1、第六章不等式、推理与证明第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练A组基础对点练1下列各点中，与点(2，2)位于直线xy10的同一侧的是()A(0，0)B(1，1)C(1，3) D(2，3)解析：点(2，2)使xy10，点(1，3)使xy10，所以此两点位于xy10的同一侧答案：C2(2020铁岭模拟)已知变量x，y满足约束条件则z2xy的最大值为()A1B2C3 D4解析：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为(0，1)，(1，0)，(1，2)，验证知当直线z2xy过点A(1，0)时，z最大是2.答案：B3(2020大连模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范
2、围是()A. B(0，1C. D(0，1解析：不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)，求得A，B两点的坐标分别为和(1，0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0a1或a.答案：D4若函数ylog2x的图像上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()A.B1C. D2解析：如图，作出不等式组表示的可行域，当函数ylog2x的图像过点(2，1)时，实数m有最大值1.答案：B5(2020石家庄模拟)已知x，y满足约束条件则下列目标函数中，在点(4，1)处取得最大值的是()Azxy Bz3xyCzxy Dz3xy解析：画的线性区域，求得A，B，C三点坐标为(4，1)、(
3、1，4)、(4，1)，由于只在(4，1)处取得最大值，否定A、B、C.答案：D6若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A3 B1C. D3解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则m1.由解得即A(1m，1m)由解得即B.因为SABCSADCSBDC(22m)(m1)2，所以m1或m3(舍去)，故选B.答案：B7已知x，y满足条件则z的最大值为()A2 B3C D解析：作出可行域(图略)，问题转化为区域上哪一点与点M(3，1)连线斜率最大，观察知点A使kMA最大，zmaxkMA3.答案：B8设x，y满足约束条件则
4、z2xy的最小值是()A15 B9C1 D9解析：法一：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示易求得可行域的顶点A(0，1)，B(6，3)，C(6，3)，当直线z2xy过点B(6，3)时，z取得最小值，zmin2(6)315，选A.法二：易求可行域顶点A(0，1)，B(6，3)，C(6，3)，分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，15，9，故最小值为15.答案：A9若关于x，y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为_解析：直线kxy10过点(0，1)，要使不等式组表示的区域为等腰直角三角形，只有直线kxy10垂直于y轴(如图(1)或与直线xy0垂直(如图(
5、2)时才符合题意所以S11或S.答案：或10(2020兰州诊断)已知x，y满足约束条件则x2y2的最小值是_解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，x2y2表示平面区域内的点到坐标原点的距离的平方由题意知，当以原点为圆心的圆与直线3x4y40相切时，x2y2取得最小值，即 ，所以(x2y2)min.答案：B组素养提升练11(2020太原模拟)已知点(x，y)所在的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)，若使目标函数zaxy取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为()A4 BC. D解析：因为目标函数zaxy，所以yaxz，易知z是直线yaxz在y轴上的截距分析知当直线yaxz的斜率与直线AC的
6、斜率相等时，目标函数zaxy取得最大值的最优解有无数多个，此时a，即a，故选D.答案：D12(2020开封模拟)已知实数x，y满足约束条件则z()x2y的最大值是()A. BC32 D64解析：法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设ux2y，由图知，当直线ux2y经过点A(1，3)时，u取得最小值，即umin1235，此时z()x2y取得最大值，即zmax()532，故选C.法二：由题易知z()x2y的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z()x2y，即可求得最大值联立得解得A(1，3)，代入可得z32；联立得解得B(1，)，代入可得z；联立得解得
7、C(2，0)，代入可得z4.通过比较可知，在点A(1，3)处，z()x2y取得最大值32，故选C.答案：C13(2020福州模拟)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：p1：任意(x，y)D，x2y2；p2：存在(x，y)D，x2y3；p3：任意(x，y)D，x2y；p4：存在(x，y)D，x2y2.其中的真命题是()Ap2，p3 Bp1，p4Cp1，p2 Dp1，p3解析：不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由解得所以M(，)由图可知，当直线zx2y过点M(，)时，z取得最小值，且zmin2，所以真命题是p2，p3，故选A.答案：A14(2020桂林模拟)若直线axya30将x，y满
8、足的不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z4xay的最大值是()A8 B2C4 D8解析：由直线axya30，得a(x1)(3y)0，此直线恒过点C(1，3)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示由解得B(3，4)由解得A(1，2)，可得C(1，3)是AB的中点若直线axya30将阴影部分所表示的平面区域分成面积相等的两部分，则直线过顶点M(0，1)将M(0，1)代入axya30，解得a2.z4xay4x2y，即y2x.易知当y2x经过点B时，目标函数取得最大值，且最大值为43244.故选C.答案：C15已知x，y满足约束条件则z的范围是_解析：画出满足条件的平面区域，如图所示：由
9、解得A(1，2)，由解得B(3，1)，而z1，而z的几何意义表示过平面区域内的点与C(1，1)的直线的斜率，显然直线AC斜率最大，直线BC斜率最小，kAC，kBC，所以z的最大值是1，最小值为1.答案：16某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为_.甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128解析：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，则目标函数为z3x4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域由z3x4y得yx，平移直线yx，由图像可知当直线yx经过点A时，直线yx在y轴上的截距最大，此时z最大，解方程组得即A点的坐标为(2，3)，所以zmax3x4y61218.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元答案：18万元