1、8.2 立体图形的直观图 第八章 立体几何初步 学 习 任 务核 心 素 养 1了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤(重点)2会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图(难点)通过学习空间几何体直观图的画法，培养直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养 情境导学探新知 NO.1 美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系 问题：在画板上画实物图时，其中的直角在图中一定画成直角吗？知识点1 水平放置的平面图形的直观图画法 1斜二测画
2、法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图斜二测画法是一种特殊的画法 平行投影2平面图形直观图的画法及要求 2平面图形直观图的画法及要求 提示 不一定例如正方形的直观图为平行四边形 1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图(1)原来相交的仍相交()(2)原来垂直的仍垂直()(3)原来平行的仍平行()(4)原来共点的仍共点()答案(1)(2)(3)(4)2长方形的直观图可能为下图中的哪一个()A B CD C 由斜二测画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以正确 3梯形的直观图是()A梯形B矩形 C三角形D任意四边形 A 斜二测画
3、法中平行性保持不变，故梯形的直观图仍是梯形 4在用斜二测画法画水平放置的ABC时，若A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，A_ 45或135 因为A的两边平行于x轴、y轴，故A90，在直观图中，按斜二测画法规则知xOy45或135，即A45或135 知识点2 空间几何体直观图的画法(1)与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的轴，直观图中与之对应的是轴；(2)平面表示水平平面，平面和表示竖直平面；(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和都不变(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为 xOyzzyOzxOz长度虚线2空间几何体的直观图唯一吗？提示
4、 不唯一作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同 5已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m如果按1500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为()A4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm B4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm C4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm D4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm C 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，
5、再结合直观图的画法，知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm,1.6 cm 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型1 画平面图形的直观图【例1】(对接教材P108例1)(1)如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图ABCD中，顶点B到x轴的距离为_(2)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图(1)22 正方形的直观图ABCD如图：因为OABC1，BCx45，所以顶点B到x轴的距离为1sin 45 22 (2)解 画法：在下图中作AGx轴于G，作DHx轴于H 在
6、图中画相应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45 在图中的x轴上取OBOB，OGOG，OCOC，OHOH，y轴上取OE12OE，分别过G和H作y轴的平行线，并在相应的平行线上取GA12GA，HD12HD；连接AB，AE，ED，DC，并擦去辅助线GA，HD，x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图)画平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点
7、，然后连接成线段 跟进训练 1画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示 解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系画相应的x轴和y轴，使xOy45，如图所示 (2)在x轴上截取OBOB，在y轴上截取OD12OD，过点D作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取点C使得DCDC连接BC，如图(3)擦去辅助线，所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图如图 类型2 画空间几何体的直观图【例2】画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm)解 画法：(1)画轴画x轴、y轴、z轴，使xO
8、y45，xOz90(2)画底面根据x轴，y轴，画正六边形的直观图ABCDEF(3)画侧棱过A，B，C，D，E，F各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE，FF都等于侧棱长2 cm(4)成图顺次连接A，B，C，D，E，F，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图 画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：画轴画底面画侧棱成图 跟进训练 2一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上
9、底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高(两底面圆心连线的长度)为4 cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3 cm，画出此几何体的直观图 解(1)画轴如图所示，画x轴、z轴，使xOz90(2)画圆柱的下底面在x轴上取A，B两点，使AB3 cm，且OAOB，选择椭圆模板中适当的椭圆且过A，B两点，使它为圆柱的下底面(3)在Oz上截取OO4 cm，过点O作平行于轴Ox的轴Ox，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面(4)画圆锥的顶点在Oz上取点P，使PO3 cm(5)成图连接AA，BB，PA，PB，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到此几何体的直观图，示意图如图所示 类型3 直观图的还
10、原与计算【例3】(1)如图，RtOAB是一个平面图形的直观图，若OB 2，则这个平面图形的面积是()A1 B 2 C2 2 D4 2 (2)如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1 23 C1D12，A1D1OD11试画出原四边形，并求原图形的面积 1如图，ABC是水平放置的ABC斜二测画法的直观图，能否判断ABC的形状？提示 根据斜二测画法规则知：ACB90，故ABC为直角三角形 2若尝试与发现1中ABC的AC6，BC4，则AB边的实际长度是多少？提示 由已知得ABC中，AC6，BC8，故ABAC2BC210 3如图所示，ABC是水
11、平放置的ABC的直观图，则在ABC的三边及中线AD中，最长的线段是哪个？提示 由直观图可知ABC是以B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长(1)C 由题图知，平面图形OAB为直角三角形 OB 2，AOB45，AB 2，OA2 在原OAB中，OB 2，OA4，SOAB12 242 2选C(2)解 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11，OCOC12在过点D与y轴平行的直线上截取DA2D1A12 在过点A与x轴平行的直线上截取ABA1B12连接BC，便得到了原图形(如图)由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰长度为AD2 所以面积为S232
12、25 1本例(1)中直观图中OAB的面积与原图形面积之比是多少？解 由(1)中直观图可得SOAB12 2 21，原图形面积为SOAB2 2所以SOABSOAB 12 2 24 2本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，ABC45，ABAD1，DCBC，求原图形的面积 解 如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为点E，则在RtABE中，AB1，ABE45，所以BE 22 而四边形AECD为矩形，AD1，所以ECAD1 所以BCBEEC 22 1 由此可还原原图形如图，是一个直角梯形 在原图形中，AD1，AB2，BC 22 1，且ADBC，ABBC，所以原图形的面积为S12(ADBC)AB12
13、11 22 22 22 如何将直观图还原为平面图形？直观图与原图形面积之间有什么关系？提示 1直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可 2直观图与原图形面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S，则有S24 S或S2 2S利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积 跟进训练 3如图所示，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A8 cm B6
14、cm C2(1 3)cmD2(1 2)cm A 根据直观图的画法，可得原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，且OB2 2 cm，OA1 cm，AB3 cm，从而四边形OABC的周长为8 cm 当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是()A B C D1 2 3 4 5 C 正方形的直观图应是一个内角为45的平行四边形，且相邻的两边之比为21，故选C 1 2 3 4 5 2如图所示是水平放置的三角形的直观图，D是ABC中BC边上的一点，且DCDC，ABACAD，ABC的AB，AD，AC三条线段中，最长的是AB，最短的是AD
15、故选C 1 2 3 4 5 3如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45的等腰梯形，由斜二测画法画出这个梯形的直观图OABC，则梯形OABC的高为()A 24 B 23 C 22 D 2 1 2 3 4 5 A 因为四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45的等腰梯形，所以等腰梯形OABC的高为1，面积S 12(13)12，所以等腰梯形OABC的直观图的面积S224 22 设梯形OABC的高为h，则12(13)h 22，解得h 24 故选A 1 2 3 4 5 4在如图所示的直观图中，四边形OABC为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为_(填具体形状)
16、，其面积为_cm2 1 2 3 4 5 矩形 8 由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OAOC，OAOA2 cm，OC2OC4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为248(cm2)1 2 3 4 5 5如图，平行四边形OPQR是四边形OPQR的直观图，若OP3，OR1，则原四边形OPQR的周长为_ 10 由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP3，OR2 回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)斜二测画法的内容是什么？(2)如何用斜二测画法画平面图形或空间几何体的直观图？(3)如何将直观图还原为平面图形？直观图的面积与原图形的面积之间有什么关系？点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!