1、第五章计数原理4二项式定理4.2二项式系数的性质课后篇巩固提升合格考达标练1.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于()A.11B.10C.9D.8答案D解析只有第5项的二项式系数最大,n2+1=5.n=8.2.(a+b)n二项展开式中与第r-1项系数相等的项是()A.第(n-r)项B.第(n-r+1)项C.第(n-r+2)项D.第(n-r+3)项答案D解析因为第(r-1)项的系数为Cnr-2=Cnn-r+2,所以第(n-r+3)项与第(r-1)项的系数相等.3.若x+1xn展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为()A.10B.20C.30D.120答案B解析由
2、2n=64,得n=6,则Tk+1=C6kx6-k1xk=C6kx6-2k(0k6,kN).由6-2k=0,得k=3.则T4=C63=20.4.若(x+3y)n的展开式的系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和,则n的值为()A.5B.8C.10D.15答案A解析(7a+b)10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n=210,解得n=5.5.若3x-13x2n的二项式系数之和为128,则展开式中含1x3的项是()A.7x3B.-7x3C.21x3D.-21x3答案C解析由3x-13x2n的二项式系数之和为128可得2n=128,n=7.其通项Tk+1=C7k
3、(3x)7-k-13x2k=(-1)kC7k37-kx7-5k3,令7-5k3=-3,解得k=6,此时T7=21x3.6.已知Cn0+2Cn1+22Cn2+2nCnn=729,则Cn1+Cn3+Cn5的值等于()A.64B.32C.63D.31答案B解析由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6.则Cn1+Cn3+Cn5=C61+C63+C65=32.7.设(2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a10(x-1)10,则a0+a1+a2+a3+a10=.答案1解析令x=2,则(22-3)10=a0+a1+a2+a10,所以a0+a1+a10=1.8.已知(2x-1)5=a0
4、x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求:(1)a0+a1+a2+a3+a4+a5;(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;(3)a1+a3+a5.解(1)令x=1,得(21-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,a0+a1+a2+a3+a4+a5=1.(2)(2x-1)5的展开式中偶数项的系数为负值,|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.令x=-1,得2(-1)-15=-a0+a1-a2+a3-a4+a5,即a0-a1+a2-a3+a4-a5=-(-3)5=35.则|a0|+|a1|+|a2
5、|+|a3|+|a4|+|a5|=35=243.(3)由两式联立,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=243,则a1+a3+a5=12(1-243)=-121.9.若(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+a10y10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解(1)各项系数之和即为a0+a1+a2+a10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a0+a1+a2+a10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为a0+a2+a4+a10,偶数项系数的和为a1+a3+a5+a9.由(1)知a0+a1+a
6、2+a10=1,令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+a10=510,+得,2(a0+a2+a10)=1+510,则奇数项系数的和为1+5102;-得,2(a1+a3+a9)=1-510,则偶数项系数的和为1-5102.等级考提升练10.(1+x)n(3-x)的展开式中各项系数的和为1 024,则n的值为()A.8B.9C.10D.11答案B解析由题意知(1+1)n(3-1)=1024,即2n+1=1024,故n=9.11.若(1-2x)2 016=a0+a1x+a2 016x2 016(xR),则a12+a222+a201622016的值为()A.2B.0C.-1D.-2答案C解析令
7、x=0,则a0=1,令x=12,则a0+a12+a222+a201622016=0,故a12+a222+a201622016=-1.12.(x+1)9按x的升幂排列二项式系数最大的项是()A.第4项和第5项B.第5项C.第5项和第6项D.第6项答案C解析展开式中共有10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大.13.x+1xn的展开式中第8项是常数项,则展开式中系数最大的项是()A.第8项B.第9项C.第8项、第9项D.第11项、第12项答案D解析x+1xn展开式中的第8项为Cn7(x)n-71x7为常数,即n-212=0,解得n=21.故
8、展开式中系数最大的项为第11项、第12项.14.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(nN*)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于()A.26B.27C.7D.8答案D解析第3次出现全行为1,这说明杨辉三角中这一行全是奇数,即Cnr(r=0,1,2,n)是奇数,经验证可知,第3次出现全行为1时,1的个数为8.15.如图数表满足:(1)第n行首尾两数均为n;(2)图中的递推关系类似杨辉三角,则第n(n2)行的第2个数是.答案n2-n+22解析由题图可知,第n(n2)行的第2个数是第(n-1)行第1个数跟第2个数的和,
9、即a2=2,a3=a2+2=2+2=4,a4=a3+3=4+3=7,.则an=2+2+3+4+5+n-1=1+(n-1)(1+n-1)2=n2-n+22.16.若(2x+3)4=a0+a1x+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为.答案1解析令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2+3)4,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+3)4,(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+3)4(-2+3)4=1.17.已知(3x2+3x2)n的展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.求:
10、(1)展开式中二项式系数最大的项;(2)展开式中系数最大的项.解令x=1得展开式各项系数和为(1+3)n=4n.展开式二项式系数和为Cn0+Cn1+Cnn=2n,由题意有4n-2n=992.即(2n)2-2n-992=0,(2n-32)(2n+31)=0,解得n=5.(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项,它们是T3=C52(3x2)3(3x2)2=90x6,T4=C53(3x2)2(3x2)3=270x223.(2)设展开式中第k+1项的系数最大.由Tk+1=C5k(3x2)5-k(3x2)k=C5k3kx10+4k3,得C5k3kC5k-13k-1,C5
11、k3kC5k+13k+13k16-k,15-k3k+172k92.因为kZ,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T5=C5434x263=405x263.新情境创新练18.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m,k(m,kN*)的数字公式表示上述结论,并给予证明.解(1)C203=1140.(2)Cm-1m-1+Cmm-1+Cm+k-2m-1=Cm+k-1m,证明如下:左边=Cmm+Cmm-1+Cm+k-2m-1=Cm+1m+Cm+1m-1+Cm+k-2m-1=Cm+k-2m+Cm+k-2m-1=Cm+k-1m=右边.5