1、1.2.3同角三角函数的基本关系式 学习目标1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明知识链接如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？答设点P(x，y)为终边上任意一点，P与O不重合P到原点的距离为r0，则sin ，cos ，tan .于是sin2cos2221，tan .即sin2cos21，tan .预习导引1任意角三角函数的定义如图所示，以任意角的顶点O为坐标原点，以角的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系设P(x，y)是任意角终边上不同于坐标原点的
2、任意一点其中，rOP0.则sin ，cos ，tan .2同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan (k，kZ)3同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2cos21的变形公式：sin21cos2；cos21sin2；(2)tan 的变形公式：sin cos_tan_；cos .要点一利用同角基本关系式求值例1已知cos ，求sin ，tan 的值解cos 0，是第二或第三象限的角，如果是第二象限角，那么sin ，tan .如果是第三象限角，同理可得sin ，tan .规律方法已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般
3、是先选用平方关系，再用商数关系另外也要注意“1”的代换，如“1sin2cos2”本题没有指出是第几象限的角，则必须由cos 的值推断出所在的象限，再分类求解跟踪演练1已知tan ，且是第三象限角，求sin ，cos 的值解由tan ，得sin cos 又sin2cos21由得cos2cos21，即cos2.又是第三象限角，cos ，sin cos .要点二三角函数代数式的化简例2化简下列各式：(1) ；(2) ，其中sin tan 0.解(1)1.(2)由于sin tan 0，即0，cos 0，是第二、三象限角 .规律方法解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化
4、简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数从而减少函数名称，达到化简的目的(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的(4)关于sin ，cos 的齐次式的求值方法sin ，cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin ，cos 的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子，分母同除以cos 的n次幂，其式子可化为关于tan 的式子，如可化为，再代入求值若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2cos2来代换，将分子
5、、分母同除以cos2，可化为关于tan 的式子，如3sin22cos2可写成，进一步化为，再代入求值跟踪演练2已知tan 3，则(1)_；(2)sin23sin cos 1_.答案(1)1(2)1解析(1)1；(2)sin23sin cos 11.要点三三角函数恒等式的证明例3求证：.证明右边左边，原等式成立规律方法(1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异，有目的的化简(2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简(3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证跟踪演练3已知2cos45cos27asin4bsin2c是恒等式求a、b、c的值解2cos45cos2724sin22sin45
6、5sin272sin49sin2，故a2，b9，c0.1化简_.答案cos 40sin 40解析原式|cos 40sin 40|cos 40sin 40.2已知是第三象限角，sin ，则tan _.答案解析由是第三象限的角，得到cos 0，又sin ，所以cos ，则tan .3若是第三象限角，化简 .解是第三象限角，sin 0，由三角函数线可知1cos 0. .4求证：.证明左边右边原等式成立. 1同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22cos221，tan 8等都成立，理由是式子中的角为“同角”2已知角的某一种三角函数值，求角的
7、其余三角函数值时，要注意公式的合理选择一般是先选用平方关系，再用商数关系在应用平方关系求sin 或cos 时，其正负号是由角所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式3在三角函数的变换求值中，已知sin cos ，sin cos ，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值4在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法5在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：“1”的代换；减少三角函数的个数(化切为
8、弦、化弦为切等)；多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解一、基础达标1已知是第二象限角，sin ，则cos 等于 ()A BC. D.答案A解析利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算因为为第二象限角，所以cos .2已知sin ，则sin4cos4的值为()A B C. D.答案B解析sin4cos4sin2cos22sin2121.3已知2，则sin cos 的值是()A. B C. D答案C解析由题意得sin cos 2(sin cos )，(sin cos )24(sin cos )2，解得sin cos .4若
9、sin sin21，则cos2cos4等于()A0 B1 C2 D3答案B解析由sin sin21，得sin cos2cos2cos4sin sin21.5化简：sin2 sin2 sin2 sin2 cos2 cos2_.答案1解析原式sin2sin2(1sin2)cos2cos2sin2sin2cos2cos2cos2sin2cos2(sin2cos2)sin2cos21.6已知R，sin 2cos ，则tan _.答案3或解析因为sin 2cos ，又sin2cos21，联立解得或故tan ，或tan 3.7(1)化简；(2)用tan 表示，sin2sin cos 3cos2.解(1)|
10、cos 100|cos 100.(2)，sin2sin cos 3cos2.二、能力提升8已知tan 2，则sin2sin cos 2cos2等于()A B. C D.答案D解析sin2sin cos 2cos2，又tan 2，故原式.9已知sin cos ，则tan 的值为()A4 B4 C8 D8答案C解析tan .sin cos ，tan 8.10已知直线l的倾斜角是，且sin ，则直线l的斜率k_.答案解析因为直线l的倾斜角是，所以0，)又因为sin ，sin2cos21，所以cos ，于是直线l的斜率k.11已知，求下列各式的值(1)；(2)14sin cos 2cos2.解由已知，.解得：tan 2.(1)原式1.(2)原式sin24sin cos 3cos2.12求证：.证明方法一左边右边原式成立方法二，.原式成立三、探究与创新13已知sin cos ，其中0，求sin cos 的值解因为sin cos ，所以(sin cos )2，所以12sin cos ，所以sin cos .因为0且sin cos 0，cos 0.又因为(sin cos )212sin cos ，所以sin cos .