1、3.2.5距离(选学)1理解点到平面的距离的概念(重点)2能灵活运用向量方法求各种空间距离(难点、重点)3体会向量法在求空间距离中的作用基础初探教材整理距离阅读教材P112P113“例2”，完成下列问题1图形与图形的距离一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离2点到平面的距离一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离3直线与它的平行平面的距离一条直线上的任一点，到与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离4两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线(2)公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段(3)
2、两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离5四种距离的关系如图3235，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是_图3235【解析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，O，A1(1,0,1)，则，(1,0,1)由题意知为平面ABC1D1的一个法向量，所以O到平面ABC1D1的距离d|cos，|.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型两点间的距离如图3236，空间四边形ABCD
3、的每条边和对角线的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点，求MN的长图3236【精彩点拨】利用|求解【自主解答】设p，q，r.由题意|p|q|r|a，且p，q，r三向量两两夹角均为60.()(qrp)|2(qrp)(qrp)q2r2p22(qrqprp)2a2.|a，即MN的长为a.计算两点间的距离的基本方法：(1)把线段用向量表示，然后利用|a|2aa，通过向量运算求|a|.(2)求解的图形适合建立空间直角坐标系时，可用坐标法求向量的长度(或两点间距离)再练一题1已知平行六面体ABCDABCD，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.求AC的长图3237【解】因为，所以|
4、2()()|2|2|22()4232522(0107.5)85.因此|.点到平面的距离如图3238，已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AD，AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2，求点B到平面EFG的距离图3238【精彩点拨】建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解【自主解答】以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间坐标系，则G(0,0,2)，B(0,4,0)，A(4,4,0)，D(4,0,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)(4,2，2)，(2,4，2)，(0，4,2)设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，则有n0，n02xyz0，x2yz0，取x1，则y1，
5、z3，得n(1,1,3)，n的一个单位向量n0.则点B到平面EFG的距离为|cos ，n|n0|，即点B到平面EFG的距离为.用向量法求点面距的方法与步骤再练一题2如图3239，已知四棱锥SABCD，SA底面ABCD，DABABC90，AB4，BC3，AS4，E是AB的中点，F在BC上，且BFFC，求点A到平面SEF的距离图3239【解】以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在的直线为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系Oxyz，如图所示，则A(0,0,0)，E(0,2,0)，F(1,4,0)，S(0,0,4)，(0,0,4)，(0,2，4)，(1,4，4)设平面SEF的法向量n(x，y，z)，
6、则n0，且n0，即(0,2，4)(x，y，z)2y4z0，且(1,4，4)(x，y，z)x4y4z0.在上面的两个方程中，令zk，则可解得x4k，y2k，zk.所以n(4k,2k，k)，n的单位向量n0.因此，点A到平面SEF的距离d|n0|.探究共研型直线与平面、平面与平面的距离探究1已知平面的一个法向量n(2，2,1)，点A(1,3,0)在内，求P(2,1,4)到的距离【提示】d.探究2四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，AB4，ABC60，侧棱PA底面AC，且PA4，E是PA的中点，求PC与平面BED间的距离并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系【提示】以A为原点，AB为x轴，
7、ACD中CD边上的高AF为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则F为CD的中点，于是A(0,0,0)，B(4,0,0)，F(0,2，0)，C(2,2，0)，D(2,2，0)，P(0,0,4)，E(0,0,2)设平面BED的法向量n(x，y，z)，由(4,0,2)，(2，2，2)，得即得取z2，得n(1，2)(2,2，4)，n2680，故PC平面BED，PC到平面BED的距离就是P到平面BED的距离(0,0,2)，d.直线PC上各点到平面BED的距离都相等棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，DGDD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求A1D1到平面E
8、FGH的距离【精彩点拨】把A1D1到平面EFGH的距离转化为直线A1D1上某一点(如点D1)到平面EFGH的距离，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【自主解答】以D点为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则E，F，G，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，(1,0,0)，(1,0,0)，.又EF平面EFGH，D1A1平面EFGH，D1A1平面EFGH.A1D1到平面EFGH的距离，即D1到平面EFGH的距离设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则n0，且n0，即令z6，可得n(0，1,6)，n0.又，d|n0|，因此，A1D1到平面EFGH的距离为.
9、1求直线与平面的距离以及平面与平面之间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则2求解点到平面的距离常用的方法：(1)空间向量法；(2)垂线段法；(3)等体积法再练一题3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离图3240【解】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)从而(2,2,0)，(2,2,0)，(2,0,4)，(2，0,4)，EF
10、MN，AMBF，EFBFF，MNAMM.平面AMN平面EFBD.设n(x，y，z)是平面AMN的法向量，从而解得取z1，得n(2，2,1)，由于(0,4,0)，所以在n上的投影为.两平行平面间的距离d.构建体系1若O为坐标原点，(1,1，2)，(3,2,8)，(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为() 【导学号：15460081】A.B2C. D【解析】()(4,3,6)，而(0,1,0)，|.【答案】D2已知ABC的顶点A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边长的高BD的长等于()A3B4C5D6【解析】(4，5,0)，(0,4，3)，则在上的投影d4，而|，
11、AC边上的高BD5.【答案】C3点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB3，BC4，PA2.则P到平面BQD的距离为_图3241【解析】如图，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，Q(0,0,1)，(3,0，1)，(3,4,0)，(0,0,1)，设平面BQD的法向量n(x，y，z)，由得令x4，则z12，y3，n(4,3,12)P到平面BQD的距离d.【答案】4已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于_【解
12、析】，|2|2|2|2，|22.在RtBDC中，BC.平面ABC平面BCD，过D作DHBC于H，则DH平面ABC，DH的长即为D到平面ABC的距离，DH.【答案】5在三棱锥BACD中，平面ABD平面ACD，若棱长ACCDADAB1，且BAD30，求点D到平面ABC的距离【解】如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴，y轴，过O作OM平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，则A，B，C，D，设n(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，则yx，zx，可取n(，1,3)，代入d，得d，即点D到平面ABC的距离是.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(
13、1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知平面的一个法向量n(2，2,1)，点A(1,3,0)在平面内，则点P(2,1,4)到平面的距离为()A10B3CD【解析】由题意可知(1,2，4)设点P到的距离为h，则h.【答案】D2在ABC中，AB15，BCA120，若ABC所在平面外一点P到A，B，C的距离都是14，则P到的距离是()A13 B11 C9 D7【解析】作PO于点O，连接OA，OB，OC，PAPBPC，OAOBOC，O是ABC的外心OA5，PO11即为所求【答案】B3在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距
14、离是()A. B C D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，M，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，(a，a,0)，(a,0，a)设平面MBD的法向量为n(x，y，z)，则令x1，则可得n(1，1，2)da.【答案】A4若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为() 【导学号：15460082】A. B1 C D【解析】如图，A1C1平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与平面ABCD所成的角是60，AB1，所以BB1，即点A1到平面ABCD的距离为.【
15、答案】D5已知二面角l为60，动点P，Q分别在平面，内，P到的距离为，Q到的距离为2，则P，Q两点之间距离的最小值为()A2 B2 C2 D4【解析】作PM，QN，垂足分别为M，N.分别在平面，内作PEl，QFl，垂足分别为E，F，如图所示，连接ME，NF，则MEl，PEM为二面角l的平面角，PEM60.在RtPME中，|2，同理|4.又，|24|21622220|2224cos 12012|2.当|2取最小值0时，|2最小，此时|2.【答案】C二、填空题6如图3242，已知在60的二面角l中，A，B，ACl于C，BDl于D，并且AC1，BD2，AB5，则CD_.图3242【解析】ACl，BD
16、l，l为60的二面角，60.，2222222，5212242|cos ，220212cos 12022，|.【答案】7在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则点D到平面PBC的距离是_【解析】分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，(2,2，2)，(0,2,0)设n(x，y，z)为平面PBC的法向量，则即取x1，则n(1,0,1)又(2,1,0)，点D到平面PBC的距离为.【答案】8正方体ABCDA1B1
17、C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_【解析】建立空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，B1(a，a，a)，E，F，如图所示设平面A1D1E的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即ax0，ayz0，令z2，得n(0,1,2)又，所求距离da.【答案】a三、解答题9在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDDA2，E，F分别为PC，AD的中点图3243(1)证明：DE平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离【解】(1)证明：以D为原点，建立如图所示的坐标系，则P(
18、0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)(1,0,2)，(1,2,0)，(0,1,1).平面PFB.又D平面PFB，DE平面PFB.(2)令平面PFB的法向量为n(x，y，z)，则令x2，则法向量n(2，1,1)又(0,1，1)，d.点E到平面PFB的距离为.10已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离【解】(1)建立以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，设平面P
19、EF的法向量n(x，y，z)，则即令x2，则y2，z3，所以n(2,2,3)，所以点D到平面PEF的距离为d，因此，点D到平面PEF的距离为.(2)因为，所以点A到平面PEF的距离为d，所以AC到平面PEF的距离为.能力提升1正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M分的比为，N为BB1的中点，则|MN|为()A.a Ba Ca Da【解析】以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.又M分的比为，M，|a.【答案】A2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离为()
20、A3 B C D【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，(1，2,1)，(2，1，1)，(0，1,0)，设n(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，则 xyz，可取n(1,1,1)，d，即点A到平面EFG的距离为.【答案】C3如图3244，已知ABC是以B为直角的直角三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，则点A到平面SND的距离为_. 【导学号：15460083】图3244【解析】建立如图的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(4,1,0)，(0，2,2)，
21、(4,1，2)设平面SND的法向量为n(x，y,1)n0，n0，n.(0,0,2)A到平面SND的距离为.【答案】4如图3245，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD2，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，O为AD中点，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由图3245【解】在PAD中，PAPD，O为AD中点，POAD.又侧面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面ABCD.建立如图所示空间直角坐标系，易得A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1,0)假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，设Q(0，y,0)(1y1)，(1，y,0)设平面PCD的法向量为n(x0，y0，z0)，则即x0y0z0，取x01，则平面PCD的一个法向量为n(1,1,1)点Q到平面PCD的距离为d，y或y(舍去)此时|，|.存在点Q满足题意，此时.