1、一 数学归纳法考 纲 定 位重 难 突 破1.了解数学归纳法的原理2.了解数学归纳法的使用范围3.会用数学归纳法证明一些简单问题.重点：1.数学归纳法的原理2.数学归纳法的应用难点：掌握数学归纳法的应用.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理一、数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当时命题成立；(2)假设当 nk(kN，且 kn0)时命题成立，证明时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法nn0nk1
2、二、数学归纳法的步骤双基自测1用数学归纳法证明：“1aa2an11an21a(a1)”，在验证 n1时，左端的项为()A1 B1aC1aa2D1aa2a3解析：当 n1 时，左端为 1aa2，故选 C.答案：C2用数学归纳法证明 1222n216n(n1)(2n1)(nN)时从 nk(kN)到 nk1，左边应增添的式子为_解析：当 nk 时，左边1222k2，当 nk1 时左边1222k2(k1)2.增添的式子为(k1)2.答案：(k1)23数列an中，已知 a11，当 n2(nN)时，anan12n1，依次计算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表达式是_解析：a11，a2a12214，a
3、3a22319，a4a324116，猜想：ann2.答案：ann2探究一 用数学归纳法证明等式 例 1 证明：当 n2，nN时，114 119 1 116 1 1n2 n12n.证明(1)当 n2 时，左边11434，右边212234.当 n2 时，等式成立(2)假设 nk(k2，kN)时等式成立，即：114 119 1 116 1 1k2 k12k当 nk1 时，114 119 1 1k211k12k12k 11k12 k12k kk2k12 k22k1k112k1.当 nk1 时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意 n2，nN等式成立1用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点一是准确表述
4、nn0 时命题的形式，二是准确把握由 nk 到 nk1 时，命题结构的变化特点2应用数学归纳法时的常见问题(1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是 n1，有时需验证 n2，n3.(2)对 nk1 时式子的项数以及 nk 与 nk1 的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障(3)“假设 nk 时命题成立，利用这一假设证明 nk1 时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范1求证：1 11211231123n 2nn1(nN)证明：(1)当 n1 时，左边1，右边21111，所以左边右边，等式成立(2)假设当 n
5、k(k1，kN)时等式成立，即 111211231123k 2kk1.则 当n k 1时，1 112 1123 1123k 1123kk1 2kk11123kk1 2kk12k1k22k12k1k2 2k1k11.这就是说，当 nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对任何 xN等式都成立探究二 用数学归纳法证明整除性问题 例 2 用数学归纳法证明(3n1)7n1 能被 9 整除(nN)证明(1)当 n1 时，原式(311)7127，能被 9 整除，命题成立(2)假设当 nk(kN，k1)时，(3k1)7k1 能被 9 整除，则当 nk1 时，3(k1)17k1121(k1)77k1(3k1
6、)(18k27)7k1(3k1)7k19(2k3)7k.(3k1)7k1和 9(2k3)7k 都能被 9 整除，(3k1)7k19(2k3)7k 能被 9 整除，即3(k1)17k11 能被 9 整除，即当 nk1 时命题成立由(1)(2)可知，对任何 nN，命题都成立，即(3n1)7n1 能被 9 整除(nN)1用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证2与 n 有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从 nk1时的表达式中分解出 nk 时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式2求证：二项
7、式 x2ny2n(nN)能被 xy 整除证明：(1)当 n1 时，x2y2(xy)(xy)，能被 xy 整除(2)假设 nk(k1，且 kN)时，x2ky2k 能被 xy 整除，当 nk1 时，即 x2k2y2k2x2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k 与 x2y2 都能被 xy 整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被 xy 整除，即 nk1 时，x2k2y2k2 能被 xy 整除由(1)(2)可知，对任意的正整数 n 命题均成立探究三 用数学归纳法证明几何问题 例 3 平面内有 n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于
8、同一点，求证：这 n 个圆将平面分成 f(n)n2n2 个部分(nN)证明(1)当 n1 时，一个圆将平面分成两个部分，且 f(1)1122，所以 n1时命题成立(2)假设 nk(kN，k1)时命题成立，即 k 个圆把平面分成 f(k)k2k2 个部分则 nk1 时，在 k1 个圆中任取一个圆 O，剩下的 k 个圆将平面分成 f(k)个部分，而圆 O 与 k 个圆有 2k 个交点，这 2k 个交点将圆 O 分成 2k 段弧，每段弧将原平面一分为二，故得 f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.所以当 nk1 时，命题成立由(1)(2)可知，对一切 nN，命题成立，即这几个圆将平
9、面分成 f(n)n2n2 个部分(nN)用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从 nk 到 nk1 时，新增加的量是多少一般地，证明第二步时，常用的方法是加 1 法，即在原来 k 的基础上，再增加一个，当然我们也可以从 k1 个中分出 1 个来，剩下的 k 个利用假设3证明凸 n 边形的对角线条数：f(n)12n(n3)(n4)证明：(1)当 n4 时，f(4)124(43)2.四边形有两条对角线，命题成立(2)假设当 nk(k4)时，命题成立，即凸 k 边形的对角线的条数f(k)12k(k3)(k4)当 nk1 时，凸 k1 边形是在 k 边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点 Ak1，增加
10、的对角线条数是顶点 Ak1 与不相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 A1Ak，增加的对角线条数为(k1)31k1，f(k1)12k(k3)k112(k2k2)12(k1)(k2)12(k1)(k1)3 故 nk1 时，命题也成立由(1)(2)可知，对任何 nN，n4，命题成立运用数学归纳法证题的常见错误 典例 设 f(n)1121313n1(nN)，则 f(n1)f(n)等于()A.13n2 B 13n13n1C.13n113n2D 13n13n113n2解析 因为 f(n)1121313n1，所以 f(n1)1121313n113n13n113n2，所以 f(n1)f(n)13n13n11
11、3n2.答案 D规律探究(1)认清待证命题的结构特征、分清项数与 n 之间的关系是用数学归纳法的基本条件，常见错误有：没有认清 n0 是什么；不会确定 nn0 时的具体情形；误认为 f(n)中就一定有 n 项；误认为 f(n1)的最后一项就是由 f(n)变到 f(n1)时增加的项(2)证明 nk1 时命题成立的过程中必须用上归纳假设，即把 nk 时的命题作为必备的已知条件，只有用上这个条件并推出 n1 时的命题成立才正确；如果推证 nk1 时命题成立的过程中没用上归纳假设，即使符合数学归纳法证题格式也不是数学归纳法.随堂训练 1在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n3)条时，第一
12、步检验第一个值 n0 等于()A0 B1C2 D3解析：因为凸 n 边形边数最小时为三角形，所以 n3.n03.答案：D2用数学归纳法证明时，设 f(k)1427k(3k1)k(k1)2，则 f(k1)_.解析：f(k1)1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2.答案：(k1)(k2)23用数学归纳法证明 34n252n1(nN)能被 14 整除时，当 nk1 时，对于34(k1)252(k1)1 应变形为_解析：当 nk 时，34n252n134k252k1当 nk1 时，34n252n134(k1)252(k1)134(34k252k1)3452k15252k181(34k252k1)5652k1.至此即可以用上归纳假设推出 81(34k252k1)是 14 的倍数，又可以把 5652k1 看成 14 的 452k1 倍的倍数答案：81(34k252k1)5652k1课时作业
