1、学业分层测评(十)第二章(建议用时：40分钟)学业达标一、选择题(每小题5分，共20分)1.梯形ABCD中，ABCD，若梯形不在平面内，则它在内的正射影是()A.平行四边形B.梯形C.一条线段D.一条线段或梯形【解析】当梯形所在的平面平行于投影线时，梯形在上的正射影是一条线段.当梯形所在的平面与投影线不平行时，梯形在上的正射影是一个梯形.【答案】D2.如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形，则下列结论正确的是()A.内心的平行射影还是内心B.重心的平行射影还是重心C.垂心的平行射影还是垂心D.外心的平行射影还是外心【解析】三角形的平行射影仍是三角形，但三角形的形状通常会发生变化，此时三角形的各
2、顶点、各边的位置也会发生变化，其中重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，射影前后相对的位置关系不变.【答案】A 3.圆锥的顶角为50，圆锥的截面与轴线所成的角为30，则截线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】由已知25，30，.故截线是椭圆，故选B.【答案】B4.设平面与圆柱的轴的夹角为(090)，现放入Dandelin双球使之与圆柱面和平面都相切，若已知Dandelin双球与平面的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为()A. B.C.D.【解析】Dandelin双球与平面的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径
3、恰好等于椭圆的短轴长，由题意知，2b2c.e.【答案】B二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为_.【导学号：61650026】【解析】圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以母线与轴线的夹角45；又截面与轴线的夹角30，即，截线是双曲线，其离心率e.【答案】6.一平面与圆柱面的母线成45角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面内切球的半径为_.【解析】由2a6，得a3，又ecos 45，cea3.b.圆柱面内切球的半径r.【答案】三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图217，
4、正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、D1C1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，画出空间四边形AEFG在该正方体的面DCC1D1上的正投影.图217【解】如图(1)，点A落在D点上，点G落在CC1的中点G上，点F在面DCC1D1上的正射影仍为点F，点E落在DD1的中点E上，擦去命名点，其图形如图(2)所示.8.已知点A(1，2)在椭圆1内，F的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P，使|PA|2|PF|最小.【解】如图所示，a216，b212，c24，c2.F为椭圆的右焦点，并且离心率为.设P到右准线的距离为d，则|PF|d，d2|PF|.|PA|2|PF|PA|d.由几何性质
5、可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|PA|d最小.把y2代入1，得x(x舍去).即点P(，2)为所求.能力提升9.在空间中，取直线l为轴.直线l与l相交于O点，夹角为.l绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面.任取平面，若它与轴l的交角为.试用Dandelin双球证明：当时，平面与圆锥的交线为抛物线.【证明】如图：设Dandelin球与圆锥面的交线为圆S.记圆所在的平面为，与的交线为m.在平面与圆锥面的交线上任取一点P，设平面与Dandelin球的切点为F，连PF.在平面中过P作m的垂线，垂足为A，过P作的垂线，垂足为B，连AB，则AB为PA在平面上的射影.显然，mAB，故PAB是平面与平面所成的二面角的平面角.在RtAPB中，APB.则PBPAcos 又设过点P的母线交圆S于点Q，则PQPF.在RtPBQ中，PBPQcos PBPFcos 由，得.因为，所以1.即曲线任一点P到定点F的距离恒等于P到定直线m的距离.故点P的轨迹为抛物线.