1、等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 第二节等差数列及其前n项和1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从起，每一项与它的前一项的_都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母 d 表示(2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是_，其中 A 叫做 a，b 的第 2 项公差差Aab2等差中项等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2等差数列的有关公式(1)通项公式：an.(2)前n项和公式：Sn _.3等差数列的常用性
2、质(1)通项公式的推广：anam(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为.a1(n1)dna1nn12d(nm)dakalaman2d na1an2等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为的等差数列md等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演
3、练 1在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_答案：10小题体验等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2(教材习题改编)已知等差数列an，a520，a2035，则an_答案：15n3(教材习题改编)已知等差数列5,427，347，则前n项和Sn_答案：114(75n5n2)等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列2求
4、等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d的取值范围是()A(3，)B，83C3，83D3，83小题纠偏答案：D等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于_解析：设等差数列an的公差为 d，则 S33a13d，所以12323d，解得 d2，所以 a6a15d25212答案：12等差数列及其前
5、n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点一 等差数列的基本运算题组练透1(2016郑州二检)已知an为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，Sn是an的前n项和，则S12的值为_解析：由题意得，a25a3a11，即(a14)2(a12)(a110)，a11，S1212(1)12112154答案：54等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2(2017西安质检)公差不为零的等差数列an中，a72a5，则数列an中第_项的值与4a5的值相等解析：设等差数列an的公差为 d
6、，a72a5，a16d2(a14d)，则 a12d，ana1(n1)d(n3)d，而 4a54(a14d)4(2d4d)8da11，故数列an中第 11 项的值与 4a5 的值相等答案：11等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3(2016江苏高考)已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a223，S510，则a9的值是_解析：设等差数列an的公差为 d，由 S510，知 S55a1542 d10，得 a12d2，即 a122d所以 a2a1d2d，代入 a1a223，化简得 d26d90，所以 d3，a14故 a9a18d42
7、420答案：20等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 4设Sn为等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_解析：设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由已知，得a12a111d8，S99a1982 d9，解得a13，d1.S1616316152(1)72答案：72等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 谨记通法等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”解决这些问题一般设基本量a1，d，利用等差数列的通项公式
8、与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式Sn na1an2结合使用，体现整体代入的思想等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点二 等差数列的判断与证明典例引领已知数列an的前 n 项和为 Sn 且满足 an2SnSn10(n2)，a112(1)求证：1Sn 是等差数列；(2)求 an 的表达式解：(1)证明：anSnSn1(n2)，又 an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0，n2因此 1Sn 1Sn12(n2)故由等差数列的定义知
9、1Sn 是以 1S1 1a12 为首项，2 为公差的等差数列等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)由(1)知 1Sn 1S1(n1)d2(n1)22n，即 Sn 12n由于当 n2 时，有 an2SnSn112nn1，又a112，不适合上式an12，n1，12nn1，n2.等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法等差数列的判定与证明方法方 法解 读适合题型定义法对于任意自然数n(n2)，anan1(n2，nN*)为同一常数an是等差数列等差中项法2an1an
10、an2(n3，nN*)成立an是等差数列解答题中证明问题通项公式法anpnq(p，q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列前n项和公式法验证SnAn2Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择、填空题中的判定问题等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用已知数列an满足a11，anan12an11(nN*，n2)，数列bn满足关系式bn 1an(nN*)(1)求证：数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：bn 1an，且 anan12an11，bn1 1an11an2an12 1a
11、n，bn1bn2 1an 1an2又 b1 1a11，数列bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)由(1)知数列bn的通项公式为bn1(n1)22n1，又 bn 1an，an 1bn12n1数列an的通项公式为 an12n1等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点三 等差数列的性质及最值典例引领1等差数列an的前n项和为Sn，若S1122，则a3a7a8()A18 B12C9 D6解析：由题意得 S1111a1a112112
12、a110d222，即a15d2，所以 a3a7a8a12da16da17d3(a15d)6答案：D 等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2(2017合肥质检)已知等差数列an的前n项和为Sn，a81，S160，当Sn取最大值时n的值为()A7 B8C9 D10解析：法一：由a8a17d1，S1616a116152d0，解得a115，d2，则Snn216n(n8)264，则当 n8 时，Sn 取得最大值法二：因为an是等差数列，所以 S168(a1a16)8(a8a9)0，则 a9a81，即数列an的前 8 项是正数，从第 9 项
13、开始是负数，所以(Sn)maxS8，选项 B 正确 答案：B等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法1等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)d amanmnd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2求等差数列前n项和Sn最值的2种方法(1)函
14、数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足am0，am10的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足am0，am10的项数m使得Sn取得最小值为Sm等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用1设Sn是等差数列an的前n项和，若a6a5 911，则S11S9()A1 B1C2 D12解析：S11S911a1a1129a1a9211a69a5 119 9111答案：A 等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂
15、考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2设等差数列an的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn324(n6)，则数列an的项数为_解：由题意知 a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又 Snna1an2324，18n324，n18答案：18等差数列及其前n项和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3设Sn是等差数列an的前n项和，S1016，S100S9024，则S100_解析：依题意，S10，S20S10，S30S20，S100S90 依次成等差数列，设该等差数列的公差为 d又 S1016，S100S9024，因此 S100S902416(101)d169d，解得d89，因此 S10010S101092d1016109289200答案：200