1、第三章空间向量与立体几何4向量在立体几何中的应用4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系第2课时空间中的距离问题课后篇巩固提升合格考达标练1.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于()A.4B.2C.3D.1答案B解析点P到平面OAB的距离为d=|OPn|n|=|-2-6+2|9=2.2.已知直线l过点A(1,-1,2),和l垂直的一个向量为n=(-3,0,4),则点P(3,5,0)到l的距离为()A.145B.2C.3D.125答案A3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2
2、2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为()A.2B.3C.2D.1答案D解析如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,22),E(0,2,2),DB=(2,2,0),DE=(0,2,2),易知AC1平面BED.设n=(x,y,z)是平面BED的法向量.则nDB=2x+2y=0,nDE=2y+2z=0.取y=1,则n=(-1,1,-2)为平面BED的一个法向量.又DA=(2,0,0),所以点A到平面BDE的距离是d=|nDA|n|=|-12+0+0|
3、(-1)2+12+(-2)2=1.故直线AC1到平面BED的距离为1.4.如图,点C在圆锥PO的底面圆O上,AB是直径,AB=8,BAC=30,圆锥的母线与底面成的角为60,则点A到平面PBC的距离为()A.855B.26C.8515D.15答案C解析如图,过点O作AB的垂线Ox,以Ox,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,由题意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),C(-23,2,0),P(0,0,43),CB=(23,2,0),BP=(0,-4,43).设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则mCB=0,mBP=0,所以23x+2y=0,-4y+43z=0,
4、取y=3,所以m=(-1,3,1).因为AP=(0,4,43),所以d=|APm|m|=835=8515,所以点A到平面PBC的距离为8515.5.若O为坐标原点,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()A.1652B.214C.53D.532答案D解析OP=12(OA+OB)=12(4,3,6)=2,32,3,OC=(0,1,0),PC=OC-OP=-2,-12,-3,|PC|=4+14+9=532.6.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为.答案13
5、5解析如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0),点P到直线BD的距离d=|PB|2-PBBD|BD|2=10-952=135,点P到直线BD的距离为135.7.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=3,在ABC中,ACB=90,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为.答案32解析如图所示,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,3),B1(0,1,3),C1(0,0,3),A1
6、B=(-1,1,-3),A1C=(-1,0,-3),A1B1=(-1,1,0).设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则nA1B=0,nA1C=0即-x+y-3z=0,-x-3z=0.令z=1,得x=-3,y=0,n=(-3,0,1).点B1到平面A1BC的距离d=|nA1B1|n|=32.8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.解以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),A1B=(0,1,-1),A1D=(-1,0,-1),A1D1=(-1,0,0).
7、设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则nA1B=0,nA1D=0,则y-z=0,-x-z=0.令z=1,得y=1,x=-1,n=(-1,1,1),点D1到平面A1BD的距离d=|A1D1n|n|=13=33.易证平面A1BD平面B1CD1,平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33.9.已知正方形ABCD的边长为1,PD平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.解(1)建立如图所示空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),C(
8、0,1,0),E1,12,0,F12,1,0,D(0,0,0),所以EF=-12,12,0,PE=1,12,-1,DE=1,12,0,设平面PEF的法向量n=(x,y,z),则nEF=0,nPE=0即-12x+12y=0,x+12y-z=0.令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以点D到平面PEF的距离d=|DEn|n|=|2+1|4+4+9=31717,因此点D到平面PEF的距离为31717.(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EFAC.又因为AC平面PEF,EF平面PEF,所以AC平面PEF.因为AE=0,12,0,所以点A到平面PEF的距离d=|AEn|n|=11
9、7=1717.所以直线AC到平面PEF的距离为1717.等级考提升练10.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC平面ABCD,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为()A.1010B.21111C.35D.1答案B解析以C为坐标原点,CD所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,CG所在直线为z轴,建立空间直角坐标系(图略),则F(4,2,0),E(2,4,0),G(0,0,2),B(0,4,0),BE=(2,0,0),FE=(-2,2,0),EG=(-2,-4,2).设平面EFG的法向量为m=(x,y,z),则mFE=0,mEG=0,即-2x+2y=0,-2x-4y
10、+2z=0.令x=1,则y=1,z=3,则m=(1,1,3),点B到平面EFG的距离d=|BEm|m|=21111.11.已知平面的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面内,则平面外的点P(-2,1,4)到平面的距离为()A.10B.3C.83D.103答案D解析由题意可知PA=(1,2,-4).设点P到平面的距离为h,则h=|PAn|n|=|-2-4-4|4+4+1=103.12.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是()A.6a6B.3a6C.3a4D.6a3答案A解析建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,
11、0),Ma,0,a2,B(a,a,0),A1(a,0,a),DM=a,0,a2,DB=(a,a,0),DA1=(a,0,a).设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则nDM=0,nDB=0,即ax+a2z=0,ax+ay=0,令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).点A1到平面MBD的距离d=|DA1n|n|=|a-2a|6=6a6.13.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为()A.223B.1C.2D.22答案A解析A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),AB=(1,0,0),BC=(-1,2,-2),点A到
12、直线BC的距离为d=|AB|2-|ABBC|BC|2=1-(-13)2=223.故选A.14.已知A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为.答案491717解析设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则nAB=0,nAC=0,即(x,y,z)(2,-2,1)=0,(x,y,z)(4,0,6)=0.可取n=-32,-1,1.又AD=(-7,-7,7),点D到平面ABC的距离d=|ADn|n|=491717.15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=1,则点B1到平面A1BC1的距离为.答案23解析建立如图所示
13、空间直角坐标系,由已知,A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),则A1B=(0,2,-1),A1C1=(-1,2,0).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则2y-z=0,-x+2y=0.取x=2,则n=(2,1,2).又BB1=(0,0,1),故d=|BB1n|n|=23.16.如图,在梯形ABCD中,ADBC,ABC=2,AB=BC=13AD=a,PA平面ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CFPC.(1)求点A到平面PCF的距离;(2)求直线AD到平面PBC的距离.解(1)由题意知AP,AB,AD两两垂直,建立空间直角坐标系,如图所示.则A(0,0,0),B
14、(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设F(0,m,0),则CF=(-a,m-a,0),CP=(-a,-a,a).PCCF,CFCP,CFCP=(-a)(-a)+(m-a)(-a)+0a=a2-a(m-a)=0,m=2a,即F(0,2a,0).设平面PCF的法向量为n=(x,y,z),则nCF=-ax+ay=0,nCP=-ax-ay+az=0,即x=y,z=2x.取x=1,得n=(1,1,2).设点A到平面PCF的距离为d,由AC=(a,a,0),得d=|ACn|n|=a1+a1+026=63a.(2)由于BP=(-a,0,a),BC=(0,a,0),AP=(
15、0,0,a).设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0),由n1BP=-ax0+az0=0,n1BC=ay0=0,即x0=z0,y0=0.取x0=1,得n1=(1,0,1).设点A到平面PBC的距离为h,ADBC,AD平面PBC,AD平面PBC,h为AD到平面PBC的距离,h=|APn1|n1|=a2=22a.新情境创新练17.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,问:线段AD上是否存在一点Q,使得它到平面PCD的距离为32?若存在,求出AQQD的值;若不存在,说明理由.解取
16、AD的中点O,在PAD中,PA=PD,POAD.又侧面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),则CP=(-1,0,1),CD=(-1,1,0).假设存在点Q,使它到平面PCD的距离为32,设Q(0,y,0)(-1y1),则CQ=(-1,y,0).设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0),则nCP=0,nCD=0,-x0+z0=0,-x0+y0=0,即x0=y0=z0,取x0=1,则平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).点Q到平面PCD的距离d=|CQn|n|=|-1+y|3=32,y=-12或y=52(舍去).此时AQ=0,12,0,QD=0,32,0,则|AQ|=12,|QD|=32.存在点Q满足题意,此时AQQD=13.