1、第七节双曲线授课提示：对应学生用书第167页基础梳理1双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|2c0)为非零常数2a(2a0，c0.当2a|F1F2|时，M点不存在2双曲线的标准方程与几何性质图形标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)续表性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a，0)，A2(a，0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实、虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2
2、b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a，b，c间的关系c2a2b2(ca0，cb0)1在双曲线的定义中，|MF1|MF2|2a，表示靠近F2的一支，|MF2|MF1|2a，表示靠近F1的一支2双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长3方程1(mn0)表示的曲线(1)当m0，n0时，表示焦点在x轴上的双曲线(2)当m0，n0时，则表示焦点在y轴上的双曲线4方程的常见设法(1)与双曲线1共渐近线的方程可设为(0)(2)若渐近线的方程为yx，则可设双线曲方程为(0)四基自测1(基础点：双曲线的标准方程)以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为()Ax21By21Cx21 D.1答
3、案：A2(基础点：双曲线的定义)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11B9 C5D.3答案：B3(基础点：双曲线的渐近线)双曲线x21的渐近线方程为_答案：yx4(基础点：双曲线的焦距)双曲线1的焦距为_答案：2授课提示：对应学生用书第167页考点一双曲线的定义及应用挖掘1利用定义求双曲线方程/ 自主练透例1(1)已知两圆C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y22，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是()Ax0B1(x)C.1 D.1或x0解析动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：动圆M与两圆都外切；动
4、圆M与两圆都内切；动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；动圆M与圆C1内切、与圆C2外切在情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x0；在的情况下，设动圆M的半径为r，则|MC1|r，|MC2|r.故得|MC1|MC2|2；在的情况下，同理得|MC2|MC1|2.由得|MC1|MC2|2.已知|C1C2|8，根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，且a，c4，b2c2a214，其方程为1.故选D.答案D(2)已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1(x) B1(x)C.1(x) D.1(x)解析
5、设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|r，|MC2|r，所以|MC1|MC2|22a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(4，0)，C2(4，0)为焦点，实轴长为2a2的双曲线的右支上，即a，c4b216214，故动圆圆心M的轨迹方程为1(x)答案A挖掘2利用定义求点到焦点的距离/ 互动探究例2(1)(2020陕西师大附中模拟)设过双曲线x2y29右焦点F2的直线交双曲线的左支于点P，Q，若|PQ|7，则F2PQ的周长为()A19B26C43 D.50解析如图所示，由双曲线的定义可得得|PF2|QF2|PQ|4a，F2PQ的周长为|PF2|QF2|PQ|4a|PQ|PQ|432726.答案B(
6、2)(2020河南郑州一模)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为yx，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2(y)21上一点，则|MN|MF2|的最小值为()A8 B9C10 D.11解析由题意知2a6，则a3，又由得b1，所以c，则F1(，0)根据双曲线的定义知|MF2|2a|MF1|MF1|6，所以|MN|MF2|MN|MF1|6|EN|MN|MF1|5|F1E|559，当且仅当F1，M，N，E共线时取等号，故选B.答案B(3)已知双曲线C：1(b0)，F1、F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l分别交C的左、右支于点A、B，且|AF1|B
7、F1|，则|AB|()A4 B8C16 D32解析由双曲线定义知|AF2|AF1|2a，|BF1|BF2|2a，由于|AF1|BF1|，所以两式相加可得|AF2|BF2|4a，而|AB|AF2|BF2|，|AB|4a，由双曲线方程知a4，|AB|16，故选C.答案C破题技法应用双曲线定义时要注意(1)距离之差的绝对值，不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是一支(2)2aa0，cb0)考点二双曲线的方程及性质挖掘1利用双曲线的性质求方程/ 自主练透例1(1)经过点(2，1)，且渐近线与圆x2(y2)21相切的双曲线的标准方程为()A.1By21C.1 D.1解析法一：设双曲线的渐近线方程为ykx，即kx
8、y0，由渐近线与圆x2(y2)21相切可得圆心(0，2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得1，解得k.因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为1(a0，b0)，将(2，1)代入可得1，由得故所求双曲线的标准方程为1.故选A.法二：设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，将(2，1)代入方程可得，4mn1.双曲线的渐近线方程为yx，圆x2(y2)21的圆心为(0，2)，半径为1，由渐近线与圆x2(y2)21相切，可得1，即3，由可得m，n，所以该双曲线的标准方程为1.选A.答案A(2)若双曲线经过点(3，)，且渐近线方程是yx，则双曲线的方程是_
9、解析设双曲线的方程是y2.因为双曲线过点(3，)，所以21.所以双曲线的方程为y21.答案y21(3)(2020成都模拟)设双曲线与椭圆1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是_解析法一：椭圆1的焦点为(0，3)和(0，3)，双曲线的焦距为2c6.由双曲线的定义得8442a.a2，b2c2a2945，双曲线方程为1.法二：设双曲线的方程为1(270，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. BC2 D.解析设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c，0)由圆的对称性及条件|
10、PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得a2，故，即e.故选A.答案A(2)(2019高考全国卷)双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点若|PO|PF|，则PFO的面积为()A. BC2 D.3解析双曲线1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为yx，不妨设点P在第一象限，由于|PO|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标为，即PFO的底边长为，高为，所以它的面积为.故选A.答案A破题技法求离心率的方法方法解法题型直接法直接求a，b，c，利用e 或e 适合易求a、
11、b、c构造法构造a、b、c间的等式或不等式的齐次关系可能是a、c或a、b的关系挖掘3共焦点的椭圆与双曲线/ 自主练透例3(1)已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2，分别为C1，C2的离心率，则()Amn且e1e21Bmn且e1e21Cmn且e1e21 D.mn且e1e21解析设P为椭圆与双曲线在第一象限内的公共点，F1，F2为它们的左、右公共焦点，则|PF1|PF2|2m，|PF1|PF2|2n，mn，由结论一得2，法一：(利用均值不等式)e1e2，2，e1e21，故选A.法二：(利用三角换元)由2，0e11，e21，可设cos ，sin ，0，则e1
12、e21.法三：(利用消元法)2，2，1，由0e11，e21且2，得12，令t，f(t)(t1)21，则f(t)，t(1，2)，f(t)在(1，2)上单调递减，f(1)1，f(2)0，故01，即e1e21.答案A(2)已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且F1PF2，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是()A. BC1 D.解析由结论二得4，同(1)的三种方法均可得到e1e2，故选B.答案B破题技法1.已知椭圆C1：1(其中a1b10)与双曲线C2：1(其中a20，b20)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则bb.2已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且F1PF2，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，则2.