1、第一章直线与圆2圆与圆的方程2.2圆的一般方程课后篇巩固提升合格考达标练1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是()A.RB.(-,0)(0,+)C.(0,+)D.(1,+)答案B解析当a0时,方程为x-2a-2a2+y+2a2=4(a2-2a+2)a2,由于a2-2a+2=(a-1)2+10恒成立,当a0时,方程表示圆.当a=0时,易知方程为x+y=0,表示直线.综上可知,实数a的取值范围是(-,0)(0,+).2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y-5=0B.x2+y2-4x
2、+2y-5=0C.x2+y2+4x-2y=0D.x2+y2-4x+2y=0答案C解析设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得a+02=-2,0+b2=1,解得a=-4,b=2.半径r=(-2+4)2+(1-0)2=5,圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.3.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2B.22C.1D.2答案D解析因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=|1+2-1|2=2.4.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则
3、圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0D.x2+y2-4x+6y=0答案D解析易知圆C的半径为13,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是.半径是.答案(-2,1)2解析由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为2.6.点P(x0,y0)是圆x2+y2=16上的动点,点M是OP(O为原点)的中点,则动点M的轨迹方程为.答案x2+y2=4解析设M(
4、x,y),则x=x02,y=y02,即x0=2x,y0=2y.又点(x0,y0)在圆上,4x2+4y2=16,即x2+y2=4.7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角=.答案34解析圆的半径r=12k2+4-4k2=124-3k2,当k=0时,rmax=1,直线y=(k-1)x+2的斜率为-1,倾斜角为34.8.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-6,3),C(3,0),求这个三角形外接圆的一般方程.解设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,A,B,C三点都在圆上,A,B,C三点的坐标都满足所设方程,把A(4,
5、1),B(-6,3),C(3,0)的坐标依次代入所设方程,得4D+E+F+17=0,-6D+3E+F+45=0,3D+F+9=0,解得D=1,E=-9,F=-12,所以所求圆的方程为x2+y2+x-9y-12=0.等级考提升练9.若a-2,0,1,23,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析根据题意,若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0,解得-2a23,又a-2,0,1,23,则a=0.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为1.10.已知
6、圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,则圆C的方程是()A.(x+1)2+y2=1B.(x-3)2+(y+2)2=1C.(x+3)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=1答案B解析将圆x2+y2-2y=0化成标准形式,得x2+(y-1)2=1,已知圆的圆心为(0,1),半径r=1.圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,圆C的圆心C与点(0,1)关于直线x-y-2=0对称,半径也为1.设C(m,n),可得1-n-m=-1,12m-1+n2-2=0,解得m=3,n=-2,C(3,-2),可得圆C的方程是(x-3)2+(y+2)2=1.11.(多选题
7、)圆x2+y2-4x-1=0()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称答案ABC解析圆x2+y2-4x-1=0,即圆(x-2)2+y2=5,它的圆心为(2,0),半径等于5,故圆关于点(2,0)对称,且关于经过(2,0)的直线对称,故选ABC.12.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则实数a的值为()A.0或2B.0或-2C.0或12D.-2或2答案A解析圆x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5,它的圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为|1-2+a|2=22,则
8、实数a=0或a=2,故选A.13.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.5B.5C.25D.10答案B解析由题意得直线l过圆心M(-2,-1),则-2a-b+1=0,即b=-2a+1.所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+55,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.14.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹方程是.答案x2+y2-203x+4=0解析设M(x,y),由|MA|=2|MB|,A(-2,0),B(2,0),得(
9、x+2)2+y2=2(x-2)2+y2,整理,得3x2+3y2-20x+12=0,即x2+y2-203x+4=0.15.已知圆x2+y2+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是.答案(-,8)解析由题意知,直线y=x+b过圆心,而圆心坐标为(-2,3),代入直线方程,得b=5,所以圆的方程化为标准方程为(x+2)2+(y-3)2=13-a,所以a13,由此得a-b8.16.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.解圆心C的坐标为-D2,-E2,因为圆心在直线x+y-1=0上,所以-D2-
10、E2-1=0,即D+E=-2.又r=D2+E2-122=2,所以D2+E2=20.由可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.又圆心在第二象限,所以-D20,即D0,E0,圆M为ABC的外接圆.(1)求圆M的方程.(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.圆M过点A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),a2+aE+F=0,3a-3aD+F=0,3a+3aD+F=0,解得D=0,E=3-a,F=-3a.圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由3+y=0,x2+y2+3y=0,解得x=0,y=-3.圆M过定点(0,-3).5