1、第3章不等式3.2基本不等式(a,b0)3.2.1基本不等式的证明3.2.2基本不等式的应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.设a,b为正数,且a+b4,则下列各式正确的是()A.1B.1C.0,y0,且=1,则xy有()A.最大值64B.最小值C.最小值D.最小值64答案D解析由题意xy=xy=2y+8x2=8,8,当且仅当x=4,y=16时,等号成立,故xy有最小值64.3.(2020黑龙江尖山双鸭山一中高二开学考试)下列说法正确的是()A.x+的最小值是4B.的最小值是2C.若0xbc2,那么ab答案D解析对于A,当x0时,x+的值小于0,故A不正确;对于B,2,当且仅当=1时,等号成立,
2、这样的x不存在,故最小值不为2,故B不正确;对于C,0x0,x(1-x)2=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,故C不正确;对于D,ac2bc2,c20,ab,故D正确.故选D.4.(2020陕西新城西安中学高三月考)设a0,b0,且不等式0恒成立,则实数k的最小值等于()A.0B.4C.-4D.-2答案C解析由0,得k-.因为+24(当且仅当a=b时,等号成立),所以-4.要使k-恒成立,应有k-4,即实数k的最小值等于-4.故选C.5.若a0,b0,且,则a3+b3的最小值为.答案4解析a0,b0,2,即ab2,当且仅当a=b=时,等号成立.a3+b322=4,当且仅当a=b=时,等
3、号成立.则a3+b3的最小值为4.6.已知0x0,a恒成立,则实数a的取值范围是.答案,+解析因为x0,所以x+2,当且仅当x=1时,等号成立.所以,当且仅当x=1时,等号成立.即的最大值为,故a.8.(1)已知x3,求y=+x的最大值;(2)已知x,y是正实数,且x+y=4,求的最小值.解(1)x3,x-30,y=+x=+(x-3)+3=-+(3-x)+3-2+3=-1,当且仅当=3-x,即x=1时,等号成立.f(x)的最大值为-1.(2)x,y是正实数,(x+y)=4+4+2,当且仅当,即x=2(-1),y=2(3-)时,等号成立.又x+y=4,1+,当且仅当x=2(-1),y=2(3-)
4、时,等号成立.故的最小值为1+.关键能力提升练9.若-4x1,则y=()A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-1答案D解析y=(x-1)+.-4x1,x-10,y0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为()A.16B.25C.9D.36答案B解析(1+x)(1+y)2=2=2=25,当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,等号成立.故(1+x)(1+y)的最大值为25.故选B.11.已知a0,b0,若不等式恒成立,则m的最大值为()A.10B.12C.16D.9答案D解析由已知a0,b0,若不等式恒成立,则m(a+b)恒成立.问题转化成求y=(a+b)的最小值,y
5、=(a+b)=5+5+2=9,当且仅当a=2b0时,等号成立.所以m9.故选D.12.(2020浙江西湖学军中学高一月考)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,的最大值为()A.0B.3C.D.1答案D解析正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,z=x2-3xy+4y2.=1,当且仅当x=2y0时,等号成立,此时z=2y2.=-12+11,当且仅当y=1时,等号成立.即的最大值是1.故选D.13.某工厂生产某种产品,第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则()A.x=B.xC.xD.x答案
6、B解析由题意得,A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2,因为(1+a)(1+b)2,所以1+x=1+,所以x,当且仅当a=b时,等号成立.故选B.14.(多选)下列不等式一定成立的是()A.x2+x(x0)B.x+2(x0)C.x2+12|x|(xR)D.1(xR)答案BC解析对于A,当x=时,x2+=x,所以A不一定成立;对于B,当x0时,x+2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B一定成立;对于C,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)20,即x2+12|x|恒成立,所以C一定成立;对于D,因为x2+11,所以00,b0,且a+b=1,1=a+b2,a
7、b,当且仅当a=b=时,等号成立.ab有最大值,A错误.()2=a+b+2=1+21+2=2,当且仅当a=b=时,等号成立.所以有最大值,B错误.1,当且仅当a=b=时,等号成立.有最小值1,C正确.a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-2,当且仅当a=b=时,等号成立.a2+b2的最小值是,不是,D错误.16.(多选)(2020重庆万州第二高级中学月考)若a,b,cR,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是()A.a+b+cB.(a+b+c)23C.2D.a2+b2+c21答案BD解析由基本不等式可得a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,上述三个不等式全部相加
8、得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca)=2,a2+b2+c21,当且仅当a=b=c时,等号成立.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3,a+b+c-或a+b+c.若a=b=c=-,则=-30,y0,且=2,则2x+y的最小值为.答案7解析由=2,可得2x+y=2(x+1)+y-2=2(x+1)+y-2=10+-210+2-2=7,当且仅当,即x=,y=6时,等号成立.故2x+y的最小值为7.19.已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1.求证:a+b+c2(a+b+c),即a+b+c,所以a+b+c.20.(1)若x0,求y=的最大值.解(1)因为x0.所以
9、y=2x+1+=2(x-3)+7=-2(3-x)+7.由基本不等式可得2(3-x)+2,当且仅当2(3-x)=,即x=3-时,等号成立.所以-2(3-x)+-2,所以y=2x+1+=-2(3-x)+77-2,当且仅当x=3-时,等号成立.故y=2x+1+的最大值是7-2.(2)y=.因为x0,所以x+2=2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立.所以01,即00)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a0.(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.解(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)1.5500,整理得x2-300x0,解得0x300.又x0,故00,a+1.5恒成立.又4,当且仅当x=250时,等号成立,0a5.5,即a的最大值为5.5.