1、三反证法与放缩法1掌握用反证法证明不等式的方法(重点)2了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式(难点、易错易混点)基础初探教材整理1反证法阅读教材P26P27“例2”及以上部分，完成下列问题先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法如果两个正整数之积为偶数，则这两个数()A两个都是偶数B一个是奇数，一个是偶数C至少一个是偶数D恰有一个是偶数【解析】假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数
2、，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数【答案】C教材整理2放缩法阅读教材P28P29“习题”以上部分，完成下列问题证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法若|ac|h，|bc|h，则下列不等式一定成立的是() 【导学号：32750039】A|ab|2hB|ab|2hC|ab|hD.|ab|h【解析】|ab|(ac)(bc)|ac|bc|2h.【答案】A质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型利用反证法证“至多”“至少”型命题已知f(
3、x)x2pxq，求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.【精彩点拨】(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论【自主解答】(1)由于f(x)x2pxq，f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则有|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.(*)又|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)(84p2q)2，|f(1)|2|f(2)|f(3)|2
4、与(*)矛盾，假设不成立故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.1在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立2在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾再练一题1已知实数a，b，c，d满足abcd1，acbd1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数【证明】a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a，b，c，d都是非负数即a0，b0，c0，d0，则1(ab)(cd)(acbd)(adbc)acbd.这与已知中a
5、cbd1矛盾，原假设错误，故a，b，c，d中至少有一个是负数即a，b，c，d中至多有三个是非负数.利用放缩法证明不等式已知an2n2，nN*，求证：对一切正整数n，有.【精彩点拨】针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项【自主解答】当n2时，an2n22n(n1)，111，即.1放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换2放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略再练一题2求证：12(n2，nN)【证明】k2k(k1)，(kN，且k2)分别令k2,3
6、，n得1，.因此11112.故不等式12(n2，nN)探究共研型利用反证法证明不等式探究1反证法的一般步骤是什么？【提示】证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论探究2反证法证题时常见数学语言的否定形式是怎样的？【提示】常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设有：常见词语至少有一个至多有一个唯一一个是有或存在全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个或两个以上不是不存在不全不都是已知ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：B90.【精彩点拨】本题中的条件是三边间的关系，而要证明的是B与90的大小关系结论与条件之
7、间的关系不明显，考虑用反证法证明【自主解答】a，b，c的倒数成等差数列，.假设B90不成立，即B90，则B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，ba0，bc0，这与相矛盾假设不成立，故B90成立1本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“B90”作为条件进行推证是关键要注意否定方法，“”否定为“”，“”否定为“”等2利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论再练一题3若a3b32，求证：ab2. 【导学号：32750040】【证明】法一假设ab2，a2abb2b20，故取等号的条件为ab0，显然不成立，a2abb20.则a3b3(ab)
8、(a2abb2)2(a2abb2)，而a3b32，故a2abb2a2b22ab，从而ab1，a2b21ab2，(ab)2a2b22ab22ab4，ab2，则a2b，故2a3b3(2b)3b3，即2812b6b2，即(b1)22，则(ab)3a3b33ab(ab)8.由a3b32，得3ab(ab)6，故ab(ab)2.又a3b3(ab)(a2abb2)2，ab(ab)(ab)(a2abb2)，a2abb2ab，即(ab)22.求证：2和2中至少有一个成立【证明】假设2和0且y0，所以1x2y，且1y2x，两式相加，得2xy2x2y，所以xy2，这与已知条件xy2矛盾，因此2和ND.MN【解析】依
9、题意易知1a,1b,1cR，由均值不等式知(1a)(1b)(1c)，(1a)(1b)(1c)，从而有(1b)(1c)，即MN，当且仅当abc时，取等号故选A.【答案】A5设x，y，z都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数()A至少有一个不大于2B都小于2C至少有一个不小于2D都大于2【解析】abcxyz2226，当且仅当xyz1时等号成立，a，b，c三者中至少有一个不小于2.【答案】C二、填空题6若要证明“a，b至少有一个为正数”，用反证法的反设应为_. 【导学号：32750042】【答案】a，b中没有任何一个为正数(或a0且b0)7lg 9lg 11与1的大小关系是_【解析】lg
10、90，lg 110，1，lg 9lg 111.【答案】lg 9lg 1118设M，则M与1的大小关系为_【解析】2101210,2102210，2111210，M1.【答案】M1三、解答题9若实数a，b，c满足2a2b2ab,2a2b2c2abc，求c的最大值【解】2ab2a2b2，当且仅当ab时，即2ab4时取“”，由2a2b2c2abc，得2ab2c2ab2c，2c11，故clog22log23.10已知nN，求证：.【证明】k12n，Sn(352n1)(n22n).能力提升1否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为()Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至
11、少有两个偶数Da，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【解析】三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合【答案】D2设x，y都是正实数，且xy(xy)1，则()Axy2(1) Bxy1Cxy(1)2D.xy2(1)【解析】由已知(xy)1xy，(xy)24(xy)40.x，y都是正实数，x0，y0，xy222(1)【答案】A3已知a2，则loga(a1)loga(a1)_1(填“”“”或“”)【解析】a2，loga(a1)0，loga(a1)0.又loga(a1)loga(a1)，而loga(a21)logaa21，loga(a1)loga(a1)1.【答案】4已知数列an满足a12，an12an(nN), 【导学号：32750043】(1)求a2，a3，并求数列an的通项公式；(2)设cn，求证：c1c2c3cn.【解】(1)a12，an12an(nN)，a222a116，a32a272.又2，nN，为等比数列2n12n，ann22n.(2)证明：cn，c1c2c3cn，所以结论成立