1、曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是(2)以这个方程的解为坐标的点都是_那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做第八节曲线与方程这个方程的解曲线上的点方程的曲线曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标；(2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 PM
2、|p(M)；(3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程；(4)化方程 f(x，y)0 为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上f(x，y)0曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3曲线的交点设曲线 C1 的方程为 F1(x，y)0，曲线 C2 的方程为 F2(x，y)0，则 C1，C2 的交点坐标即为_的实数解若此方程组，则两曲线无交点无解方程组F1x，y0，F2x，y0曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1已知点 F14，0，直线 l：x14，点 B 是 l 上的动
3、点若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点M，则点 M 的轨迹是()A双曲线 B椭圆C圆D抛物线小题体验解析：由已知知|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线答案：D 曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2(教材习题改编)和点 O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数 c 的点的轨迹方程为_解析：设点的坐标为(x，y)，由题意知(x02y02)2(xc2y02)2c，即 x2y2(xc)2y2c，即 2x22y22cxc2c0答案：2x22y22cxc2c0曲
4、线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)2求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1(教材习题改编)若 M，N 为两个定点，且|MN|6，动点 P满足 PM PN0，则 P 点的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线D抛物线小题纠偏解析：PM PN0，PMPN点 P 的轨迹是以线段 MN 为直径的圆答案：A 曲线与方程 结 束 课 前
5、 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2在ABC 中，A 为动点，B，C 为定点，Ba2，0，Ca2，0(a0)，且满足条件 sin Csin B12sin A，则动点 A 的轨迹方程是_解析：由正弦定理得|AB|2R|AC|2R 12|BC|2R，即|AB|AC|12|BC|，故动点 A 是以 B，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支即动点 A 的轨迹方程为16x2a2 16y23a2 1(x0 且 y0)答案：16x2a2 16y23a2 1(x0 且 y0)曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点一 直接
6、法求轨迹方程题组练透1已知点 O(0,0)，A(1，2)，动点 P 满足|PA|3|PO|，则 P 点的轨迹方程是()A8x28y22x4y50B8x28y22x4y50C8x28y22x4y50D8x28y22x4y50解析：设 P 点的坐标为(x，y)，则 x12y223 x2y2，整理得 8x28y22x4y50答案：A 曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2已知 M(2,0)，N(2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程为()Ax2y22 Bx2y24Cx2y22(x2)Dx2y24(x2)解析：设 P(
7、x，y)，MPN 为以 MN 为斜边的直角三角形，|MP|2|NP|2|MN|2，(x2)2y2(x2)2y216，整理得 x2y24M，N，P 不共线，x2，轨迹方程为 x2y24(x2)，故选 D 答案：D曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3设 F(1,0)，点 M 在 x 轴上，点 P 在 y 轴上，且MN2 MP，PM PF，当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程解：设 M(x，0)，P(0，y)，N(x，y)，由MN2 MP，得(xx，y)2(x，y)，所以xx2xy2y，解得xx，yy2.因为 PM PF，PM(
8、x，y)，PF(1，y)，所以(x，y)(1，y)0，即 xy20，所以xy220，即 y24x因此所求的轨迹方程为 y24x曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 谨记通法直接法求轨迹方程的 2 种常见类型及解题策略(1)题目给出等量关系，求轨迹方程可直接代入即可得出方程(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程可利用已知条件寻找等量关系，得出方程但要注意完备性易忽视曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点二 定义法求轨迹方程 典例引领1(2016北京模拟)ABC 的顶点 A(5,0)，
9、B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程是_解析：如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826根据双曲线的定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为x29 y2161(x3)答案：x29 y2161(x3)曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，则圆心 P 的轨迹方程为_解析：设圆 M，圆 N 与动圆 P 的半径分别为 r1，r2，R因为圆 P
10、与圆 M 外切且与圆 N 内切，|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24，由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24 y23 1(x2)答案：x24 y231(x2)曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法定义法求曲线方程的 2 种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，其方程是何形式的情况，利用条件把待定系数求出来，使问题得解曲线与方
11、程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用1若典例引领第 2 题中的条件“动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切”改为“动圆 P 与圆 M、圆 N 都内切”，则圆心P 的轨迹方程为_解析：由两圆方程知圆 M 与圆 N 相内切，设切点为 A,若圆 P 与圆 M、圆 N 都内切，则切点必为 A 点，且动圆 P 的圆心在 x 轴上.若圆 P 在圆 M 和圆 N 的内部与两圆内切，则点 P 在线段 AM（不含端点）上；若圆 P 在圆 M 外部及圆 N 内部与两圆内切，则点 P 在线段 MN（不含端点）上；若圆 P 在圆 M 和圆 N 的外部与两圆内
12、切，则点 P 在射线 Nx（不含点 N）上.所以动点 P 的轨迹方程为 y=0（x（-2,-1）（-1,1）（1,+）.答案：y=0（x（-2,-1）（-1,1）（1,+）曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2已知曲线 上的点到点 F(0,1)的距离比它到直线 y3的距离小 2，则曲线 的方程为_解析：法一：设 S(x，y)为曲线 上任意一点，依题意，点 S 到 F(0,1)的距离与它到直线 y1 的距离相等，所以曲线 是以点 F(0,1)为焦点、直线 y1 为准线的抛物线，所以曲线 的方程为 x24y法二：设 S(x，y)为曲线 上任意
13、一点，则|y(3)|x02y122，依题意，点 S(x，y)只能在直线 y3 的上方，所以 y3，所以 x02y12y1，化简，得曲线 的方程为 x24y答案：x24y曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点三 代入法求轨迹方程典例引领如图，已知 P 是椭圆x24 y21 上一点，PMx 轴于 M若 PNNM(1)求 N 点的轨迹方程；(2)当 N 点的轨迹为圆时，求 的值曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解：(1)设点 P，点 N 的坐标分别为 P(x1，y1)，N(x，y)，则
14、 M 的坐标为(x1,0)，且 xx1，PN(xx1，yy1)(0，yy1)，NM(x1x，y)(0，y)，由 PNNM得(0，yy1)(0，y)yy1y，即 y1(1)yP(x1，y1)在椭圆x24 y21 上，则x214 y211，x24(1)2y21，故x24(1)2y21 即为所求的 N 点的轨迹方程曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)要使点 N 的轨迹为圆，则(1)214，解得 12或 32当 12或 32时，N 点的轨迹是圆曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法
15、代入法求轨迹方程的 4 个步骤(1)设出所求动点坐标 P(x，y)(2)寻求所求动点 P(x，y)与已知动点 Q(x，y)的关系(3)建立 P，Q 两坐标间的关系，并表示出 x，y(4)将 x，y代入已知曲线方程中化简求解曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用1已知点 A(1,0)，直线 l：y2x4，点 R 是直线 l 上的一点，若 RA AP，则点 P 的轨迹方程为()Ay2x By2xCy2x8 Dy2x4解析：设 P(x，y)，R(x1，y1)，由 RA AP知，点 A 是线段RP 的中点，xx121，yy120，即x12x
16、，y1y.点 R 是直线 l 上的点，y2(2x)4即 y2x，故选 B 答案：B 曲线与方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2已知曲线 E：ax2by21(a0，b0)，经过点 M33，0 的直线 l 与曲线 E 交于点 A，B，且 MB2 MA若点 B 的坐标为(0,2)，求曲线 E 的方程解：设 A(x0，y0)，B(0,2)，M33，0，故 MB 33，2，MAx0 33，y0 由于 MB2MA，33，2 2x0 33，y0 x0 32，y01，即 A32，1 A，B 都在曲线 E 上，a02b221，a322b121，解得a1，b14.曲线 E 的方程为 x2y241
