1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 导数的应用(一)基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间内可导，(1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内；(2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增单调递减基础诊断考点突破课堂
2、总结2函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f(x0)0，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值极大值基础诊断考点突破课堂总结(2)求可导函数极值的步骤：求f(x)；求方程的根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得f(x)0极大值极小值基础诊断考点突破课堂总结3函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是连
3、续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值f(a)，f(b)基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()基础诊断考点突破课堂总结2(2015北京海淀区模拟)函数 f(x
4、)x22ln x 的单调递减区间是()A(0,1)B(1，)C(，1)D(1,1)解析 f(x)2x2x2x1x1x(x0)当 x(0,1)时 f(x)0，f(x)为减函数；当 x(1，)时，f(x)0，f(x)为增函数答案 A基础诊断考点突破课堂总结3已知函数f(x)ex2x1(其中e为自然对数的底数)，则yf(x)的图象大致为()解析 依题意得f(x)ex2.当xln 2时，f(x)0，f(x)是减函a数，f(x)f(ln 2)12ln 2，当xln 2时，f(x)0，f(x)是增函数，因此对照各选项知，选C.答案 C基础诊断考点突破课堂总结4(2014新课标全国卷)若函数 f(x)kxl
5、n x 在区间(1，)单调递增，则 k 的取值范围是()A(，2 B(，1C2，)D1，)解析 依题意得 f(x)k1x0 在(1，)上恒成立，即 k1x在(1，)上恒成立，x1，01x1，k1，故选 D.答案 D基础诊断考点突破课堂总结5(人教 A 选修 11P97 例 5 改编)函数 f(x)13x34x4 在0,3上的最大值与最小值分别为_解析 由 f(x)13x34x4，得 f(x)x24(x2)(x2)，令 f(x)0，得 x2 或 x2；令 f(x)0，得2x2.所以 f(x)在(，2)，(2，)上单调递增；在(2,2)上单调递减，而 f(2)43，f(0)4，f(3)1，故 f(
6、x)在0,3上的最大值是 4，最小值是43.答案 4，43基础诊断考点突破课堂总结考点一 利用导数研究函数的单调性 【例 1】(2014山东卷)设函数 f(x)aln xx1x1，其中 a 为常数(1)若 a0，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调性基础诊断考点突破课堂总结解(1)由题意知 a0 时，f(x)x1x1，x(0，)此时 f(x)2x12.可得 f(1)12，又 f(1)0，所以曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 x2y10.(2)函数 f(x)的定义域为(0，)f(x)ax2x12ax22a2xaxx12.基础诊断考点突破课
7、堂总结当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增当 a0 时，令 g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当 a12时，0，f(x)12x12xx12 0，函数 f(x)在(0，)上单调递减当 a12时，0，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递减当12a0 时，0.基础诊断考点突破课堂总结设 x1，x2(x1x2)是函数 g(x)的两个零点，则 x1a1 2a1a，x2a1 2a1a.由 x1a1 2a1a a22a1 2a1a0，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减；x(x1，x2)时，g(x)0
8、，f(x)0，函数 f(x)单调递增；基础诊断考点突破课堂总结x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减综上可得：当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a12时，函数 f(x)在(0，)上单调递减；当12a0 时，f(x)在0，a1 2a1a，a1 2a1a，上单调递减，在a1 2a1a，a1 2a1a上单调递增基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或
9、f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到.基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(2015嘉兴质检)已知函数 f(x)ex21exax(aR)(1)当 a32时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在1,1上为单调函数，求实数 a 的取值范围基础诊断考点突破课堂总结解(1)当 a32时，f(x)ex21ex32x，f(x)12ex(ex)23ex2 12ex(ex1)(ex2)，令 f(x)0，得 ex1 或 ex2，即 x0 或 xln 2；令 f(x)0，则 x0 或 xln 2；令 f(x)0，则 0 xln 2.f(x)的递增区间是(，0)，(ln 2
10、，)；递减区间是(0，ln 2)基础诊断考点突破课堂总结(2)f(x)ex21exa，令 ext，由于 x1,1，t1e，e.令 h(t)t21tt1e，e，h(t)121t2t222t2，当 t1e，2 时，h(t)0，函数 h(t)为单调减函数；当 t(2，e时，h(t)0，函数 h(t)为单调增函数故 h(t)在1e，e 上的极小值点为 t 2.基础诊断考点突破课堂总结又 h(e)e21eh1e 12ee，2h(t)e 12e.函数 f(x)在1,1上为单调函数，若函数 f(x)在1,1上单调递增，则 at21t对 t1e，e 恒成立，所以 a 2；若函数 f(x)在1,1上单调递减，基
11、础诊断考点突破课堂总结则 at21t对 t1e，e 恒成立，所以 ae 12e，综上可得 a 的取值范围是(，2e 12e，.基础诊断考点突破课堂总结考点二 利用导数研究函数的极值 【例 2】(2014重庆卷)已知函数 f(x)x4axln x32，其中 aR，且曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值基础诊断考点突破课堂总结解(1)对 f(x)求导得 f(x)14ax21x，由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x，知 f(1)34a2，解得 a54.(2)由(1)知 f(x)x4 54xln
12、 x32，则 f(x)x24x54x2.令 f(x)0，解得 x1 或 x5.因为 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，故舍去当 x(0,5)时，f(x)0，故 f(x)在(0,5)内为减函数；当 x(5，)时，f(x)0，故 f(x)在(5，)内为增函数由此知函数 f(x)在 x5 时取得极小值 f(5)ln 5.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值基础诊断考点突破课堂总
13、结【训练2】设函数f(x)ax32x2xc(a0)(1)当a1，且函数图象过(0,1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围解 由题得 f(x)3ax24x1.(1)函数图象过(0,1)时，有 f(0)c1.当 a1 时，f(x)3x24x1.令 f(x)0，解得 x13或 x1；令 f(x)0，解得13x1.所以函数在，13 和(1，)上单调递增；在13，1 上单调递减，故函数 f(x)的极小值是 f(1)13212111.基础诊断考点突破课堂总结(2)若 f(x)在 R 上无极值点，则 f(x)在 R 上是单调函数，即f(x)0 或 f(x)0 恒成立当 a0
14、时，f(x)4x1，显然不满足条件；当 a0 时，f(x)0 或 f(x)0 恒成立的充要条件是(4)243a10，即 1612a0，解得 a43.综上，a 的取值范围是43，.基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(2010浙江卷)已知函数f(x)(xa)2(xb)(a，bR，ab)(1)当a1，b2时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)一个零点，且x3x1，x3x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.基础诊断考点突破课堂总结解(1)当 a1，b2 时，因为 f(x)(x1)
15、(3x5)，故 f(2)1.又 f(2)0，所以 f(x)在点(2,0)处的切线方程为 yx2.(2)因为 f(x)3(xa)xa2b3，由于 ab，故 a0 得函数的单调递增区间；(2)求出 f(x)，注意 a0，对方程 f(x)0 的解是否在区间1,4上进行讨论利用最小值为 8 列关于 a 的方程，解之可得 a.基础诊断考点突破课堂总结解(1)当 a4 时，由 f(x)25x2x2x0 得 x25或 x2，由 f(x)0 得 x0，25 或 x(2，)，故函数 f(x)的单调递增区间为0，25 和(2，)(2)f(x)10 xa2xa2 x，a0，由 f(x)0 得 x a10或 xa2.
16、当 x0，a10 时，f(x)单调递增；基础诊断考点突破课堂总结当 x a10，a2 时，f(x)单调递减；当 xa2，时，f(x)单调递增易知 f(x)(2xa)2 x0，且 fa2 0.当a21，即2a0 时，f(x)在1,4上的最小值为 f(1)，由 f(1)44aa28，得 a2 22，均不符合题意基础诊断考点突破课堂总结当 1a24，即8a2 时，f(x)在1,4上的最小值为fa2 0，不符合题意当a24，即 a8 时，f(x)在1,4上的最小值可能在 x1或 x4 处取得，而 f(1)8，由 f(4)2(6416aa2)8 得 a10 或 a6(舍去)，当 a10 时，f(x)在(
17、1,4)上单调递减，f(x)在1,4上的最小值为 f(4)8，符合题意综上，a10.基础诊断考点突破课堂总结点评 用导数求函数的最值时，若解析式中含有参数，要注意对参数进行讨论，并按一定的标准来分类，做到不重不漏.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得基础诊断考点突破课堂总结易错防范1注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行2解题时要注意区分求单调性和已知单调性求参数范围等问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点3f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解