1、第三章测评(一)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆M:x2+y24=经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为()A.2B.22C.4D.42解析由椭圆M:x2+y24=经过点(1,2)可得=2,即椭圆的方程为x22+y28=1,则a=22,由椭圆的定义可知M上一点到两焦点的距离之和为2a=42.答案D2.(2020广东茂名期末)已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,4)C.(2,0)D.(4,0)解析因为点
2、P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,所以-p2=-2,得p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).答案C3.已知双曲线x29-y2m=1的一条渐近线的方程为y=23x,则双曲线的焦距为()A.13B.10C.213D.25解析由题意得m3=23,得m=4,则双曲线的焦距为29+m=213.答案C4.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为()A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=16C.(x-2)2+y2=16D.(x+2)2+y2=4解析根据题意,抛物线y2=4x,其焦点在x轴正半轴上且p=2,则其焦点F(1,0),准线方程为x=-1,
3、以F为圆心,且与l相切的圆的半径r=2,则该圆的方程为(x-1)2+y2=4.答案A5.设P是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上的点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率是43,且F1PF2=90,F1PF2的面积是7,则a+b是()A.3+7B.9+7C.10D.16解析由题意,不妨设点P是右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,则12mn=7,m-n=2a,m2+n2=4c2,ca=43,a=3,c=4,b=c2-a2=7,a+b=3+7.答案A6.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则
4、k等于()A.13B.223C.23D.23解析设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x10,x20,y10,y20.由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以x1x2=4,根据抛物线的定义得,|FA|=x1+p2=x1+2,|FB|=x2+2.因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2,由得x2=1(x2=-2舍去),所以B(1,22),代入y=k(x+2)得k=223.答案B7.我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(xbc0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点.若F0F1F2是边长为1的等边三
5、角形,则a,b的值分别为()A.72,1B.3,1C.5,3D.5,4解析|OF2|=b2-c2=12,|OF0|=c=3|OF2|=32,b=1,a2=b2+c2=74,得a=72,即a=72,b=1.答案A8.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线C2:x2-y24=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则()A.a2=132B.a2=13C.b2=12D.b2=2解析由题意,知a2-b2=5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立方程消去y,得(5a
6、2-5)x2+5a2-a4=0,所以直线截椭圆的弦长d=52a4-5a25a2-5=23a,解得a2=112,b2=12.答案C二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.当4,34时,方程x2sin +y2cos =1表示的轨迹可以是()A.两条直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析当4,34时,sin22,1,cos-22,22,可得方程x2sin+y2cos=1表示的曲线可以是椭圆(sin0,cos0),也可以是双曲线(sin0,cos0,b0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0
7、),则能使双曲线C的方程为x216-y29=1的是()A.离心率为54B.双曲线过点5,94C.渐近线方程为3x4y=0D.实轴长为4解析双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),可得c=5.如果离心率为54,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为x216-y29=1,故A正确;c=5,双曲线过点5,94,可得25=a2+b2,25a2-8116b2=1,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为x216-y29=1,故B正确;c=5,渐近线方程为3x4y=0,可得a2+b2=25,ba=34,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为x
8、216-y29=1,故C正确;c=5,实轴长为4,可得a=2,b=21,双曲线C的方程为x24-y221=1,故D不正确.答案ABC11.已知斜率为3的直线l经过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是()A.1|AF|+1|BF|=1B.|AF|=6C.|BD|=2|BF|D.F为AD的中点解析如图,Fp2,0,设A(xA,yA),B(xB,yB),由A,B分别向准线作垂线,交点为A,B,直线l的斜率为3,则直线方程为y=3x-p2,联立y2=2px,y=3x-p2,得12x2-20px+3
9、p2=0,解得xA=3p2,xB=p6.由|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=8p3=8,得p=3.所以抛物线方程为y2=6x.则|AF|=xA+p2=2p=6,故B正确;所以|BF|=2,1|AF|+1|BF|=23,故A错误;|BD|=|BF|cos60=4,则|BD|=2|BF|,故C正确;所以|AF|=|DF|=6,则F为AD的中点,故D正确.答案BCD12.如图,已知椭圆C1:x24+y2=1,过抛物线C2:x2=4y焦点F的直线交抛物线于M,N两点,连接NO,MO并延长分别交C1于A,B两点,连接AB,OMN与OAB的面积分别记为SOMN,SOAB.则下列说法正确的是()
10、A.若记直线NO,MO的斜率分别为k1,k2,则k1k2的大小是定值-14B.OAB的面积SOAB是定值1C.线段OA,OB长度的平方和|OA|2+|OB|2是定值4D.设=SOMNSOAB,则2解析F(0,1),设直线MN的方程为y=kx+1,M(x1,y1),N(x2,y2).联立方程组y=kx+1,x2=4y,消元得x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,x1x2=-4,y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,k1k2=y2x2y1x1=y1y2x1x2=-14,故A正确;设直线OA的方程为y=mx(m0),则直线OB的方程为y=-14mx,联立方
11、程组y=mx,x24+y2=1,解得x2=41+4m2,则A-21+4m2,-2m1+4m2,同理可得B21+14m2,-12m1+14m2,A到OB的距离d=21+4m2+8m21+4m21+16m2=2+8m21+4m21+16m2.又|OB|=41+14m2+14m21+14m2=16m2+14m2+1,SOAB=12|OB|d=1216m2+14m2+12+8m21+4m21+16m2=1,故B正确;又|OA|2=41+4m2+4m21+4m2=4+4m21+4m2,|OB|2=16m2+14m2+1,|OA|2+|OB|2=5+20m21+4m2=5,故C不正确;联立方程组y=mx,
12、x2=4y,可得x(x-4m)=0,故N(4m,4m2),|ON|=4mm2+1,同理可得M-1m,14m2,M到直线OA的距离h=-1-14m2m2+1=1+14m21+m2,SOMN=12|ON|h=2m1+14m2=2m+12m2,当且仅当2m=12m,即m=12时,等号成立.=SOMNSOAB=SOMN2,故D正确.答案ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.抛物线y2=2px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=.解析依题意,设抛物线的焦点为F,点Q的横坐标是x0(x00),则|QF|=x0+p2的最小值是p2=1,则p=2.答案214.若等轴双曲线C
13、的左顶点A,右顶点B分别为椭圆x2a2+1+y2=1(a0)的左、右焦点,点P是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=.解析依题意,椭圆x2a2+1+y2=1(a0)的左、右焦点分别为A(-a,0),B(a,0),所以以A,B分别为左、右顶点的等轴双曲线C的方程为x2-y2=a2.设双曲线上异于A,B的点P的坐标为(x,y)(xa),则直线PA,PB的斜率分别为k1=yx+a,k2=yx-a,所以k1k2=yx+ayx-a=y2x2-a2=1.答案115.已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点,直线y=bax交椭圆于A,B两点,若cosAFB=
14、13,则椭圆C的离心率是.解析如图,过点A作AM垂直x轴于点M,过点B作BN垂直x轴于点N,联立y=bax,b2x2+a2y2=a2b2,解得A22a,22b.|AM|=|BN|=22b,|MF|=c-22a,|NF|=c+22a.cosAFB=13,tanAFB=22.tanAFM=|AM|MF|,tanBFN=|BN|FN|,则tanAFB=tanAFM+tanBFN1-tanAFMtanBFN=22.即2b2c-22a+2b2c+22a=221-2b2c-22a2b2c+22a,化简得c2-bc-2b2=0,解得c=2b,故e=ca=cc2+b2=255.答案25516.如图,过抛物线y
15、2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若FC=3FB,则直线AB的方程为,|AB|=.解析抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,设C(-1,m),B(x1,-2x1),A(x2,2x2),FC=3FB,(-2,m)=3(x1-1,-2x1)=(3x1-3,-6x1),则有3x1-3=-2,m=-6x1,解得x1=13,m=-23,则C(-1,-23),则直线AB的斜率k=232=3,则直线AB的方程为y=3(x-1),即3x-y-3=0.将y=3(x-1)代入y2=4x得3x2-10x+3=0,得x1+x2=103,即|AB|=x1+x2+2=103+2
16、=163.答案3x-y-3=0163四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)设A,B分别是双曲线x225-y220=1的两渐近线上的动点,且|AB|=25,设O为坐标原点,动点P满足OP=OA+OB,求动点P的轨迹方程.解设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),动点P满足OP=OA+OB,x=x1+x2,y=y1+y2.A,B分别是双曲线x225-y220=1的两渐近线上的动点,令y1=255x1,y2=-255x2,x=x1+x2=52(y1-y2),y=y1+y2=255(x1-x2),|AB|=52y2+25x2=25,化简
17、可得动点P的轨迹方程为x225+y216=1.18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为23,左、右焦点分别为F1,F2,且过点P3,12.(1)求椭圆C的方程;(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若MF2=3F2N,求直线l的方程.解(1)由题意得c=3,焦点F1(-3,0),F2(3,0),2a=|PF1|+|PF2|=(3-3)2+12-02+(3+3)2+12-02=4,则a=2,b=a2-c2=1,故椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设直线l的方程为x=my+3(m0),代入椭圆方程得(m2+4)y
18、2+23my-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),=16(m2+1)0恒成立,由根与系数的关系可得y1+y2=-23mm2+4,y1y2=-1m2+4.由MF2=3F2N,得y1=-3y2,由可得m=22.故直线l的方程为2x-2y+23=0.19.(12分)(2020四川雅安期末)已知F1,F2分别是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当F1PF2=60时,PF1F2的面积为483,求此双曲线的方程.解(1)双曲线的渐近线方程为bxay=0,则点F2(c,0)到渐
19、近线的距离为|bc0|b2+a2=b(其中c是双曲线的半焦距),由题意知c+a=2b.又因为a2+b2=c2,解得b=43a,故所求双曲线的渐近线方程是4x3y=0.(2)因为F1PF2=60,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=4c2.又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4a2,-得|PF1|PF2|=4c2-4a2=4b2.根据三角形的面积公式得S=12|PF1|PF2|sin60=344b2=3b2=483,得b2=48
20、.再由(1)得a2=916b2=27,故所求双曲线方程是x227-y248=1.20.(12分)(2020山东烟台段考)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点A在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.(1)求抛物线的方程;(2)设l为过点(4,0)的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.(1)解抛物线y2=2px(p0)的焦点为Fp2,0,准线为x=-p2,由抛物线的定义可得,|AF|=4+p2=5,解得p=2,即抛物线的方程为y2=4x.(2)证明设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=my+4代入抛物线方程y2=4x
21、,可得y2-4my-16=0,=16m2+640恒成立,y1+y2=4m,y1y2=-16,x1x2=y124y224=16,即有x1x2+y1y2=0,则OAOB,则以AB为直径的圆必过坐标原点.21.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套的一个标志,为美观考虑,要求图中标记的三个区域面积彼此相等.已知:椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)面积为S椭圆=ab(1)求椭圆的离心率的值.(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合
22、适的坐标系,求出点M的轨迹方程.解(1)建立平面直角坐标系,如图.设外椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),内、外椭圆有相同的离心率,内椭圆的方程为y2b2+x2b4a2=1.图中标记的三个区域面积彼此相等,由对称性可知ab=3bb2a,即a2=3b2,则a2=3(a2-c2),e=63.(2)同(1)建立平面直角坐标系,由于外椭圆长轴长为6,a=3,又e=63,c=6,b2=3.则外椭圆方程为x29+y23=1.当两切线不与坐标轴垂直时,设点M(x0,y0),切线方程分别为y-y0=k1(x-x0),y-y0=k2(x-x0),切线统一记为y-y0=k(x-x0),代入椭圆方程得(1
23、+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-9=0.直线y-y0=k(x-x0)与椭圆x29+y23=1相切,=36k2(y0-kx0)2-4(1+3k2)3(y0-kx0)2-9=0.化简得(x0-9)k2-2x0y0k+y02-3=0,则方程的两根为k1,k2.两条切线互相垂直,k1k2=-1,即y02-3x02-9=-1,即x02+y02=12(x03).当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,3),(-3,3)也满足方程,轨迹方程为x2+y2=12.22.(12分)给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),称圆心在原点O,半径为a2+b2的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆
24、C的离心率为22,点(2,2)在C上.(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”的方程;(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“卫星圆”于点M,N(异于点P).求证:弦长|MN|为定值.(1)解由条件可得ca=22,4a2+2b2=1,解得a=22,b=2,所以椭圆的方程为x28+y24=1,其“卫星圆”的方程为x2+y2=12.(2)证明当l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设l1斜率不存在,因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=22或x=-22,当l1方程为x=22时,此时l1与“卫星圆”交于点(22,2
25、)和(22,-2),此时经过点(22,2)或(22,-2)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=2或y=-2,即l2为y=2或y=-2,所以l1l2,所以线段MN应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=43.当l1,l2的斜率都存在时,设点P(x0,y0),其中x02+y02=12,设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线分别为y=t1(x-x0)+y0,y=t2(x-x0)+y0,统一记为y=t(x-x0)+y0,联立方程组y=tx+(y0-tx0),x28+y24=1,消去y,整理得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0,所以=(64-8x02)t2+16x0y0t+32-8y02=0,则方程的两根为t1,t2,所以t1t2=32-8y0264-8x02=32-8(12-x02)64-8x02=-1,满足条件的两直线l1,l2垂直.所以线段MN应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=43.综合知,弦长|MN|为定值43.12