1、2017年上海市十四校联考高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题.1已知（x）n的二项式系数之和为256，则n=2设复数z=1+i（i是虚数单位），则z22iz的值等于3设向量、的夹角为（其中0），|=1，|=2，若（2）（k+），则实数k的值为4设函数f（x）=|lgx|，若f（a）=f（b），其中0ab，则a+b取值范围是5函数f（x）=2x+234x，x（，1）的值域为6已知方程+=1表示的曲线为C，任取a，b1，2，3，4，5，则曲线C表示焦距等于2的椭圆的概率等于7若实数x、y满足，则x2y的取值范围是8已知双曲线=1（a0，b0），过双曲线上任意一点P分别作斜率为和的两条直线l1和l
2、2，设直线l1与x轴、y轴所围成的三角形的面积为S，直线l2与x轴、y轴所围成的三角形的面积为T，则ST的值为9在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足a=4，A=30的三角形的个数恰好为一个，则b的取值范围是10设i、j、nN*，ij，集合Mn=（i，j）|43n3i+3j43n+1，则集合Mn中元素的个数为个11设正实数集合A=a1，a2，a3，an，集合S=（a，b）|aA，bA，abA，则集合S中元素最多有个12对于正整数n，设xn是关于x的方程nx3+2xn=0的实数根，记an=（n+1）xn（n2），其中x表示不超过实数x的最大整数，则（a2+a3+a2015）=二
3、、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的13若x1、x2、x3、x10的平均数为3，则3（x12）、3（x22）、3（x32）、3（x102）的平均数为（）A3B9C18D2714设a、b都是不等于1的正数，则“ab1”是“loga3logb3”的（）条件A充要B充分非必要C必要非充分D既非充分也非必要15设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B作AC的垂线交x轴于点D，若点D到直线BC的距离小于a+，则的取值范围为（）A（0，1）B（1，+）C（0，）D（，+）16已知数列an、bn、cn，以下两个命题：若an+bn
4、、bn+cn、an+cn都是递增数列，则an、bn、cn都是递增数列；若an+bn、bn+cn、an+cn都是等差数列，则an、bn、cn都是等差数列；下列判断正确的是（）A都是真命题B都是假命题C是真命题，是假命题D是假命题，是真命题三、解答题，解答写出文字说明、证明过程或演算过程17如图，三棱锥ABCD中，BCD为等边三角形，AC=AD，E为CD的中点；（1）求证：CD平面ABE；（2）设AB=3，CD=2，若AEBC，求三棱锥ABCD的体积18已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N（1）求直线FN与
5、直线AB的夹角的大小；（2）求证：点B、O、C三点共线19已知aR，函数f（x）=x2+（2a+1）x，g（x）=ax（1）解关于x的不等式：f（x）g（x）；（2）若不等式|f（x）|g（x）对任意实数x恒成立，求a的取值范围20已知（x0，y0，z0）是关于x、y、z的方程组的解（1）求证： =（a+b+c）；（2）设z0=1，a、b、c分别为ABC三边长，试判断ABC的形状，并说明理由；（3）设a、b、c为不全相等的实数，试判断“a+b+c=0”是“x02+y02+z020”的条件，并证明：充分非必要；必要非充分；充分且必要；非充分非充要21已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn
6、的前n项和为Pn，且a1=b1=1（1）设a3=b2，a4=b3，求数列an+bn的通项公式；（2）在（1）的条件下，且anan+1，求满足Sn=Pm的所有正整数n、m；（3）若存在正整数m（m3），且am=bm0，试比较Sm与Pm的大小，并说明理由2017年上海市十四校联考高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、填空题.1已知（x）n的二项式系数之和为256，则n=8【考点】二项式系数的性质【分析】由题意可得：2n=256，解得n【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8故答案为：8【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2设复数z=1+i（i是
7、虚数单位），则z22iz的值等于2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：复数z=1+i（i是虚数单位），则z22iz=（1+i）22i（1+i）=2i2i+2=2故答案为：2【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3设向量、的夹角为（其中0），|=1，|=2，若（2）（k+），则实数k的值为2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】（2）（k+），（2）（k+）=0，即可得出【解答】解：（2）（k+），向量、的夹角为（其中0），|=1，|=2，（2）（k+）=2k+（2k）=2k4+2（2k）cos=0，（k2）（1c
8、os）=0对于（0，都成立k=2故答案为：2【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4设函数f（x）=|lgx|，若f（a）=f（b），其中0ab，则a+b取值范围是（2，+）【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0a1，b1，且ab=1，利用基本不等式可求a+b的取值范围【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：0ab，且f（a）=f（b），|lga|=|lgb|且0a1，b1，lga=lgb，ab=1，a+b2=2，ab，a+b2，故答案为：（2，+）【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，利数形结合的思想方
9、法，考查基本不等式的运用，属基础题5函数f（x）=2x+234x，x（，1）的值域为（4，【考点】二次函数的性质【分析】配方化简函数的表达式，设2x=t，t（0，2），利用二次函数的性质，根据t的范围即可得出y的最大、最小值，从而得出原函数的值域【解答】解：f（x）=2x+234x，=42x3（2x）2=3（2x）2+；x（，1）；2x（0，2），令2x=t，t（0，2），则y=3（t）2+；t=时，y取最大值，t=2时，y取最小值4；因为t2，所以y44y；故答案为：（4，【点评】考查函数值域的概念及求法，配方法处理二次式子，换元求函数值域的方法，注意确定换元后引入新变量的范围，以及二次函数
10、值域的求法6已知方程+=1表示的曲线为C，任取a，b1，2，3，4，5，则曲线C表示焦距等于2的椭圆的概率等于【考点】椭圆的简单性质；古典概型及其概率计算公式【分析】椭圆的焦距为：2，半焦距为：1，则a，b两个数的差值为1，然后利用古典概型求解即可【解答】解：方程+=1表示的曲线为C，任取a，b1，2，3，4，5，曲线C表示焦距等于2的椭圆，可知半焦距为：1，则a，b两个数的差值为1，共有8种情况，表示曲线的情况共有55=25种则曲线C表示焦距等于2的椭圆的概率等于故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质，古典概型的概率的求法，考查转化思想以及计算能力7若实数x、y满足，则x2y的取值范围是7
11、，13【考点】简单线性规划【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z=x2y对应的直线进行平移，求出最优解，可得x2y的取值范围【解答】解：作出不等式组，表示的平面区域：得到如图的ABC及其内部，其中A（，0），B（3，5），C（3，5）设z=F（x，y）=x2y，将直线l：z=x2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值，得z最大值=F（3，5）=13；当l经过点A时，目标函数z达到最小值，得z最小值=F（3，5）=7因此，x+2y的取值范围是7，13故答案为：7，13【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x2y的取值范围，着重考查了二元
12、一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题8已知双曲线=1（a0，b0），过双曲线上任意一点P分别作斜率为和的两条直线l1和l2，设直线l1与x轴、y轴所围成的三角形的面积为S，直线l2与x轴、y轴所围成的三角形的面积为T，则ST的值为【考点】双曲线的简单性质【分析】不妨设点P在第一象限，设点P（x0，y0），得到直线l1的方程为yy0=（xx0），直线l2的方程为yy0=（xx0），再分别求出A，B，C，D的坐标，表示出S，T，计算ST即可【解答】解：不妨设点P在第一象限，设点P（x0，y0）直线l1的方程为yy0=（xx0），直线l2的方程为yy0=（xx0），A（0，y
13、0+x0），B（x0+x0，0），D（0，y0x0），C（x0y0，0），S=（y0+x0）（x0+x0），T=（y0x0）（x0y0），ST=（y02x02）（x02y02）=，故答案为：【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础9在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足a=4，A=30的三角形的个数恰好为一个，则b的取值范围是（0，48【考点】解三角形【分析】利用正弦定理得出b=8sinB，根据B+C的度数和三角形只有一解，可得B只有一个值，根据正弦函数的性质得到B的范围，从而得出b的范围【解答】解：A=30，a=4，根据正弦定理得：，b=8si
14、nB，又B+C=18030=150，且三角形只一解，可得B有一个值，0B30，或B=900sinB，或sinB=1，又b=8sinB，b的取值范围为（0，48故答案为：（0，48【点评】本题考查了正弦定理，正弦函数的性质，特殊角的三角函数值，属于中档题10设i、j、nN*，ij，集合Mn=（i，j）|43n3i+3j43n+1，则集合Mn中元素的个数为2n个【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】对j或者i讨论，不妨设i=j=t，可得43n23t43n+1，两边取对数，ln2+nln3tln3ln2+（n+1）ln3，求解t即可得到集合Mn中元素的个数【解答】解：由题意，不妨设i=j=t，可得
15、43n23t43n+1，即23n3t23n+1，两边取对数，ln2+nln3tln3ln2+（n+1）ln3，可得：tn+1那么：i+j=2（n+1）=2n+2个ij，集合Mn中元素的个数为2n个故答案为2n【点评】本题主要考查集合的证明和运算，转化的思想，属于中档题11设正实数集合A=a1，a2，a3，an，集合S=（a，b）|aA，bA，abA，则集合S中元素最多有个【考点】集合中元素个数的最值【分析】假设a1，a2，a3，an按大小顺序排列，当a1，a2，an为等差数列，且首项为公差，集合S中的元素最多，n个数字中任取2个，之差也一定属于a1，a2，an，由此能求出集合S中的元素最多的个
16、数【解答】解：正实数集合A=a1，a2，a3，an，集合S=（a，b）|aA，bA，abA，不妨假设a1，a2，a3，an按大小顺序排列，当a1，a2，an为等差数列，且首项为公差，集合S中的元素最多，n个数字中任取2个，之差也一定属于a1，a2，an，集合S中的元素最多为： =故答案为：【点评】本题考查集合中最多的元素个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列性质、排列组合知识的合理运用12对于正整数n，设xn是关于x的方程nx3+2xn=0的实数根，记an=（n+1）xn（n2），其中x表示不超过实数x的最大整数，则（a2+a3+a2015）=2017【考点】数列的求和【分析】根
17、据条件构造f（x）=nx3+2xn，求函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围进行求解即可【解答】解：设f（x）=nx3+2xn，则f（x）=3nx2+2，当n是正整数时，f（x）0，则f（x）为增函数，当n2时，f（）=n（）3+2（）n=（n2+n+1）0，且f（1）=20，当n2时，方程nx3+2xn=0有唯一的实数根xn且xn（，1），n（n+1）xnn+1，an=（n+1）xn=n，因此（a2+a3+a4+a2015）=（2+3+4+2015）=2017，故答案为：2017【点评】本题考查递推数列的应用以及函数的单调性的应用函数的零点，数列求和的基本方法，考查分析问题解决问题
18、以及计算能力，综合性较强，难度较大二、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的13若x1、x2、x3、x10的平均数为3，则3（x12）、3（x22）、3（x32）、3（x102）的平均数为（）A3B9C18D27【考点】众数、中位数、平均数【分析】根据题意，由x1、x2、x3、x10的平均数为3，由平均数公式分析可得x1+x2+x3+x10=30，对于数据3（x12）、3（x22）、3（x32）、3（x102），由平均数公式可得= 3（x12）+3（x22）+3（x102），计算可得答案【解答】解：根据题意，x1、x2、x3、x10的平均数为3，则有（x1+x2+x3+x1
19、0）=3，即x1+x2+x3+x10=30，对于数据3（x12）、3（x22）、3（x32）、3（x102），其平均数= 3（x12）+3（x22）+3（x102）=3（x1+x2+x3+x10）60=3；故选：A【点评】本题考查数据平均数的计算，关键是牢记平均数计算的公式14设a、b都是不等于1的正数，则“ab1”是“loga3logb3”的（）条件A充要B充分非必要C必要非充分D既非充分也非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可【解答】解：a、b都是不等于1的正数，loga3logb3，即0，或，求解得出：ab1或
20、1ab0或b1，0a1根据充分必要条件定义得出：“ab1”是“loga3logb3”的充分条不必要件，故选：B【点评】本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论15设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B作AC的垂线交x轴于点D，若点D到直线BC的距离小于a+，则的取值范围为（）A（0，1）B（1，+）C（0，）D（，+）【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BDAB得=1，求出cx，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论【解答】解：由题意，A（
21、a，0），B（c，），C（c，），由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BDAB得=1，cx=，D到直线BC的距离小于a+，cx=|a+，c2a2=b2，01，故选：A【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键16已知数列an、bn、cn，以下两个命题：若an+bn、bn+cn、an+cn都是递增数列，则an、bn、cn都是递增数列；若an+bn、bn+cn、an+cn都是等差数列，则an、bn、cn都是等差数列；下列判断正确的是（）A都是真命题B都是假命题C是真命题，是假命题D是假命题，是真命题【考点】数列的概念及简单表示法【分析】对于不妨设a
22、n=2n，bn=3n、cn=sinn，满足an+bn、bn+cn、an+cn都是递增数列，但是不满足cn=sinn是递增数列，对于根据等差数列的性质和定义即可判断【解答】解：对于不妨设an=2n，bn=3n、cn=sinn，an+bn、bn+cn、an+cn都是递增数列，但cn=sinn不是递增数列，故为假命题，对于an+bn、bn+cn、an+cn都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，an+bnan1bn1=a，bn+cnbn1cn1=b，an+cnan1cn1=c，设an，bn、cn的公差为x，y，x，则x=，y=，z=，故若an+bn、bn+cn、an+cn都是等差数列，则an、b
23、n、cn都是等差数列，故为真命题，故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题三、解答题，解答写出文字说明、证明过程或演算过程17（2017上海模拟）如图，三棱锥ABCD中，BCD为等边三角形，AC=AD，E为CD的中点；（1）求证：CD平面ABE；（2）设AB=3，CD=2，若AEBC，求三棱锥ABCD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（1）推导出BECD，AECD，由此能证明CD平面ABE（2）推导出AE平面BCD，由此能求出三棱锥ABCD的体积【解答】证明：（1）三棱锥ABCD中，BCD为等边三角形，AC=AD，E为CD的中点
24、，BECD，AECD，又AEBE=E，CD平面ABE解：（2）由（1）知AECD，又AEBC，BCCD=C，AE平面BCD，AB=3，CD=2，三棱锥ABCD的体积：=【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18（2017上海模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N（1）求直线FN与直线AB的夹角的大小；（2）求证：点B、O、C三点共线【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）先设A（x1，y1）、B（x2，y2）、中点M（x0，y0），利
25、用斜率公式得出kFN=y0，再分类讨论：当x1=x2时，显然FNAB；当x1x2时，证出kFNkAB=1从而知FNAB成立，即可得出结论（2）将焦点弦AB的直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合直线斜率的关系即可证得B、O、C三点共线，从而解决问题【解答】（1）解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、中点M（x0，y0），焦点F的坐标是（1，0）kFN=y0，当x1=x2时，显然FNAB；当x1x2时，kAB=，kFNkAB=1FNAB综上所述知FNAB成立，即直线FN与直线AB的夹角的大小为90；（2）证明：由y=k（x1）与抛物线方程联立，可得ky24y4k=
26、0，y1y2=4，A在准线上的射影为C，C（1，y1），kOC=y1，kOB=，y1y2=4，kOB=kOC，点B、O、C三点共线【点评】本题给出抛物线过焦点的弦在准线上的射影，求证三点共线及线线角，着重考查了用解析几何理解抛物线的定义的知识点，属于中档题19（2017上海模拟）已知aR，函数f（x）=x2+（2a+1）x，g（x）=ax（1）解关于x的不等式：f（x）g（x）；（2）若不等式|f（x）|g（x）对任意实数x恒成立，求a的取值范围【考点】函数恒成立问题；一元二次不等式的解法【分析】（1）由f（x）g（x），得x2+（2a+1）xax，即x2+（a+1）x0然后分a1，a=1，a
27、1三类求解不等式的解集；（2）|f（x）|g（x）对任意实数x恒成立|x2+（2a+1）x|ax对任意实数x恒成立，当a=0时，不等式|x2+（2a+1）x|ax对任意xR都成立；当a0时，分x（，0与x（0，+）分类分析；当a0时，不等式|x2+（2a+1）x|ax显然不成立；当a时，要使不等式|x2+（2a+1）x|ax恒成立，则t（x）=x2+2（a+1）xax0在x（，0）上恒成立然后利用导数求解满足条件的a的取值范围【解答】解：（1）由f（x）g（x），得x2+（2a+1）xax，即x2+（a+1）x0当a1时，解得0xa1当a=1时，解得x=0当a1时，解得a1x0当a1时，不等式
28、f（x）g（x）的解集为0，a1；当a=1时，不等式f（x）g（x）的解集为0；当a1时，不等式f（x）g（x）的解集为a1，0（2）|f（x）|g（x）对任意实数x恒成立|x2+（2a+1）x|ax对任意实数x恒成立，当a=0时，不等式|x2+（2a+1）x|ax对任意xR都成立；当a0时，当x（，0时，不等式|x2+（2a+1）x|ax成立，当x（0，+）时，令h（x）=x2+（2a+1）xax=x2+ax+x，h（x）=2x+a+10，h（x）在（0，+）上为增函数，则h（x）h（0）=0，不等式|x2+（2a+1）x|ax成立，当a0时，不等式|x2+（2a+1）x|ax成立；当a0时
29、，不等式|x2+（2a+1）x|ax显然不成立；当a时，要使不等式|x2+（2a+1）x|ax恒成立，则t（x）=x2+2（a+1）xax0在x（，0）上恒成立t（x）=2x+a+1，由2x+a+1=0，解得x=，若1a，则当x（，）时，t（x）0，当x（，+）时，t（x）0，x（，0）时， =，不合题意；若a1，则x（，0）时，t（x）0，t（x）为减函数，则t（x）t（0）=0综上，不等式|f（x）|g（x）对任意实数x恒成立时a的取值范围是（，10，+）【点评】本题考查函数恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，属中档题20（2017上海模拟）
30、已知（x0，y0，z0）是关于x、y、z的方程组的解（1）求证： =（a+b+c）；（2）设z0=1，a、b、c分别为ABC三边长，试判断ABC的形状，并说明理由；（3）设a、b、c为不全相等的实数，试判断“a+b+c=0”是“x02+y02+z020”的条件，并证明：充分非必要；必要非充分；充分且必要；非充分非充要【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义【分析】（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；（2）由方程组有非零解得出=0，即=0，将行列式展开化简即可得出a=b=c；（3）利用（1），（2）的结论即可答案【解答】解：（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，得： =（a+b+c）（2）
31、z0=1，方程组有非零解，=0，由（1）可知（a+b+c）=0a、b、c分别为ABC三边长，a+b+c0，=0，即a2+b2+c2abbcac=0，2a2+2b2+2c22ab2bc2ac=0，即（ab）2+（bc）2+（ac）2=0，a=b=c，ABC是等边三角形（3）若a+b+c=0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x02+y02+z02=0，a+b+c=0”不是“x02+y02+z020”的充分条件；若x02+y02+z020，则方程组有非零解，=（a+b+c）=0a+b+c=0或=0由（2）可知a+b+c=0或a=b=ca+b+c=0”不是“x02+y02+z020”的必要条件故
32、答案为【点评】本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题21（2017上海模拟）已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Pn，且a1=b1=1（1）设a3=b2，a4=b3，求数列an+bn的通项公式；（2）在（1）的条件下，且anan+1，求满足Sn=Pm的所有正整数n、m；（3）若存在正整数m（m3），且am=bm0，试比较Sm与Pm的大小，并说明理由【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【分析】（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，根据a3=b2，a4=b3，a1=b1=1建立关系求解an，bn的通项公式，可得数列a
33、n+bn的通项公式；（2）利用等差数列和等比数列的前n项和公式建立关系，利用函数的极值思想，求解n、m的关系，可得答案（3）存在正整数m（m3），且am=bm0，可得1+（m1）d=qm10利用作差法证明，需对q=1或q1进行讨论求解即可【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，a1=b1=1a3=b2，a4=b3，1+2d=q，1+3d=q2，联立解得d=0，q=1；d=，q=d=0，q=1时，an=1，bn=1，an+bn=2d=，q=时，an=1（n1），bn=，an+bn=+（2）在（1）的条件下，且anan+1，d0，d=，q=，Sn=n+，Pm=2n+=2
34、2，解得：n或n满足Sn=Pm的所有正整数n、m为：，（3）存在正整数m（m3），且am=bm0，1+（m1）d=qm101，1+d，1+2d，1+（m1）d1，q，q2，qm1下面证明：1+（m2）dqm2m=3时，若a3=b3，则1+2d=q2，作差1+dq=1+q=0，因此S3P3假设m3，作差：1+（m2）dqm2=1+（m2）qm2=qm1qm2若q=1，则（m1）d=0，可得d=0Sm=m+d=m，Pm=m，此时Sm=Pm若q1，则q0Sm=，m+d，Pm=此时SmPm0存在正整数m（m3），且am=bm0，SmPm【点评】本题主要考查了等差数列，等比数列，前n项和以及讨论思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题