1、1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3.平面向量共线的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2) (a0)，
2、如果ab，那么x1y2x2y10；反过来，如果x1y2x2y10，那么ab.【知识拓展】1.若a与b不共线，ab0，则0.2.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果x20，y20，则ab.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.()1.(教
3、材改编)如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，是实数，则下列说法中正确的有_.(填序号)若，满足e1e20，则0；对于平面内任意一个向量a，使得ae1e2成立的实数，有无数对；线性组合e1e2可以表示平面内的所有向量；当，取不同的值时，向量e1e2可能表示同一向量.答案解析正确.若0，则e1e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明0.不正确.由平面向量基本定理可知，唯一确定.正确.平面内的任一向量a可表示成e1e2的形式，反之也成立；不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当e1和e2确定后，其和向量e1e2唯一确定.2.(教材改编)给出下面几种说法：相等向量
4、的坐标相同；平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；一个坐标对应于唯一的一个向量；平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应.其中正确说法的个数是_.答案3解析由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故错误.3.(2015课标全国)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量_.答案(7，4)解析(3，1)，(4，3)，(4，3)(3，1)(7，4).4.已知向量a(2，3)，b(1，2)，若manb与a2b共线，则_.答案解析由已知条件可得manb(2m，3m)(n，2n)(2mn，3m2n)，a2b(2，3)(2，4)(4，1).manb与a2b共线，即
5、n2m12m8n，.5.(教材改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为_.答案(1，5)解析设D(x，y)，则由，得(4，1)(5x，6y)，即解得题型一平面向量基本定理的应用例1(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则_.(2)(2016苏锡常镇调研)如图，在ABC中，BO为边AC上的中线，2，设，若(R)，则的值为_.答案(1)ab(2)解析a，b，ab.E是OD的中点，DFAB.()()ab，ababab.(2)因为2，所以().因为，所以设m，从而(1).因为，所以，1.思维
6、升华平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_.答案解析设k，kR.因为kk()k()(1k)，且m，所以1km，解得k，m.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，则c_.(2)(2016盐城模拟)已知向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，则2ab_.答案(1)(2)(4，8)解
7、析(1)由已知3ca2b(5，2)(8，6)(13，4).所以c.(2)因为向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，所以142m0，即m2，所以2ab2(1，2)(2，4)(4，8).思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.(1)(2016江苏宿迁三校模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.(2)已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，则顶点D的坐标为_.答案(1)4(2)(2，)解析(1)以向量a和b的
8、交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，a(1，1)，b(6，2)，c(1，3).cab，(1，3)(1，1)(6，2)，即解得2，4.(2)设D(x，y)，(x，y2)，(4，3)，又2，题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_.答案(3，3)解析方法一由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44，4).又(2，6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3，3)，所以点P的坐标为(3，3).方法二设点P(x，y
9、)，则(x，y)，因为(4，4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2，6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3，3).命题点2利用向量共线求参数例4(2016常州模拟)已知向量a(1sin ，1)，b(，1sin )，若ab，则锐角_.答案45解析由ab，得(1sin )(1sin )，所以cos2，cos 或cos ，又为锐角，45.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便.(
10、2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量.(1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为_.(2)设(2，4)，(a，2)，(b，0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值为_.答案(1)(2，4)(2)解析(1)在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4，2)(x，y)(4x，2y)，(2，1)(1，2)(1，1)，(4x，2y)2(1，1)
11、，即(4x，2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2，4).(2)由已知得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，所以(2ab)()(3)(32)(当且仅当ba时，等号成立).11.解析法(坐标法)在向量中的应用典例(14分)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动.若xy，其中x，yR，求xy的最大值. 思想方法指导建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征.规范解答解以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B(，).4分设AOC(0，)，
12、则C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，8分所以xycos sin 2sin()，11分又0，所以当时，xy取得最大值2.14分1.(2016江苏苏州暑期测试)设x，yR，向量a(x，1)，b(2，y)，且a2b(5，3)，则xy_.答案1解析由题意得a2b(x4，12y)(5，3)，所以解得所以xy1.2.已知点A(1，5)和向量a(2，3)，若3a，则点B的坐标为_.答案(5，14)解析设点B的坐标为(x，y)，则(x1，y5).由3a，得解得3.(2016江苏南京开学测试)已知向量a(1，2)，b(m，4)，且a(2ab)，则实数m的值为_.答案2解析方
13、法一由题意得a(1，2)，2ab(2m，8)，因为a(2ab)，所以18(2m)20，故m2.方法二因为a(2ab)，所以存在实数，使得a2ab，即(2)ab，所以(2，24)(m，4)，所以2m且244，得4，m2.方法三因为a(2ab)，所以ab，所以42m，即m2.4.已知a(1，1)，b(1，1)，c(1，2)，则c_.(用a，b表示)答案ab解析设cab，(1，2)(1，1)(1，1)，cab.5.已知A(7，1)，B(1，4)，直线yax与线段AB交于点C，且2，则实数a_.答案2解析设C(x，y)，则(x7，y1)，(1x，4y)，2，解得C(3，3).又C在直线yax上，3a3
14、，a2.6.已知|1，|，0，点C在AOB内，且与的夹角为30，设mn(m，nR)，则的值为_.答案3解析0，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系(图略)，(1，0)，(0，)，mn(m，n).tan 30，m3n，即3.7.在ABCD中，AC为一条对角线，(2，4)，(1，3)，则向量的坐标为_.答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5).8.设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.答案解析ab，sin 21cos20，2sin cos cos20，0，cos 0，2sin cos ，tan .9.在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点
15、.若，其中，R，则_.答案解析选择，作为平面向量的一组基底，则，又()()，于是得解得所以.*10.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若mn，则mn的取值范围是_.答案(1，0)解析由题意得，k(k0)，又|k|1，1k0.又B，A，D三点共线，(1)，mnkk(1)，mk，nk(1)，mnk，从而mn(1，0).11.(2016四川改编)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|1，则|2的最大值是_.答案解析建系如图，则易知B(，0)，C(，0)，A(0，3). 设M(x，y)，P(a，b)，即P(2x，2y)，又|1.
16、P点在圆x2(y3)21上，即(2x)2(2y3)21，整理得，22(记为圆)，即M点在该圆上，求|的最大值转化为B点到该圆上的一点的最大距离，即B到圆心的距离再加上该圆的半径：|22.12.(2016扬州中学质检)在矩形ABCD中，AB，BC，P为矩形内一点，且AP， (，R)，则的最大值为_.答案解析以矩形相邻两边所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(，0)，D(0，)，设PAB，则P(cos ，sin )，因为，所以(cos ，sin )(，0)(0，)，所以cos ，sin ，故cos sin sin()，由已知得0，所以，所以sin()1，所以的最大值为.13.(
17、2016江苏南京二十九中月考)设G为ABC的重心，若ABC所在平面内一点P满足220，则的值为_.答案2解析令三角形为等腰直角三角形(如图)，则根据重心坐标公式得重心G的坐标为(1，1)，根据220，可设P(x，y)，则有2(x3，y)2(x，y3)(4x6，4y6)(x，y)，所以x2，y2，所以P(2，2)，所以2.14.已知A(1，1)，B(3，1)，C(a，b).(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标.解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2).解得点C的坐标为(5，3).
