1、1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 ana1(n1)d.3.等差中项由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*).(2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 akalaman.(3)若an是等差数列，公差为 d，则a2n也
2、是等差数列，公差为 2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列.(5)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列.(6)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列.5.等差数列的前 n 项和公式设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和 Snna1an2或 Snna1nn12d.6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Snd2n2a1d2 n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数).7.等差数列的前 n 项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则 Sn 存在最大值；若 a10，则 Sn 存在最小
3、值.【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d 是常数)an是等差数列.(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列.(3)通项公式：anpnq(p，q 为常数)an是等差数列.(4)前 n 项和公式：SnAn2Bn(A，B 为常数)an是等差数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()(2)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的.()(3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数.()(4)已知等差数列an的通项公式 an32n，则它的公
4、差为2.()1.(教材改编)设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若 a33，S9S627，则该数列的首项 a1_.答案 35解析 由a12d3，9a136d6a115d27，得a12d3，a17d9，解得 a135.2.(教材改编)已知五个数成等差数列，它们的和为 5，平方和为859，则这五个数的积为_.答案 3581解析 设第三个数为 a，公差为 d，则这五个数分别为 a2d，ad，a，ad，a2d，由已知条件得a2dadaada2d5，a2d2ad2a2ad2a2d2859，解得a1，d23.所求 5 个数分别为13，13，1，53，73或73，53，1，13，13.故它们的积为358
5、1.3.(2016全国乙卷)已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则 a100_.答案 98解析 由等差数列性质，知 S99a1a9292a529a527，得 a53，而 a108，因此公差 da10a5105 1，a100a1090d98.4.设数列an是等差数列，若 a3a4a512，则 a1a2a7_.答案 28解析 a3a4a53a412，a44，a1a2a77a428.5.若等差数列an满足 a7a8a90，a7a103)，Sn100，则 n 的值为_.答案 10解析 由 SnSn351，得 an2an1an51，所以 an117，又 a23，Snna2an12100，解
6、得 n10.7.(2015安徽)已知数列an中，a11，anan112(n2)，则数列an的前 9 项和等于_.答案 27解析 由题意知数列an是以 1 为首项，以12为公差的等差数列，S991982 1291827.8.已知数列an中，a11 且 1an11an13(nN*)，则 a10_.答案 14解析 由已知得 1a101a1(101)13134，故 a1014.9.设数列an的通项公式为 an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.答案 130解析 由 an2n10(nN*)知an是以8 为首项，2 为公差的等差数列，又由 an2n100，得 n5，当 n5 时，an0，当 n
7、5 时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.10.设等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意自然数 n 都有SnTn2n34n3，则a9b5b7a3b8b4的值为_.答案 1941解析 an，bn为等差数列，a9b5b7a3b8b4 a92b6 a32b6a9a32b6 a6b6.S11T11a1a11b1b112a62b6211341131941，a9b5b7a3b8b41941.11.(2016苏州暑假测试)已知数列an满足 a11，a212，且 an(an1an1)2an1an1(n2)，则 a2 016_.答案 12
8、 016解析 由 an(an1an1)2an1an1(n2)得 1an1 1an1 2an(n2)，又 a11，a212，所以数列 1an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列.所以1ann，即 an1n，所以 a2 01612 016.12.若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a112.(1)求证：数列1Sn 是等差数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明 当 n2 时，由 an2SnSn10，得 SnSn12SnSn1，所以1Sn 1Sn12，又 1S11a12，故1Sn 是首项为 2，公差为 2 的等差数列.(2)解 由(1)可得1Sn2n，Sn 1
9、2n.当 n2 时，anSnSn1 12n12n1n1n2nn112nn1.当 n1 时，a112不适合上式.故 an12，n1，12nn1，n2.*13.已知数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且满足 2Sna2nn4(nN*).(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明 当 n1 时，有 2a1a2114，即 a212a130，解得 a13(a11 舍去).当 n2 时，有 2Sn1a2n1n5，又 2Sna2nn4，两式相减得 2ana2na2n11，即 a2n2an1a2n1，也即(an1)2a2n1，因此 an1an1 或 an1an1.若 an
10、1an1，则 anan11.而 a13，所以 a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾，所以 an1an1，即 anan11，因此数列an是首项为 3，公差为 1 的等差数列.(2)解 由(1)知 a13，d1，所以数列an的通项公式 an3(n1)1n2，即 ann2.14.(2016苏北四市摸底)已知数列an满足 2an1anan2k(nN*，kR)，且 a12，a3a54.(1)若 k0，求数列an的前 n 项和 Sn；(2)若 a41，求数列an的通项公式.解(1)当 k0 时，2an1anan2，即 an2an1an1an，所以数列an是等差数列.设数列an的公差为 d，则a12，2
11、a16d4，解得a12，d43.所以 Snna1nn12d2nnn12(43)23n283n.(2)由题意得 2a4a3a5k，即24k，所以 k2.当 n1 时，2a2a1a32，当 n2 时，2a3a2a42，所以 a42a3a223a22a161，所以 a23,由 2an1anan22，得(an2an1)(an1an)2，所以数列an1an是以 a2a11为首项，2 为公差的等差数列，所以 an1an2n3.当 n2 时，有 anan12(n1)3，于是 an1an22(n2)3，an2an32(n3)3，a3a2223，a2a1213，叠加得，ana1212(n1)3(n1)(n2)，所以 an2nn123(n1)2n24n1(n2).又当 n1 时，a12 也适合上式.所以数列an的通项公式为 ann24n1，nN*.