1、基础诊断考点突破课堂总结第1讲 导数的概念及运算 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.理解导数的几何意义；3.能根据导数定义求函数 yc(c 为常数)，yx，yx2，yx3，y1x，y x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1导数与导函数的概念(1)函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率是yxfx0 xfx0 x，我们称它为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)fx0 xfx0 x.(2)如果函数 yf(x)在开区间(a，b)内的每一点
2、处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数 yf(x)在开区间内的导函数记作 f(x)或 y.基础诊断考点突破课堂总结2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即k3基本初等函数的导数公式f(x0)基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)ex基础诊断考点突破课堂总结f(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)1xf(x)logax(a0，a
3、1)f(x)1xln a基础诊断考点突破课堂总结4.导数的运算法则若 f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)fxgx fxgxfxgxgx2 (g(x)0)基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(3)已知曲线yx3，则过点P(1,1)的切线有两条()(4)物体的运动方程是s4t216t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t2()基础诊断考点突破课堂总结2(2014宁波质检)
4、直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则2ab的值等于()A2 B1 C1 D2解析 依题意知，y3x2a，则13ab3312ak，k13，由此解得a1，b3，k2，所以 2ab1，选 C.答案 C基础诊断考点突破课堂总结3(2015东阳高三调研)已知曲线 yln x 的切线过原点，则此切线的斜率为()Ae BeC.1eD1e基础诊断考点突破课堂总结解析 yln x 的定义域为(0，)，且 y1x，设切点为(x0，ln x0)，则 y|xx01x0，切线方程为 yln x01x0(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以ln x01，解得 x0e，故此切线的斜率为1e.答案 C基础
5、诊断考点突破课堂总结4(2014江西卷)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_解析 令f(x)xln x，则f(x)ln x1，设P(x0，y0)，则f(x0)ln x012，x0e，此时y0 x0ln x0eln ee，点P的坐标为(e，e)答案(e，e)基础诊断考点突破课堂总结5(人教 A 选修 11P85A7 改编)曲线 ysin xx 在点 M(，0)处的切线方程为_解析 yxcos xsin xx2，y|x2 1，切线方程为：y1(x)，即 xy0.答案 xy0基础诊断考点突破课堂总结考点一 导数的运算 【例 1】(1)求下列函数的导数：yx2sin
6、x；yln xex.解 y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.yln xexexln xex21xexexln xex21xln xex1xln xxex.基础诊断考点突破课堂总结(2)(2015郑州联考)已知 f(x)12x22xf(2 014)2 014ln x，则f(2 014)()A2 015 B2 015 C2 014 D2 014基础诊断考点突破课堂总结解析 由题意得 f(x)x2f(2 014)2 014x，所以 f(2 014)2 0142f(2 014)2 0142 014，即 f(2 014)(2 0141)2 015.答案 B基础诊断考点突破
7、课堂总结规律方法 求函数导数的一般原则如下：(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】求下列函数的导数：(1)y(x1)(x2)(x3)；(2)ysinx212cos2x4 解(1)法一 y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.法二 y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.基础诊断考点突
8、破课堂总结(2)ysin x2cos x2 12sin x，y12sin x 12(sin x)12cos x.基础诊断考点突破课堂总结考点二 导数的几何意义及其应用 【例 2】已知函数 f(x)x34x25x4.(1)求曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又 f(2)2，曲线在点(2，f(2)处的切线方程为 y2x2，即 xy40.(2)设曲线与经过点 A(2，2)的切线相切于点P(x0，x304x205x04)，f(x0)3x208x05，基础诊断考点突破课堂总结切线方程为 y(2)(
9、3x208x05)(x2)，又切线过点 P(x0，x304x205x04)，x304x205x02(3x208x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得 x02 或 1，经过 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程为 xy40，或 y20.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)(2015丽水检测)函数 f(x)ln x2xx在点(1，2)处
10、的切线方程为()A2xy40 B2xy0Cxy30 Dxy10(2)设 a 为实数，函数 f(x)x3ax2(a3)x 的导函数为f(x)，且 f(x)是偶函数，则曲线 yf(x)在原点处的切线方程为()Ay3x1 By3xCy3x1 Dy3x3基础诊断考点突破课堂总结解析(1)f(x)1ln xx2，则 f(1)1，故函数 f(x)在点(1，2)处的切线方程为 y(2)x1，即 xy30.(2)f(x)3x22ax(a3)，又 f(x)为偶函数，则 a0，所以 f(x)x33x，f(x)3x23，故 f(0)3，故所求的切线方程为 y3x.答案(1)C(2)B基础诊断考点突破课堂总结考点三
11、导数几何意义的综合应用【例3】(2014北京卷)已知函数f(x)2x33x.(1)求f(x)在区间2,1上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？(只需写出结论)基础诊断考点突破课堂总结解(1)由 f(x)2x33x 得 f(x)6x23.令 f(x)0，得 x 22 或 x 22.因为 f(2)10，f 22 2，f22 2，f(1)1，所以 f(x)在区间2,1上的最大值为 f 22 2.基础诊断考点突破课堂总结(2)设过点 P(1，t)的直线与曲线 yf
12、(x)相切于点(x0，y0)，则 y02x303x0，且切线斜率为 k6x203，所以切线方程为 yy0(6x203)(xx0)，因此 ty0(6x203)(1x0)整理得 4x306x20t30.设 g(x)4x36x2t3，则“过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线yf(x)相切”等价于“g(x)有 3 个不同零点”g(x)12x212x12x(x1)基础诊断考点突破课堂总结g(x)与g(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,1)1(1，)g(x)00g(x)t3t1基础诊断考点突破课堂总结所以，g(0)t3是g(x)的极大值；g(1)t1是g(x)的极小值当g(0)t30，即t3时，
13、此时g(x)在区间(，1和(1，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点当g(1)t10，即t1时，此时g(x)在区间(，0)和0，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点当g(0)0且g(1)0，即3t1时，因为g(1)t70，g(2)t110，所以g(x)分别在区间1,0)，0,1)和1,2)上恰有1个零点由于g(x)在区间(，0)和(1，)上单调，所以g(x)分别在区间(，0)和1，)上恰有1个零点综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3，1)基础诊断考点突破课堂总结(3)过点A(1,2)存在3条直线与曲线yf(x)相切；过点
14、B(2,10)存在2条直线与曲线yf(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线yf(x)相切基础诊断考点突破课堂总结规律方法 解决本题第(2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程，可将问题等价转化为关于x0的方程有三个不同的实根，构造函数后，利用函数的单调性求极值，通过数形结合方法找到t满足的条件即可；第(3)问类比第(2)问方法即可基础诊断考点突破课堂总结【训练3】设函数yx22x2的图象为C1，函数yx2axb的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值基础诊断考点突破课堂总结解(1)对于 C1：yx22x2，有 y2x2,
15、对于 C2：yx2axb，有 y2xa，设 C1 与 C2 的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直(2x02)(2x0a)1，即 4x202(a2)x02a10.又点(x0，y0)在 C1 与 C2 上，故有y0 x202x02，y0 x20ax0b 2x20(a2)x02b0.基础诊断考点突破课堂总结由消去 x0，可得 ab52.(2)由(1)知：b52a，aba52a a5422516.当 a54时，(ab)最大值2516.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0
16、)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误基础诊断考点突破课堂总结易错防范1利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)nxn1与指数函数的求导公式(ax)axln x混淆2直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点3曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线y0是曲线yx3在点(0,0)处的切线