1、3.1.2 用二分法求方程的近似解整体设计教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步.三维目标1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.2.了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.3.回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热
2、情和学习的兴趣.重点难点用二分法求方程的近似解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情景导入)师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价.生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价.如果低了，每50元上升；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价师：在现实生活中我们也常常利用这种方法.
3、譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，(相距大约3 500米)电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测,还是按照生3那样来检测呢？生：(齐答)按照生3那样来检测.师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法).思路2.(事例导入)有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的
4、就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推进新课新知探究提出问题解方程2x-16=0.解方程x2-x-2=0.解方程x3-2x2-x+2=0.解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？“取中点”后，怎样判断所在零点的区间?什么叫二分法?试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内零点的近似值.总结用二分法求函数零点近似值的步骤.思考用二分法求函数零点近似值的特点.讨论结果：x=8.x=-1,x=2.x=-1,x=1,x=2.x=,x=,x=1,x=2.如果能够将零
5、点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.“取中点”,一般地,我们把x=称为区间(a,b)的中点比如取区间(2，3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)0,因为f(2.5)f(3)0,所以零点在区间(2.5,3)内.对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).因为函数f(x)=lnx+2x-6，用计算器或计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的对应值表.
6、x123456789f(x)-4-1.3061.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972由表可知，f(2)0,则f(2)f(3)0，这说明f(x)在区间内有零点x0，取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器算得f(2.5)-0.084，因为f(2.5)f(3)0，所以x0(2.5,3).同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1).区间中点的值中点函数的近似值(2，3)2.5-0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53-1-2-
7、5-0.009(2.53-1-2-5,2.5625)2.5468750.029(2.53-1-2-5,2.546875)2.53906250.010(2.53-1-2-5,2.5390625)2.535156250.001图3-1-2-1由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表).这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53-1
8、-2-5|=0.00781250.01，所以，我们可以将x=2.53-1-2-5作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值.给定精度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1确定区间a,b，验证f(a)f(b)0，给定精度.2求区间(a,b)的中点c.3计算f(c):a.若f(c)=0，则c就是函数的零点；b.若f(a)f(c)0，则令b=c此时零点x0(a,c)；c.若f(c)f(b)0，则令a=c此时零点x0(c,b).4判断是否达到精度；即若|a-b|，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤24由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是
9、重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.应用示例思路1例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1).活动：师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)=2x+3x-7的图象，能够缩小根所在区间，并根据f(1)0,可得出根所在区间(1,2)；引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度.学生简述上述求方程近似解的过程.解：原方程即
10、2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机做出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象(3-1-2-2).x012345678f(x)-6-2310214075142273图3-1-2-2观察图表可知f(1)f(2)0,说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.取区间(1，2)的中点x=1.5,用计算器算得f(1.5)0.33.因为f(1)f(1.5)0,所以x0(1,1.5).再取区间(1，1.5)的中点x=1.25,用计算器算得f(1.25)-0.87.因为f(1.25)f(1.5)0,所以x0(1.25,1.5).同理,可得，x0(1.375,1.5)，x0(1
11、.375,1.4375).由于|1.375-1.437 5|=0.06250.1,所以，原方程的近似解可取为1.4375.例2利用计算器，求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确度0.1)活动：教师帮助学生分析:画出函数f(x)=x2-2x-1的图象，如图3-1-2-3所示.从图象上可以发现，方程x2-2x-1=0的一个根x1在区间(2，3)内，另一个根x2在区间(-1，0)内.根据图象，我们发现f(2)=-10，这表明此函数图象在区间(2，3)上穿过x轴一次，即方程f(x)=0在区间(2，3)上有唯一解.图3-1-2-3计算得f()=0，发现x1(2，2.5)(如图3-1-2-3)，这样可
12、以进一步缩小x1所在的区间.解：设f(x)=x2-2x-1，先画出函数图象的简图，如图3-1-2-3.因为f(2)=-10，所以在区间(2，3)内，方程x2-2x-1=0有一解，记为x1.取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)=0.250，所以2x12.5.再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)=-0.437 50，所以2.25x12.5.如此继续下去，得f(2)0x1(2,3),f(2)0x1(2,2.5),f(2.25)0x1(2.25,2.5),f(2.375)0x1(2.375,2.5),f(2.375)0x1(2.375,2.437 5).因为2.375与2.437 5
13、精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为x12.4.点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.思路2例1利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解(精确度0.1).活动：学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.分别画出y=lgx和y=3-x的图象，如图3124所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2，3)内.图3-1-2-4解：设f(x)=lgx+x-3，设x1为函数的零点即方程lgx=3-x的解.用计算器计
14、算，得f(2)0x1(2,3)，f(2.5)0x1(2.5,3)，f(2.5)0x1(2.5,2.75)，f(2.5)0x1(2.5,2.625)，f(2.562 5)0x1(2.562 5,2.625).因为2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x12.6.例2求方程lnx-2x+3=0在区间1,2内的根(精确度0.1).解：设f(x)=lnx-2x+3,则原方程的根为函数f(x)的零点.设x1为函数的零点即方程lnx-2x+3=0的解.如图3-1-2-5,因为f(1)=1,f(2)=-0.306 852 819,所以f(1)f(2)0,f(1.812
15、 5)=-0.030 292 8920,所以x1(1.75,1.812 5).由于|1.812 5-1.75|=0.062 50.1,所以区间(1.75,1.812 5)内的每一个实数都可以作为方程lnx-2x+3=0在区间1,2内的根.点评：先设出方程对应的函数，画出函数的图象，初步确定解所在的区间,再用二分法求方程近似解.二分法,即逐渐逼近的方法.计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比较容易.知能训练1.根据下表中的数据，可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为( )x-10123ex0.3712.277.3920.0x+212345A.(-1,0) B.(
16、0,1) C.(1,2) D.(2,3)2.用二分法判断方程2x=x2的根的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案:1.C.设f(x)=ex-x-2,f(1)0,即f(1)f(2)0,f(1.5)=-2.8750,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-,+)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2),因为f(3)0,所以f(x)=2xln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2xln(x-2)-3在(2,+)上是增函数,所以f(x)在(3
17、,4)上有且仅有一个零点.(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3),因为f(0)0,所以f(x)=ex-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=ex-1+4x-4在(-,+)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4),因为f(-4)0,f(-2)0,f(2)0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8(课本第91页练习)1.由题设可知f(0)=-1.40,于是f(0)f(1)0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用
18、二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)f(1)0,所以x0(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)0.32.因为f(0.5)f(0.75)0,所以x0(0.5,0.75).同理,可得x0(0.625,0.75)，x0(0.625,0.687 5)，x0(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 250.1,所以原方程的近似解可取为0.656 25.2.原方程可化为x
19、+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)-0.70,f(3)0.48.于是f(2)f(3)0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)-0.10.因为f(2.5)f(3)0,所以x0(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)0.19.因为f(2.5)f(2.75)0,所以x0(2.5,2.75).同理,可得x0(2.5,2.625),x0(2.562 5,2.625),x0(2.562 5,2.59
20、3 75),x0(2.578 125,2.593 75),x0(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 50.01,所以原方程的近似解可取为2.593 75.(课本第92页习题3.1)A组1.A,C点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)f(3)0,f(3)f(4)0,f(4)f(5)0,又根据“如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(
21、4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)f(0)0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.因为f(-1)f(-0.5)0,所以x0(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)1.58.因为f(-1)f(-0.75)0,所以x0(-1,-0.75).同
22、理,可得x0(-1,-0.875)，x0(-0.937 5,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 50.1,所以原方程的近似解可取为-0.937 5.4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)f(1)0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)0.13.因为f(0.75)f(1)0,所以x0(0.75,
23、1).再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)-0.04.因为f(0.875)f(0.75)0,所以x0(0.75,0.875).同理,可得x0(0.812 5,0.875)，x0(0.812 5,0.843 75).由于|0.812 5-0.843 75|=0.031 250.1,所以原方程的近似解可取为0.843 75.5.由题设有f(2)-0.310,于是f(2)f(3)0,所以函数f(x)在区间(2，3)内有一个零点.下面用二分法求函数f(x)=lnx在区间(2，3)内的近似解.取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)0.12.因
24、为f(2)f(2.5)0,所以x0(2,2.5).再取(2，2.5)的中点x2=2.25,用计算器可算得f(2.25)-0.08.因为f(2.25)f(2.5)0,所以x0(2.25,2.5).同理,可得x0(2.25,2.375)，x0(2.312 5,2.375),x0(2.343 75,2.375),x0(2.343 75,2.359 375),x0(2.343 75,2.351 562 5),x0(2.343 75,2.347 656 25).由于|2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 250.01,所以原方程的近似解可取为2.347 656 25.B组1.
25、将系数代入求根公式x=,得x=,所以方程的两个解分别为x1=,x2=.下面用二分法求方程的近似解.取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令f(x)=2x2-3x-1.在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08.于是f(1.775)f(1.8)0.所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.由于|1.8-1.775|=0.0250.1,所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为1.8.同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275.所以方程精确到0.1的近似解分别是1
26、.8和-0.3.2.原方程即x3-6x2-3x+5=0,令f(x)=x3-6x2-3x+5,函数图象如下图所示.图3-1-2-9所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解.取区间(-2，0)的中点x1=-1,用计算器可算得f(-1)=1.因为f(-2)f(-1)0,所以x0(-2,-1).再取(-2，-1)的中点x2=-1.5,用计算器可算得f(-1.5)=-7.375.因为f(-1.5)f(-1)0,所以x0(-1.5,-1).同理,可得x0(-1.25,-1)，x0(-1.125,-1),x0(-1.125,-1.062 5).由于|(-1.062 5)-(-1.1
27、25)|=0.062 50.1,所以原方程在区间(-2，0)内的近似解可取为-1.062 5.同理,可得原方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.7,在区间(6，7)内的近似解可取为6.3.3.(1)由题设有g(x)=2-f(x)2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2.(2)函数图象如下图所示.图3-1-2-10(3)由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点.取区间(-3，-2)的中点x1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.187 5.因为g(-3)g(-2.5)0,所以x0(-3,-2.5).再取(-3，-2.5)的中点x2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)0.28.因为g(-3)g(-2.75)0,所以x0(-3,-2.75).同理,可得x0(-2.875,-2.75)，x0(-2.812 5,-2.75).由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 50.1,所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2.812 5.同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2.所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-2.8或-0.2.点评：第2、3题采用信息技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术条件,建议教师直接给出函数图象或零点所在区间.