1、广东省2012届高三数学文科仿真模拟卷3第I卷一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合Mx|x24，Nx|x22x30，则集合MN( )Ax|x2 Bx|x3 Cx|1x2 Dx|2x32已知为虚数单位, 则复数的虚部为（ ）A. 0B. C. 1 D.3一个几何体的三视图如图所示，那么此几何 体的表面积为 A144B124 C104D844在同一平面直角坐标系中，画出函数的部分图像如下，则（ ）ABC D5. 设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围为（ ）A B C D6执行如图的程序框图，如果输入，则输出的（
2、）A B. C. D. 7. 对任意实数函数的图象都不经过点则点的轨迹是（ ）A两条平行直线 B. 四条除去顶点的射线 C. 两条抛物线 D. 两条除去顶点的抛物线 8. 如下图所示，两射线与交于点，下列5个向量中， 若以为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的向量有（ ）个.A1 B. 2 C. 3 D.49. 已知数列满足，且，对任意的，总有成立，则在内的可能值有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个10已知定义域为区间的函数，其图象是一条连续不断地曲线，且满足下列条件：的值域为，且；对任意不同的、，都有，那么函数在区间，上（ ）A没有零点 B. 有且只有一个零点C恰有两个不同的零点 D有无数
3、个不同的零点第卷二.填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分。11某校为了解高三同学寒假期间学习情况，调查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中学习时间在6至8小时的同学为 人.12. 设圆的切线与轴的正半轴,轴的正半轴分别交于点,，当取最小值时，切线的方程为 .13. 图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形。在下图中，将第1个三角形的三边中点为顶点的三角形着色,将第个图形中的每个未着色三角形的三边中点为顶点的三角形着色,得到第个图形, 这样这些图形中着色三角形的个数依次构成一个数列，则数列的通项公式为 .14. 由函数的图
4、像在点处的切线直线直线（其中是自然对数的底数）及曲线所围成的曲边四边形(如图中的阴影部分)的面积 .15.（在给出的二个题中，任选一题作答. 若多选做，则按所做的第一题给分） （1）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线的焦点的极坐标为 . （2）（不等式选讲）若不等式的解集为，且，则a的取值集合为 .三.解答题：本大题共75分。其中(16)(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）在锐角ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且（）求A的大小；（）求表达式的取值范围 17（本小题满分12分）已知四棱
5、锥（如图）底面是边长为2的正方形.平面，,分别为,的中点，于. （）求证：平面平面； （）求二面角的余弦值.18（本小题满分12分）某投资公司在2011年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和（）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；（）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资
6、），问大约在哪一年的年底总资产（利润本金）可以翻一番？（参考数据：，）19（本小题满分12分）已知函数，其中 （I）若函数有三个不同零点，求的取值范围；（II）若函数在区间上不是单调函数，求的取值范围.20.（本题满分13分）如图, 双曲线与椭圆的左、右顶点分别为、第一象限内的点在双曲线上，线段与椭圆交于点为坐标原点.（I）求证： 为定值（其中表示直线的斜率，等意义类似）；（II）证明：与不相似.（III）设满足的正数的最大值是，求的值；21（本题满分14分）已知数列的前和满足：数列的通项公式为 （I）求数列的通项公式；（II）试比较与的大小；（III）某圆的圆心C在轴上，问点列中是否至少存在
7、三点落在圆C上?说明理由.参考答案第I卷一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【答案】C【解析】.2【答案】D 【解析】3【答案】A【解析】如图，此几何体是正四棱锥，其底面边长为8，侧面的斜高为5,从而表面积为4【答案】D【解析】由知函数的图像的振幅、最小正周期分别为对照图形便知选D.5. 【答案】C【解析】如图，可行域为的边界及内部，双曲线 与可行域有公共点时6. 【答案】C【解析】7. 【答案】B【解析】设，则对任意实数函数的图象都不经过点关于的方程没有实数解或所以点的轨迹是除去两点的两条平行直线与8. 【答案】A【解
8、析】设在阴影区域内，则射线与线段有公共点，记为，则存在实数使得，且存在实数使得，从而，且.只有符合.9. 【答案】B【解析】若由得，且，故，此时经检验对任意的，总有.若由得，此时经检验对任意的，总有.故或.10【答案】B【解析】由知设，由知函数在区间，上是减函数，从而函数在区间，上有且只有一个零点。第卷二.填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分。11【答案】30【解析】12. 【答案】【解析】设，则切线的方程为,由得，当且仅当时，上式取等号，故，此时切线的方程为13. 【答案】 【解析】当时也可由不完全归纳法猜得.14. 【答案】【解析】,15. （在给出的二个题中，任选一题作答. 若多
9、选做，则按所做的第一题给分）（1）【答案】【解析】,其焦点的直角坐标为对应的极坐标为（2）【答案】【解析】如图，,三.解答题：本大题共75分。其中(16)(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤16 解：（）由已知，根据正弦定理得1分即 ，3分 5分（）由（）得：设得8分函数在区间上是增函数，10分又故表达式的取值范围是12分17方法一:（）证明：平面，平面,. ,分别为,的中点,且四边形是正方形, 平面,平面,且平面. 3分平面, 平面平面. 4分（）解:由（）平面, 及平面,平面知 平面平面为二面角的平面角. 11分在中, ,故二面角
10、的余弦值为 12分方法二: 解：四棱锥的底面是边长为2的正方形, 且平面，以为原点,射线分别为轴的正半轴,可建立空间直角坐标系(如图).,分别为,的中点,（）， 平面,平面,且平面. 3分（）设平面的一个法向量为，则取., 平面,平面,平面, 是平面的一个法向量.由图形知二面角的平面角是锐角,故所以二面角的余弦值为 12分18解：（1）若按“项目一”投资，设获利万元，则的分布列为（万元）.2分 若按“项目二”投资，设获利万元，则的分布列为：（万元）. 4分又， 5分，6分所以，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 8分（2）假设年后总资产可以翻
11、一番，依题意：，即，9分两边取对数得：所以大约4年后，即在2014年底总资产可以翻一番 11分答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在2013年底，总资产可以翻一番12分19解: （I）因为，所以函数有三个不同零点的充要条件是关于的方程有两个不相等的非零实根，1分即，且.故的取值范围是5分（II）解法一：，函数在区间上不是单调函数的充要条件是关于的方程有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间内. 7分一、 若，则.方程的两个实根均不在区间内，所以8分二、 若，则.方程在区间内有实根，所以可以为9分三、 若方程有一个实根在区间内，另一个实根在区间外，则，即10分四、 若方程在区间内有两个不
12、相等的实根，则11分综合得的取值范围是12分（II）解法二：，函数在区间上不是单调函数的充要条件是关于的方程在区间上有实根且7分关于的方程在区间上有实根的充要条件是使得8分使得令有，记10分则函数在上单调递减，在上单调递增，所以有即.11分又由 得且故的取值范围是12分（II）解法三：记函数在区间上的最大值为，最小值为函数f(x)在区间上不单调函数f(x)在区间上不单调7分因为函数的图像是开口向上、对称轴为的抛物线，所以，9分当时，11分故的取值范围是12分（II）解法四： 求出当函数在区间上是单调函数时，的取值范围为集合，则当函数在区间上不是单调函数时，的取值范围为集合12分20.（I）解：
13、由已知得.设，知均在第一象限,且.则3分在同一直线上, 故4分（II）证明: 设,则且,解得6分,函数在区间上是减函数,因此当时,即故与不相似. 9分（III）解: 由得，由得.13分21解：（I）解法一：两式相减得2分又即数列是首项为公比为的等比数列,其通项公式是 4分解法二: 即数列是首项为公比为的等比数列,其通项公式是2分当时, 又 4分解法三:用数学归纳法证明（II）(1)当时, 6分(2)当时, 7分(3)当时, 即 9分（III）假设点列中存在三点落在圆C上. 因圆心C在轴上,故可设圆C的方程为:. 10分从而 由, 得 即 由得整理得,12分作函数由知函数是增函数. 产生矛盾.故点列中不存在三点落在圆C上. 14分