1、1若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)xf(x)0，则()A3f(1)f(3)C3f(1)f(3) Df(1)f(3)答案B解析由于f(x)xf(x)，则0恒成立，因此在R上是减函数，f(3)故选B.2若函数f(x)kxln x在区间(1，)上是增加的，则k的取值范围是()A(，2 B(，1C2，) D1，)答案D解析由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)上是增加的f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而0x2，则不等式(x2 016)2f(x2 016)9f(3)0的解集为_答案x|xx2(x0)，得2xf(x)x2f(x)x3，即x2f(x)x30.令F(x)x2f(x)，
2、则当x0时，F(x)0.F(x) 在(，0)上是减函数，由F(x2 016)F(3)，得x2 0163，x0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x0，所以x2(a2)xa0对x(1,1)都成立，即a(x1)对x(1,1)都成立令y(x1)，则y10，所以y(x1)在(1,1)上是增加的，所以y0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点(1)解函数的定义域为(0，)由f(x)kln x(k0)，得f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上随x的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x
3、)0f(x)所以，f(x)的递减区间是(0，)，递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(2)证明由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke，当ke时，f(x)在区间(1，上是减少的且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(0，)上是减少的且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1，上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点思维升华函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图像，根据零点或图像的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解
4、，实现形与数的和谐统一已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)是增加的，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上是减少的，在(2，)上是增加的，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)上没有实根综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点题型三利用导数研究不等式问题例3已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)对一切x(
5、0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：对一切x(0，)，都有ln x成立(1)解对一切x(0，)，有2xln xx2ax3，则a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)是增加的，所以h(x)minh(1)4.因为对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.(2)证明问题等价于证明xln x(x(0，)f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到，设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取到从而对一切x(0，)，都有ln x成立思维升华求
6、解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值烦琐时，可采用直接构造函数的方法求解已知函数f(x)x32x2xa，g(x)2x，若对任意的x11,2，存在x22,4，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_答案，解析问题等价于f(x)的值域是g(x)的值域的子集，显然，g(x)是减少的，g(x)maxg(2)，g(x)ming(4)；对于f(x)，f(x)3x24x1，令f(x)0，解得x或x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况列表如下：x1(1，)(，1)1(1,2)2f(x)00f(x)a4
7、aaa2f(x)maxa2，f(x)mina4，a，1已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx，知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数综上，f(x)的单调增区间为(5，)，单调减区间为(0,5)2(2016千阳中学模拟)已知函数f(x)xln x.
8、(1)求f(x)的最小值；(2)若对所有x1都有f(x)ax1，求实数a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)的导数f(x)1ln x，令f(x)0，解得x，令f(x)0，解得0x1时，因为g(x)(1)0，故g(x)在1，)上是增加的，所以g(x)的最小值是g(1)1，从而a的取值范围是(，13(2015重庆)设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围解(1)对f(x)求导得f(x)，因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，
9、f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数由f(x)在3，)上为减函数，知x23，解得a，故a的取值范围为.4已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个
10、不同交点，求b的取值范围解由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)(1)因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f(x)0，得x0.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函数f(x)在区间(，0)上是减少的，在区间(0，)上是增加的，f(0)1是f(x)的最小值当b1时，曲线yf(x)与直线yb最多只有一个交点；当b1时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)11时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上
11、可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)5(2016四川)设函数f(x)ax2aln x，其中aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)e1x在区间(1，)内恒成立(e2.718为自然对数的底数)解(1)f(x)2ax(x0)当a0时，f(x)0时，由f(x)0，有x.此时，当x时，f(x)0，f(x)是增加的(2)令g(x)，s(x)ex1x.则s(x)ex11.而当x1时，s(x)0，所以s(x)在区间(1，)内是增加的又由s(1)0，有s(x)0，从而当x1时，g(x)0.当a0，x1时，f(x)a(x21)ln xg(x)在区间(1，)内恒成立时，必有a0.当0a1.由(1)有f0，所以此时f(x)g(x)在区间(1，)内不恒成立当a时，令h(x)f(x)g(x)(x1)当x1时，h(x)2axe1xx0.因此，h(x)在区间(1，)内是增加的又因为h(1)0，所以当x1时，h(x)f(x)g(x)0，即f(x)g(x)恒成立综上，a.