1、第 2 课时 空间中直线与直线之间的位置关系核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P44P47，回答下列问题(1)在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？提示：平行或相交(2)若把立交桥抽象成直线，它们是否在同一平面内？有何特征？提示：不在同一平面既不相交也不平行(3)观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线，是否也具有类似特征？提示：是2归纳总结，核心必记(1)空间直线的位置关系异面直线：不同在平面内的两条直线异面直线的画法(衬托平面法)如图所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托任何一个空间两条直线的三种位置关系位置关系特 点相交
2、同一平面内，有且只有公共点平行同一平面内，公共点异面不同在内，公共点任何一个平面一个没有没有(2)公理 4 及定理公理 4：平行于直线的两条直线互相符号表示：ab，bc.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补同一条平行ac(3)异面直线所成的角定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间一点 O 作直线 aa，bb，则异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)就是直线 a与 b所成的(或)范围：.特别地，当 时，a 与 b 互相垂直，记作 .ab任意锐角直角09090问题思考(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示：不一定可能平行、相交或异面(2)两条垂直
3、的直线必相交吗？提示：不一定可能相交垂直，也可能异面垂直(3)如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？提示：不一定这两条直线可能平行、相交或异面课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)空间直线有哪些位置关系？；(2)公理 4 及等角定理各是什么？；(3)异面直线所成的角是什么？其取值范围是什么？观察下图中电线杆所在直线、电线所在直线的位置关系思考 1 怎样理解异面直线？名师指津：对异面直线的理解：(1)异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线(2)注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过 a、b
4、两条直线例如，如图所示的长方体中，棱 AB和 B1C1 所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故 AB 与 B1C1 是异面直线思考 2 怎样认识异面直线所成的角？名师指津：对异面直线所成角的认识：(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点 O 是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与 a，b所成的锐角(或直角)相等，而与点 O 的位置无关(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算思考 3 如何从公共点个数或是否共面的角度对空间两条直线分类？名师指津：若从有无公共点的角
5、度来看，可分为两类：直线有且仅有一个公共点相交直线，无公共点平行直线，异面直线.若从是否共面的角度看，也可分为两类：直线共面直线相交直线，平行直线，不共面直线：异面直线.讲一讲1(1)(2014广东高考)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1 与 l4 既不垂直也不平行Dl1 与 l4 的位置关系不确定(2)如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是 AB1，BC1 的中点，则以下结论中不成立的是_EF 与 BB1 垂直；EF 与 BD 垂直
6、；EF 与 CD 异面；EF 与 A1C1 异面尝试解答(1)构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1，取 l1 为 AD，l2 为 AA1，l3 为 A1B1，当取l4 为 B1C1 时，l1l4，当取 l4 为 BB1 时，l1l4，故排除 A，B，C，选 D.(2)连接 A1B，E、F 分别是 AB1，BC1 的中点，EF 是A1BC1 的中位线，EFA1C1，故正确错误答案(1)D(2)1判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理 4 判断2判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内(2
7、)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为 A，B，l，BlAB 与 l 是异面直线(如图)练一练1若 a，b，c 是空间三条直线，ab，a 与 c相交，则 b 与 c 的位置关系是_解析：在正方体 ABCD-ABCD中，设直线 DC为直线 b，直线 AB为直线 a，满足 ab，与 a 相交的直线 c 可以是直线 BC，也可以是直线 BB.显然直线 BC与 b 相交，BB与b 异面，故 b 与 c 的位置关系是异面或相交答案：异面或相交观察下图中的AOB 与AOB.思考 1 这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？提示：分别对应平
8、行思考 2 测量一下，这两个角的大小关系如何？提示：相等思考 3 公理 4 的作用是什么？名师指津：公理 4 是论证平行问题的主要依据在公理 4 中，若把直线 a，b，c 的平行关系限制在同一平面内，则可看作是公理 4 的一种特殊情况思考 4 怎样认识等角定理？名师指津：(1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理 4的直接应用(2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补因此等角定理用来证明两个角相等或互补讲一讲2(1)在空间四边形 ABCD 中，如图1 所示，AEABAHAD，CFCBCGCD，则 EH 与FG 的位置关系是_(2)如 图2所 示，在 正
9、方 体ABCD-ABCD中，E、F、E、F分别是 AB、BC、AB、BC的中点，求证：EEFF.尝试解答(1)连接 BD，在 ABD中，AEABAHAD，则 EHBD，同理可得 FGBD.所以 EHFG.(2)证明：因为 E、E分别是 AB、AB的中点，所以 BEBE，且 BEBE.所以四边形 EBBE是平行四边形所以 EEBB，同理可证 FFBB.所以 EEFF.答案(1)平行1证明两条直线平行的方法(1)公理 4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点2证明
10、两个角相等的方法(1)利用等角定理；(2)利用三角形全等或相似练一练2如图，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)若四边形 EFGH 是矩形，求证：ACBD.证明：(1)如题图，在ABD 中，E，H 分别是 AB，AD 的中点，EHBD.同理 FGBD，则 EHGH.故 E，F，G，H 四点共面(2)由(1)知 EHBD，同理 ACGH.又四边形 EFGH 是矩形，EHGH.故 ACBD.讲一讲3已知三棱锥 A-BCD 中，ABCD，且直线 AB 与 CD 成 60角，点 M，N 分别是 BC，AD 的
11、中点，求直线 AB 和 MN所成的角思路点拨 根据条件和要求的角，解答本题要作出直线 AB 和 MN 所成的角，根据点 M,N 分别是 BC，AD 的中点，可考虑利用三角形中位线的性质作辅助线尝试解答 如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，因为点 M，N 分别是 BC，AD 的中点，所以 PMAB，且 PM12AB；PNCD，且 PN12CD，所以MPN(或其补角)为 AB 与 CD所成的角，PMN(或其补角)为 AB 与 MN 所成的角因为直线 AB 与 CD 成 60角，所以MPN60或 120.又因为 ABCD，所以 PMPN，(1)若MPN60，则 PMN 是等边三角形，所以P
12、MN60，即 AB 与 MN 所成的角为 60.(2)若MPN120，则易知 PMN 是等腰三角形所以PMN30，即 AB 与 MN 所成的角为 30.综上，直线 AB 与 MN 所成的角为 60或 30.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出可用“一作二证三计算”来概括同时注意异面直线所成角范围是(0，90练一练3.如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是棱 BC、CC1 的中点，则异面直线 EF 与 B1D1 所成的角为_解析：连接 BC1，A
13、D1，AB1，则 EF 为BCC1 的中位线，EFBC1.又AB 綊 CD 綊 C1D1，四边形 ABC1D1 为平行四边形EFAD1.AD1B1 为异面直线 EF 和 B1D1 所成的角或其补角在AB1D1 中，易知 AB1B1D1AD1，AB1D1 为正三角形，AD1B160.EF 与 B1D1 所成的角为 60.答案：60课堂归纳感悟提升1本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理 4 和等角定理解决一些简单的相关问题难点是求异面直线所成的角2本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线位置关系的方法，见讲 1.(2)证明两条直线平行的方法，见讲 2.(3)求异面直线所成角的解题步骤，见讲 3.3本节课的易错点是将异面直线所成的角求错，如讲 3.