】A7双曲线1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是()A(，0)B(12,0)C(3,0)D(60，12)【解析】由题意知k0，a24，b2k.e21.又e(1,2)，114.12k1，且|PO|R1，|PC|R1，又|OC|3，|PO|PC|20，b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|F1F2|，且cos PF1F2，则双曲线的渐近线方程为()A3x4y0B3x5y0C4x3y0D5x4y0【解析】|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|2a2a2c.由余弦定理得，.渐近线方程为yx，即4x3y0.【答案】C12若直线ykx2与抛物线y28x交于A，B两
4、个不同的点，焦点为F，且|AF|,4，|BF|成等差数列，则k()A2或1B1C2D1【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y得k2x24(k2)x40，故4(k2)24k2464(1k)0，解得k1，且x1x2.由|AF|x1x12，|BF|x2x22，且|AF|,4，|BF|成等差数列，得x12x228，得x1x24，所以4，解得k1或k2，又k1，故k2.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13若抛物线y2mx与椭圆1有一个共同的焦点，则m_.【解析】椭圆的焦点为(2,0)由2得m8.【答案】814已知双曲线的左、右焦点分
5、别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a8，那么ABF2的周长是_【解析】由双曲线的定义|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a，|AF2|BF2|AB|4a，ABF2的周长为4a2|AB|26.【答案】2615(2015全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_. 【导学号：63470052】【解析】由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m0)，则解得所以圆的标准方程为y2.【答
6、案】y216已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_【解析】若k不存在，则yy32.若k存在，设直线AB的斜率为k，当k0时，直线AB的方程为y0，不合题意，故k0.由题意设直线AB的方程为yk(x4)(k0)，由得ky24y16k0，y1y2，y1y216.yy(y1y2)22y1y23232.yy的最小值为32.【答案】32三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知双曲线的渐近线方程为yx，并且焦点都在圆x2y2100上，求双曲线方程【解】双曲线的渐近线方
7、程为yx，设双曲线方程为(0)又焦点在圆x2y2100上，c2100.则(3)2(4)2100，解得4.所求双曲线方程为4，即1.18(本小题满分12分)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，F1PF260，求椭圆离心率的取值范围【解】|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，|PF1|PF2|a2.在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos F1PF2，即|F1F2|2|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)23，(2c)2(2a)23a2，a24c2.，e.19(本
8、小题满分12分)已知点P(6,8)是椭圆1(ab0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若0.试求：(1)椭圆的方程；(2)求sinPF1F2的值【解】(1)因为0，所以(c6)(c6)640，所以c10，所以F1(10,0)，F2(10,0)，所以2a|PF1|PF2|12，所以a6，b280.所以椭圆方程为1.(2)因为PF1PF2，所以S|PF1|PF2|F1F2|yP80，所以|PF1|PF2|160，又|PF1|PF2|12，所以|PF2|4，所以sinPF1F2.20(本小题满分12分)如图2所示，已知抛物线y24x的焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的
9、中点，求点M的轨迹方程图2【解】设M(x，y)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易求y24x的焦点F的坐标为(1,0)M是FQ的中点，即又Q是OP的中点，即P在抛物线y24x上，(4y)24(4x2)，整理得，y2x.故M点的轨迹方程为y2x.21(本小题满分12分)(2015全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. 【导学号：63470053】【解】(1)由题意有，1，解得a28，b24.所以C的方程为1.(2)设直线l
10、：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值22(本小题满分12分)已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1交于A，B两点(1)写出抛物线C1的标准方程；(2)求ABO面积的最小值【解】(1)椭圆C2：1的右焦点为(1,0)，即为抛物线C1的焦点，又抛物线C1的顶点在坐标原点，所以抛物线的标准方程为y24x.(2)当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x4，此时|AB|8，ABO的面积S8416.当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为yk(x4)(k0)，联立消去x，得ky24y16k0，1664k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1y2，y1y216，SAOBSAOMSBOM|OM|y1y2|216，综上所述，ABO面积的最小值为16.