1、二次函数与幂函数学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若幂函数没有零点，则的图象关于对称()A. 原点B. x轴C. y轴D. 没有2. 已知函数，命题，则()A. 为幂函数B. C. p是真命题D. p的否定是，3. 已知函数，其中，则()A. ，都有B. ，都有C. ，使得D. ，使得4. 已知点在幂函数的图象上，则()A. B. 0C. 1D. 25. 已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是()A. B. C. D. 6. 已知命题“，恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是()A. 或B. C. 或
2、D. 二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）7. 若，则下列表达正确的是()A. B. C. D. 三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）8. 若幂函数的图象不过原点，则m的取值是_.9. 能使“函数在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为”是真命题的一个区间I为_.10. 函数的图象恒过点A，且点A在幂函数的图象上，则_.11. 已知二次函数的图象经过点，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则_.12. 设函数在区间上的值域是，则的取值范围是_.四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13. 本
3、小题分已知幂函数为偶函数求函数的解析式；若函数的定义域为，求函数的值域14. 本小题分已知方程当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围15. 本小题分已知函数，讨论的单调性；当时，证明：答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了幂函数的性质、函数的奇偶性，属于基础题.利用幂函数的性质求出，从而求出解析式，进而判断出函数的奇偶性，根据奇偶性的特征即可求解.【解答】解：函数为幂函数，且与x轴无交点，解得或且，是奇函数，关于原点对称，故选：2.【答案】C【解析】【分析】本题考查幂函数的判定，存在量词命题的真假判定与否定，属于基础题.对各选项
4、逐一判定正误，即可得到答案.【解答】解：由幂函数得定义知，不是幂函数，故A错误；，故B错误；p的否定是，故D错误；当且仅当时，故C正确。故选3.【答案】B【解析】【分析】本题考查一元二次函数的图象与性质，属于基础题.由题意可得且，对b的取值范围分类讨论，结合函数图象即可得到答案.【解答】解：由题意知，函数，因为，所以，又，所以，所以，所以函数的图象开口向上，且与x轴有两个交点，当时，抛物线的对称轴，又，函数的图象如图1所示，则对任意，都有；当时，抛物线的对称轴，又，函数的图象如图2所示，则对任意，都有；当时，抛物线的对称轴，又，函数的图象如图3所示，则对任意，都有.综上：，都有.故选：B.4.
5、【答案】B【解析】【分析】本题考查了幂函数的概念，属于基础题.将点代入幂函数，且，解出t，a的值，由此可得答案.【解答】解：点在幂函数的图象上，且，解得，故选5.【答案】C【解析】【分析】本题考查存在量词命题的否定及恒成立问题的应用，属于中档题根据命题p是假命题，则为真命题，根据二次函数恒成立问题求解即可.【解答】解：命题p是假命题，则为真命题，当时，恒成立；当时，有，解得，所以实数a的取值范围是故选：6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，一般与二次函数相结合考虑解集与函数图象的关系属于中档题.首先将不等式的解集为R转化为函数对任意的，函数值小于零的问题，再分类
6、讨论或的情况即可解出答案【解答】解：设函数，由题设条件关于x的不等式的解集为R，可得对任意的，都有，又当时，函数是关于x的抛物线，故抛物线必开口向下，且于x轴无交点，故满足，解得当时，满足题意，当时，不恒成立，不符合题意，综上，a的取值范围为故选7.【答案】AB【解析】【分析】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数和幂函数的性质的合理运用利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性求解【解答】解：，函数在上单调递减，又，即，所以选项A正确，选项B正确，幂函数在上单调递增，且，所以选项C错误，指数函数在R上单调递减，且，所以选项D错误，故选：8.【答案】2或1【
7、解析】【分析】本题考查了幂函数的定义以及性质，属于基础题.根据幂函数的定义列方程求得m，再根据幂函数图象不过原点进行求解即可.【解答】解：由幂函数性质可知，或又幂函数图象不过原点，即，或9.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象及性质的简单应用，体现了数形结合思想的应用先对已知函数进行化简，然后作出函数的图象，结合图象即可求解【解答】解：，其图象如图所示，易得，结合图象可知，函数在区间上符合条件故答案为：10.【答案】27【解析】【分析】本题考查了对数函数的性质，考查幂函数的定义以及函数求值问题，是一道基础题求出定点A的坐标，代入幂函数的解析式，求出函数值即可【解答】解：令，解得：
8、，此时故，故，设幂函数的解析式是，则，解得：，故，故答案为11.【答案】【解析】【分析】本题考查求二次函数的解析式，掌握利用待定系数法求函数的解析式以及二次函数的图象与性质是关键，属于基础题.根据条件得到的对称轴为，结合的图象在x轴上截得的线段长为2，得到与x轴的两个交点坐标为，设的解析式为，根据图象经过点，求出a的值即可得到函数解析式.【解答】解：因为对恒成立，所以的图象关于对称，又的图象在x轴上截得的线段长为2，所以的两根为或，所以二次函数与x轴的两交点坐标为和，因此设，又点在的图象上，所以，则，故故答案为：12.【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，属于基础题配方求出顶点坐标，
9、作出图象，求出对应的自变量，结合函数图象，即可求解.【解答】解：，顶点为，因为函数的值域是令，可得或又因为函数图象的对称轴为，且，所以的取值范围为故答案为：13.【答案】解：由为幂函数，得，解得或当时，符合题意；当时，不合题意，舍去所以由知，则的解集为，即和3是方程的两根，由韦达定理，可知，所以，则，即函数的值域为【解析】本题主要考查幂函数的图象和性质，以及函数的定义域和值域.根据幂函数的性质即可求的解析式；由知，可得和3是方程的两根，利用韦达定理求出a的值，进而可求解.14.【答案】解：设，的判别式为：，当时，设的两根为，则，有两个负根，解得或，即实数a的取值范围或；有一个正根和一个负根，则
10、，解得，即实数a的取值范围为【解析】本题考查二次函数的性质，函数的零点与方程根的关系，不等式求解，属于中档题.由题可得，进而得出实数a的取值范围；设，可得，进而得出实数a的取值范围.15.【答案】解：，当时，在时，为单调递减函数；在时，为单调递增函数当时，在上为单调减函数当时，在时，为单调递减函数；在时，为单调增函数由知，当时，欲证，即证，即证，令，则，解得，在单调递减，在单调递增，即，【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，利用导数证明不等式，属于难题.求出导数，分，三种情况讨论即可；将证明不等式问题转化为最值问题，构造新函数利用导数求最值来进行.即证明，整理得，构造新函数，利用导数证明其最小值大于或等于0即可.