1、第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系专题复习检测A卷1(2019年东北三校联考)已知椭圆C：1(ab0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为()A1B1C1Dy21【答案】B【解析】由题意得解得椭圆C的方程为1.2(2019年福建福州模拟)抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线xy0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()Ay2x2By22xCx22yDy22x【答案】B【解析】由题意可知A，B两点中必有一点是原点，不妨设A(0,0)由P(1,1)是线段AB的中点，可得B(2,2)设抛物线方程为y2ax，
2、将B(2,2)代入，可得222a，解得a2，即抛物线方程为y22x.3若一个圆的圆心是抛物线x24y的焦点，且该圆与直线yx3相切，则该圆的标准方程是()A(x1)2y21Bx2(y1)21C(x1)2y22 Dx2(y1)22【答案】D【解析】抛物线x24y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2(y1)2r2(r0)该圆与直线yx3相切，r.该圆的标准方程是x2(y1)22.4(2019年上海嘉定区期末)过点P(1,1)作直线与双曲线x21交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样的直线()A存在一条，方程为2xy10B存在两条，方程为2x(y1)0C存在无数条D不存在
3、【答案】D【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，y1y22，xy1，xy1.两式相减，得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，所以x1x2(y1y2)，即kAB2.故所求直线方程为y12(x1)，即y2x1.联立化简得2x24x30，无解，故这样的直线不存在故选D5过椭圆1(ab0)的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点若向量与向量a(3，1)共线，则该椭圆的离心率为()ABCD【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(c,0)直线l的方程为yxc，联立化简得(a2b2)x22ca2xa2c2a2b20，x1x2，y1y2x1x22c
4、.向量.向量与向量a(3，1)共线，30，a23b2，e.故选B6(2019年江西南昌模拟)已知P(1,1)为椭圆1内一定点，经过P引一条弦交椭圆于A，B两点，且此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_【答案】x2y30【解析】易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y1k(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y，得(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0.x1x2.又x1x22，2，解得k.故此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.7双曲线C：y21的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2，且交双曲线C的右支于A，B两点(点A在点B上方)，若230，则直线l的
5、斜率k_.【答案】【解析】由题意知双曲线的焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：yk(x2)，代入双曲线方程，整理得(13k2)x212k2x12k230，x1x2，x1x2.230，x12x260.由可得k或k(舍去)8设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|_.【答案】8【解析】由题意，直线l的方程为x2，焦点F为(2,0)，设A点的坐标为(2，c)，则，解得c4.又PAl，P点的纵坐标为4.由(4)28x，得x6.|PF|x8.9已知M(3，y0)(y00)为抛物线C：y22
6、px(p0)上一点，F为抛物线C的焦点，且|MF|5.(1)求抛物线C的方程；(2)MF的延长线交抛物线于另一点N，求N的坐标【解析】(1)|MF|35，p4.抛物线方程为y28x.(2)由题意知MF不垂直于x轴，故设MF所在直线方程为yk(x2)，联立整理得k2x2(4k28)x4k20.xMxN4.xM3，xN.N为MF的延长线与抛物线的交点，可知yN0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_【答案】2【解析】如图，由，可得点A为BF1的中点又点O为F1F2的中点，所以OABF2.由0，可得BF1BF2，所以OABF1.因
7、为渐近线OA，OB的方程分别为yx，yx，所以直线BF1的斜率为.方法一：直线BF1的方程为y(xc)联立解得即A.联立解得即B.又由点A为BF1的中点，可得2，化简得b23a2，所以c2a2b24a2，e2.方法二：由直角三角形的性质可得BOF22BF1F2，所以tan BOF2tan 2BF1F2，即，化简得b23a2，以下同方法一14(2019年北京)已知抛物线C：x22py经过点(2，1)(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点【解析】(1)抛物线C：x22py经过点(2，1)，可得42p，即p2，所以抛物线C的方程为x24y，准线方程为y1.(2)证明：抛物线C：x24y的焦点为F(0，1)设直线l方程为ykx1(k0)由可得x24kx40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得x1x24k，x1x24.直线OM的方程为yx.令y1，得x，即A.同理可得B.设y轴上的点D(0，n)，则，则(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n1)20，则n1或3.综上所述，以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)和(0，3)- 7 -
