1、从一道求函数值域的题说开 在研究函数值域时经常会碰到这样一类函数值域的求法：例：求函数y=的值域.解：此函数的定义域.视函数式为关于x的方程，变形得 显然（若不然，则方程为：不成立.）,方程有实根的充要条件是 .故函数的值域为 .上述解法通常称为判别式法，但我不赞成这中说法，原因这不是实质，其实质是方程法.在众多的书刊与教学中，人们只孤立介绍“反函数法”、“分离中间变量法”、“利用函数有界性法”、“判别式法”等特殊方法来求函数的值域，而对这些方法的共性与实质联系却很少予以问津.事实上，上述方法都是运用了方程思想，把函数式y=f(x)看作关于x的方程（y为参数），在此基础上依据各自的原理进行探求
2、.其中“判别式法”不需要通过解方程，只要直接利用关于x的一元二次方程有实根的条件，求出使该方程有实数解的y的取值范围，就能确定相应函数的值域.因而此法较之其他各法更能受到师生的“青睐”.但善于思索的学生难免会问：（）为什么“判别式法”所涉及的两种不同定义的集合，即“使关于x的方程有实根的y的取值集合”与所给函数的值域恰好相同？（）既然其他各法也都是方程的观点审视函数为出发点，那么有关函数的值域是否也可直接利用方程有解的条件来加以确定，从而简化其求解步骤呢？下面，我就一般情形来解释上述问题之（），随之问题（）也获得解释.所谓方程法：即把函数解析式y=f(x)(将y视为常数)视为关于x的方程，求出
3、方程在定义域xA上有解的充要条件，即得值域yC.其理论依据如下：定理：设函数y=f(x)的定义域为A，值域为B，又设“使关于x的方程y=f(x)在A中有解的y的取值集合”为B,则B=B成立.（）设y0是B中的任意一值，则有集合B的定义可知，关于x的方程y0= f(x)在A中定有实数解x0,这样，对于x0A，就有f(x0)= y0成立，说明y0是函数y=f(x)的一个函数值，即y0B，故B B.（）又设y1是B中任意一值，根据函数是“从定义域A到值域B上的映射”， y1在A中必有原象，因而当y=y1时“关于x的方程” y=f(x)在A中有解，这说明y1B，故B B.由（）（）即证B=B.据此，我
4、们既可以解释用“判别式法”求有关函数值域的理由，又可以顺势将“判别式法”推广为“利用方程有解条件”去求原来只适用于其他方法的一些函数的值域.这样求解的本质特征是,把求函数值域的问题转化为求使“关于x的方程”在函数定义域内有解的y的取值集合问题，由于此法强化了方程思想的运用，因此就不妨称之为“方程法”.利用上面定理一方面可将函数值域转化为方程有解问题，另一方面将方程有解的问题转化为值域问题下面再举几例.1.将函数值域转化为方程有解问题例1. 函数的值域.解：由得关于x的方程，此方程在原函数定义域有解的充要条件是：故函数的值域为.例2. 求函数的值域.解：由得关于x的方程，要使方程有解则解得故函数
5、的值域为.例3. 求函数的值域.解：由得（显然，否则会导致的矛盾）变形得关于x的方程，此方程在原函数定义域R上有解的充要条件是.故所求函数的值域为.例4 .求函数y=的值域.解 ：由y=可得， ，即 ，这个关于的三角方程有解的条件是：.解得.故原函数的值域为.2. 将方程有解的问题转化为值域问题例5 . 已知关于x的方程2+a2+a+1=0有实根.求实数a的取值范围.分析 本题可以直接从方程的角度着手.但若将方程变形为a=-，即将a视为x 的函数，将原问题转化为求此函数的值域，不失为一种很好的方法.令2+1=t， 则t1，于是此即为所求的a的取值范围.例6. 求使方程有实数解的实数m的取值范围
6、.解 原方程等价于 原问题等价于方程在（-1，1）内有解的实数m的取值范围，即等价于函数的值域.令1-x=t, 则t(0,2).故m的取值范围为.3.注意的问题运用方程法求函数的值域切不能机械地搬用，要切实注意解题的严谨性，若考虑不周，结果往往发生“伪值”、“漏判”或回避矛盾的错误，使结论不准确、不可靠.那么，怎样才能准确、合理地使用“方程法”求函数的值域呢？应该要注意些什么呢？我认为要注意两个方面：1函数定义域是求函数值域的大前提，定义域发生变化，值域有变化可能.2在解题过程中，每步变形或推理都要注意等价性或充要性.这是利用方程法正确地求函数值域的关键.下面略举几例用“方程法”求值域的例题，
7、与大家共同探讨.例7.求函数y=的值域.错解： y=, yx2+yx+6y=x2+x-1，(y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0 ， 因为方程是关于x的二次方程，它有实根的充要条件是=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)0，即(y-1)(23y+5) 0, 解得，。原函数的值域为y| .剖析：事实上，当y-1=0，即y=1时，方程不再是关于x的二次方程了，就不能再用判别式了.正解： y=, (y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0 ， 当y-1=0，即y=1时，方程为7=0，不成立，故y1；当y-10，即y1时，=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)0，即(y-1)(23y+5) 0
8、，解得，综上，得原函数的值域为y| .例8求函数的值域.错解：原式变形为， ，解得.故所求函数的值域是.剖析：把代入方程显然无解，因此不在函数的值域内.事实上，时，方程的二次项系数为0，显然不能用“”来判定其根的存在情况.正解：原式变形为，（1）当时，方程无解；（2）当时，解得.综合（1）、（2）知此函数的值域为.例9. 求函数y=的值域.错解： y= (x1)， yx2-y=x2+x-2，(y-1)x2-x-y+2=0，当y-1=0，即y=1时，由得x=1（舍去），y1；当y-10，即y1时，=1-4(y-1)(-y+2)0，即(2y-3)20.yR.综上可得，原函数的值域为y| y1且yR
9、.剖析：事实上，当y=，即=时，解得x=1，而当x=1时，原函数没有意义，故y.产生错误的原因在于，当x=1时，(y-1)x2-x-y+2的值等于零，所以x=1是方程的根，但这个根不属于原函数的定义域，所以方程与方程不同解，故函数y=不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不通.正解：原函数可化为y=（x1且x1），即y=1+（x1且x1），0，y1，又x1，y.原函数的值域为y| y1且y .例10. 求函数的值域.错解：将函数式化为，（1）当时，代入上式得，故属于值域；（2）当时， ，综合（1）、（2）可得函数的值域为.剖析：解中函数式化为方程时，产生了增根（与虽不在原函数的定义域内，但却是
10、转化的方程的根），因此最后应该去掉与时方程中相应的值.正解：（x2且x3），即y1（x2且x3）.0，y1，又x3，y.所以正确答案为，且.综上所述，在用方程法求函数的值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域.因此，用方程法求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，只有知道这种方法的适用范围，以及应该注意哪些常见错误、有哪些局限性，才能避免盲目套用，也会在出现错误时及时加以纠正，只有这样，才算是真正掌握这种方法.其次，对于有些可用方程法求值域的函数，如果采取其他方法可能更加灵活、巧妙、简捷.用换元法还要注意定义域的变化.总之解数学问题，思维方法要采用辩证法，具体问题要具体对待.
