1、学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是()A50 n mileB70 n mileC90 n mileD110 n mile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l70 n mile.【答案】B2如图237所示，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45和30，已知CD100米，点C位于BD上，则山高AB等于()图237A100米B5
2、0米C50米D50(1)米【解析】设山高为h，则由题意知CBh，DBh，所以hh100，即h50(1)米【答案】D3如图238，D，C，B三点在地面同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点仰角分别是，()，则A点离地面的高度AB等于()图238A.B.C.D【解析】在ADC中，DAC.由正弦定理得，AC，ABACsin .【答案】A4有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75，现要将其倾斜角改为30，则坡底要伸长()A1千米B千米C.千米D2千米【解析】如图，BAO75，C30，AB1，ABCBAOBCA753045.在ABC中，AC千米【答案】B5(2014四川高考)如图239，从气球A上测得
3、正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()图239A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m【解析】如图，在ACD中，CAD903060，AD60 m，所以CDADtan 6060(m)在ABD中，BAD907515，所以BDADtan 1560(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1)(m)【答案】C二、填空题6某人向正东方向走x km后向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为_.【解析】如图所示，在ABC中，ABx，BC3，AC，ABC30.由余弦定理得()232x22
4、3xcos 30，即x23x60，解得x1，x22，检验均符合题意【答案】或27在200 m的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高为_【解析】如图，设塔AB高为h，在RtCDB中，CD200 m，BCD906030，BC(m)在ABC中，ABCBCD30，ACB603030，BAC120.在ABC中，由正弦定理得，AB m.【答案】 m8江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.【解析】如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m
5、)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)【答案】10三、解答题9A、B、C、D四个景点，如图2310，CDB45，BCD75，ADC15.A、D相距2 km，C、D相距(3)km，求A、B两景点的距离图2310【解】在BCD中，CBD180BCDCDB60，由正弦定理得，即BD2.在ABD中，ADB451560，BDAD，ABD为等边三角形，AB2.即A、B两景点的距离为2 km.10据气象台预报，距S岛正东方向300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响，问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起
6、经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由. 【导学号：67940044】图2311【解】设台风中心经过t小时到达B点，由题意，SAB903060，在SAB中，SA300，AB30t，SAB60，由余弦定理得：SB2SA2AB22SAABcos SAB3002(30t)2230030tcos 60，若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|270，即SB22702，化简得t210t190，解得5t5，所以从现在起，经过5小时S岛开始受到影响，5小时后影响结束持续时间为(5)(5)2小时即S岛受台风影响，从现在起，经过5小时台风开始影响S岛，持续2小时能力提升1一个大型喷水池的中央
7、有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 mB100 mC120 mD150 m【解析】设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.【答案】A2甲船在岛A的正南B处，以4 km/h的速度向正北航行，AB10 km，同时乙船自岛A出发以6 km/h的速度向
8、北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A. minB hC21.5 minD2.15 h【解析】如图所示，当两船航行t h时，甲船到D处，乙船到C处，则AD104t，AC6t，CAD120或AD4t10，AC6t，CAD60.CD2(6t)2(104t)226t(104t)28t220t100，当t h时，CD2最小，即两船最近，t h min.【答案】A3某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上，则点B与电视塔的距离是_km.图2312
9、【解析】如题图，由题意知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45，由正弦定理知，BS3.【答案】34如图2313，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100 km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500 km且在海岸距离为300 km的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时方向与OM所成的角图2313【解】如图所示，设快艇从M处以v km/h的速度出发， 沿MN方向航行，t h后与汽车在N点相遇，在MON中，MO500，ON100t，MNvt.设MON，由题意知，sin ，则cos ，由余弦定理知MN2OM2ON22OMONcos ，即v2t250021002t22500100t，整理得，v223 600，当，即t时，v3 600，vmin60.即快艇至少必须以60 km/h的速度行驶，此时MN60375.MQ300，设MNO，则sin ，90，即MN与OM所成的角为90.