1、第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1函数的单调性与最值课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)(2021山东潍坊高一调研)下列四个函数在定义域上单调递减的是()A.f(x)=-2x+1B.f(x)=C.f(x)=x+1D.f(x)=2x2(x0)答案AD解析根据一次函数的性质,可得函数f(x)=-2x+1为减函数,故A符合题意;函数f(x)=在区间(-,0)和(0,+)上单调递减,在定义域(-,0)(0,+)上不是单调函数,不符合题意;根据一次函数的性质,可得函数f(x)=x+1为增函数,不符合题意;根据二次函数的性质,可得函数f(x)=2x2在区间(-,0)上单调递减,符合
2、题意.故选AD.2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是()A.(-,1)B.(1,+)C.(-,2)D.(2,+)答案B解析易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为x=1,所以其单调递减区间是(1,+).3.(2021吉林实验中学高一期中)定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2R(x1x2),有0,则()A.f(3)f(2)f(1)B.f(1)f(2)f(3)C.f(2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)f(2)答案A解析定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2R(x1x2),有0,则函数f(x)在R上单调递减.123,f(3)f(2)f,则a
3、的取值范围是()A.-,B.C.,+D.答案D解析根据题意,f(x)是定义在0,+)上的减函数,若f(2a-1)f,则有02a-1,解得a0,在其定义域内,下列函数为增函数的是.(填序号)y=a+f(x)(a为常数);y=a-f(x)(a为常数);y=;y=f(x)2.答案解析f(x)在定义域内是减函数,且f(x)0时,-f(x),均为增函数,故选.7.(2020北京丰台高一期中)已知函数f(x)的图象如图所示,根据图象有下列三个结论:函数f(x)在定义域上是增函数;函数f(x)在定义域上不是增函数,但有单调递增区间;函数f(x)的单调递增区间是(a,b)(b,c).其中所有正确的结论的序号有
4、.答案解析由题意以及函数的图象可知,函数f(x)在定义域上不是增函数,所以不正确;函数f(x)在定义域上不是增函数,但有单调递增区间,所以正确;函数f(x)的单调递增区间是(a,b),(b,c),不能写成(a,b)(b,c),所以不正确.8.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x-2,+)时,f(x)单调递增,当x(-,-2)时,f(x)单调递减,则m=,f(1)=.答案-813解析函数f(x)在区间(-,-2)上单调递减,在区间-2,+)上单调递增,x=-2,m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.f(1)=13.9.证明函数f(x)=-在定义域上为减函数.证明函数f(x)=-的定义域为0
5、,+).x1,x20,+),且x1x2,f(x2)-f(x1)=(-)-(-)=.x1-x20,f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1).函数f(x)=-在定义域0,+)上为减函数.关键能力提升练10.(2021陕西榆林高二期末)已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x22,+),且x10,则实数a的取值范围是()A.,+B.,+C.,+D.,+答案C解析由任意x1,x22,+),且x10,得函数f(x)在2,+)上单调递增.又函数f(x)为二次函数,故其图象开口向上,且对称轴在区间2,+)的左侧,即解得a.故选C.11.(2021黑龙江龙凤校级期末)函数f(x)对于任意xR,恒
6、有f(x)f,那么()A.f(x)可能不存在单调区间B.f(x)是R上的增函数C.f(x)不可能有单调区间D.f(x)一定有单调区间答案A解析根据题意,函数f(x)对于任意xR,恒有f(x)f,则f(x)可以为f(x)=满足f(x)f,不是增函数,没有单调区间.f(x)也可以为f(x)=x,满足f(x)f,是增函数,单调递增区间为R.则f(x)可能存在单调区间,也可能不存在单调区间,故A正确,B,C,D错误.故选A.12.(多选题)(2021湖北荆州沙市中学高一期中)在下列函数中,满足“x1,x2(0,+),都有0”的有()A.f(x)=|x-1|B.f(x)=-5x+1C.f(x)=x2+4
7、x+3D.f(x)=答案BD解析因为x1,x2(0,+),都有0,故f(x)在(0,+)上单调递减.函数f(x)=|x-1|在(1,+)上单调递增,故A错误;f(x)=-5x+1在(0,+)上单调递减,故B正确;函数f(x)=x2+4x+3的对称轴x=-20,故f(x)=x2+4x+3在(0,+)上单调递增,故C错误;函数f(x)=在(0,+)上单调递减,故D正确.13.(多选题)下列函数在R上是增函数的是()A.y=|x|B.y=xC.y=x2D.y=答案BD解析选项A,y=|x|,当x0时单调递减,不符合题意;选项B,显然在R上是增函数,符合题意;选项C,y=x2,当x1),则该函数的()
8、A.最大值为-3B.最小值为1C.没有最小值D.最小值为-3答案AC解析因为x1,所以1-x0),下面证明g(x)在(0,1)上单调递减,在1,+)上单调递增,任取x1,x2(0,1),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=+x1-+x2=+(x1-x2)=.0x1x21,x1x2-10,x1-x20,0,即f(x1)f(x2),故函数g(x)在(0,1)上单调递减,同理可证函数g(x)在1,+)上单调递增.故知h(x)=+x-1在(1,2)上单调递减,在2,+)上单调递增.所以y=-+x-1-1在(1,2)上单调递增,在2,+)上单调递减,当x=2时,函数取得最大值为-3,没有最小值.故选A
9、C.15.(2021山东滕州第一中学高一月考)函数f(x)=|x+2|+1的单调递减区间为;函数g(x)=若g(x)是定义在R上的减函数,则实数k的值为.答案(-,-2)-2解析由f(x)=|x+2|+1,得f(x)=所以f(x)的单调递减区间为(-,-2).因为g(x)=在R上为减函数,所以y=|x+2|+1在(-,k)上单调递减,y=kx-3在k,+)上单调递减,所以即k=-2.16.(2021上海杨浦中学高一期末)已知函数f(x)=x2-3(x0).(1)判断函数的单调性,并证明;(2)用函数观点解不等式:f(x)0.解(1)f(x)在(0,+)上单调递增.证明如下:任取x1,x2(0,
10、+),且x1x2,即x1x20,f(x1)-f(x2)=-3-3=()+=(x1-x2)(x1+x2)+=(x1-x2)x1+x2+,因为x1x20,则x1-x20,x1+x2+0,则f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)=x2-3在区间(0,+)上单调递增.(2)由(1)可知函数f(x)=x2-3在区间(0,+)上单调递增,且f(2)=0,因此由f(x)0=f(2)可得x2.因此不等式f(x)0的解集为(2,+).17.(2020湖南长沙月考)已知函数f(x)=ax+的图象经过点A(1,0),B.(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)在(0,+)上的
11、单调性并用定义证明;(3)求f(x)在区间上的最值.解(1)f(x)的图象过A(1,0),B,解得f(x)=-x+.(2)函数f(x)=-x+在(0,+)上为减函数.证明如下:设任意x1,x2(0,+),且x10,x1x2+10.由x10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).函数f(x)=-x+在(0,+)上为减函数.(3)由(2)知,函数f(x)=-x+上为减函数,f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f.故f(x)在区间上的最小值为0,最大值为.学科素养创新练18.(2021安徽蚌埠高一期末)在x-2,2,x1,3这两个条件中任选一个,补充到下面问题的横线中,并求解该
12、问题.已知函数f(x)=x2+ax+4.(1)当a=-2时,求f(x)在-2,2上的值域;(2)若,f(x)0,求实数a的取值范围.解(1)当a=-2时,f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,则f(x)在-2,1)上单调递减,在(1,2上单调递增,f(x)min=f(1)=3,f(-2)=12,f(2)=4,故f(x)的值域为3,12.(2)选择条件:若a4,则f(x)在-2,2上单调递增,f(x)min=f(-2)=8-2a0,解得a4.又a4,a=4.若-4a4,则f(x)在-2,-上单调递减,在-,2上单调递增,f(x)min=f-=4-0,解得-4a4.若a-4,则f(x)在-2,2上单调递减,f(x)min=f(2)=8+2a0,解得a-4.又a-4,a=-4.综上所述,a的取值范围是-4,4.选择条件:x1,3,f(x)0,f(x)max0,即f(1)0或f(3)0,解得a-5或a-.a-5,即a的取值范围为-5,+).9
