1、专题28 二次函数与菱形存在问题1（2021内蒙古鄂尔多斯中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接，直线与该抛物线交于点E，与交于点D，连接当时，求线段的长；（3）点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）A（-4,0），B（2,0），C（0，-8）；（2）；（3）存在，M、【分析】（1）分别令x=0、y=0即可求出A，B，C三点的坐标；（2）先求出AC解析式，用m表示出DE坐标，最后根据
2、求出m的值即可；（3）分三种情况：对角线或为对角线或为对角线，当为对角线时，可得出，根据，即可求出答案；当为对角线时，设，则，建立方程求解即可；当对角线时，与互相垂直平分，设，则，根据在直线上，即可求得答案【详解】解：（1）令x=0得，C点坐标（0，-8）令y=0得：，解得：，A（-4,0），B（2,0）；（2）设DE交x轴于F，设AC解析式为，代入AC坐标得：，解得AC解析式为，直线与该抛物线交于点E，与交于点D，解得，；（3）存在，如图2，抛物线对称轴为直线，以、为顶点的四边形是菱形，分三种情况：对角线或为对角线或为对角线，当为对角线时，点为直线与抛物线对称轴的交点，即，；当为对角线时，设
3、，则，解得：，当对角线时，与互相垂直平分，设，则，在直线上，综上所述，点的坐标为：，【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用相似三角形处理垂直2（2021湖南娄底中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C（1）求的值；（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值【答案】（1）b=，c=；（2）；不存在，理由见解析【分析】（1）将A（-1，0），B（3，0）代入
4、y=x2+bx+c，可求出答案；（2）设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论【详解】解：（1）抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），解得：，b=，c=；（2）由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2，设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），0m3，PQ=m-( m2-2m-3)=-m2+3m+3=-+，-10，当时，PQ有最大值，最大值为；抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3，C（0，-3），OB=OC=3，由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），PQOC，当
5、OC为菱形的边，则PQ=OC=3，当点Q在点P上方时，PQ=，即，解得或，当时，点P与点O重合，菱形不存在，当时，点P与点B重合，此时BC=，菱形也不存在；当点Q在点P下方时，若点Q在第三象限，如图，COQ=45，根据菱形的性质COQ=POQ=45，则点P与点A重合，此时OA=1OC=3，菱形不存在，若点Q在第一象限，如图，同理，菱形不存在，综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键3（2021重庆市中考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x
6、轴于点A、B，交y轴于点C（1）求线段BC的长；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作交x轴于点E，连接PE，求面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点P的对应点为点，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由【答案】（1）（2）面积的最大值为4；此时P的坐标为（3）或【分析】（1）由抛物线表达式，求出点B的坐标，当时求出点C的坐标，然后根据勾股定理即可求出BC的长度（2）由把的面积转化为BPC的面积，作PFy轴交BC于点F，
7、交x轴于点H，根据点B和点C的坐标求出BC所在直线的表达式，然后设出点P和F的坐标，表示出BPC的面积，根据二次函数的最值求解即可（3）分A是菱形的边长或对角线时两种情况讨论，首先根据点A和点的坐标求出A的长度，然后设出点M的坐标，根据菱形的临边相等列出方程求出点M的坐标，最后根据菱形对角线互相平分，利用中点坐标公式列出方程即可求出点N的坐标【详解】（1）抛物线交x轴于点A、B，当y=0时，即，整理得：，解得：A点坐标为，B点坐标为OB=4当时，y=-2，C点坐标为，OC=2（2）如图所示，连接PC，作PFy轴交BC于点F，交x轴于点H，BPE和BPC是同底等高的三角形，求BPE面积的最大值即
8、求BPC面积的最大值B，C，设BC所在直线表达式为，将B，C两点代入得：，解得：BC所在直线表达式为设P点坐标为，F点坐标为，即，面积的最大值为4，将m=-2代入得，此时P点坐标为（3）抛物线表达式为，对称轴，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后的抛物线的对称轴对称后点P的对应点为点，点P的坐标为，点的坐标为，又A点坐标为，设M点坐标为，分两种情况，当A是菱形的边长时，如图所示，四边形AMNP是菱形，解得：，四边形AMNP是菱形，对角线AN和互相平分，根据平面直角坐标系中中点坐标公式可得：，代入可得：或，解得：，当A是菱形的对角线时，如图所示，四边形是菱形，解得：，又，此时M点在线段上，以点A
9、、M、N为顶点构不成菱形，故此种情况不存在综上所述，N点的坐标为或【点睛】此题考查了二次函数综合，二次函数中三角形面积最值问题，菱形存在性问题，解题的关键是根据题意作出辅助线，找到坐标和线段长度之间的关系4（2021重庆市中考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C（1）如图1，连接BC，过点A作y轴的平行线交直线BC于点E，求线段BE的长；（2）如图1，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AP交BC于点D，连接连接BP，记BDP的面积为，ABD的面积为，当的值最大时，求出这个最大值和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线BC方向平移个单位，平移后的抛
10、物线与原抛物线交于点G，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点D、G、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由【答案】（1）；（2）最大值为，；（3）存在，或，或，或，或，【分析】（1）作轴交的延长线于点，先求出、三点坐标，从而可得，又，根据平行线分线段成比例可得，解得，从而；（2）作交于，先求出解析式，再用同一个字母表示出、的坐标，继而根据，得到，用含的式子表示出的值，进而根据同高不等底的两个三角形面积比等于其底之比得到，利用二次函数的解析式即可得到结论；（3）联立直线、的解析式可得点坐标为，再求出平移后的二次函数表达式，联立平移
11、前后的两个二次函数表达式可求得点坐标为，接下来分成两类情况讨论：为菱形的边长，为菱形的对角线长，画出图形，利用菱形的对角线性质和中点坐标公式列出方程分别求解即可【详解】解：（1）如答图1所示，作轴交的延长线于点令中，得方程，解得：，；令中，得，则得点，又，即，解得：，故线段（2）如答图2，在答图1基础上，作交于设直线的解析式为，代入、，解得：则直线的解析式为设点坐标为，点坐标为，点坐标为，则，由，可得，又与的底可分别看成是、，而高相等，故，当时，有最大值，最大值为，此时点坐标为，（3）存在以点、为顶点的四边形是菱形，理由如下：在（2）的条件下，点坐标为，设直线表达式为，代入、坐标，得：，解得：
12、则直线表达式为联立，解得：，即点坐标为，又将抛物线沿射线方向平移个单位，实际上等同于将该抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位，则新抛物线的解析式为联立，解得即点坐标为平移后的二次函数解析式为，则对称轴为，故点坐标可设为，点坐标当为菱形的边时：以点为圆心，为半径画圆交轴于点、，作轴于点，如答图3此时，故可得点、由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，即，解得：；或，解得：点，以点为圆心，为半径画圆交轴于点、，作轴于点，如答图4此时，故可得点、由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，即，解得：；或，解得：点，当为菱形的对角线时，则为另一对角线，如答图5则有，亦即，解得：即点，由菱形对角线性质和中
13、点坐标公式可得：，解得：，则点坐标为，综上所述，点的坐标为，或，或，或，或，【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法求解析式、勾股定理、菱形的判定与性质、中点坐标公式、二次函数性质、一次函数性质、相似三角形等知识，理解题意，画出相应的图形，学会用数形结合、分类讨论的思想方法解答问题是关键5（2021山西大同中考一模）综合与探究如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，点C关于x轴的对称点是点（1）求点的坐标和直线BC的表达式；（2）如图2，点M在抛物线的对称轴上，N为平面内一点，依次连接BM，NB，当四边形是菱形时，求点M坐标；（3）如图3，点
14、P是抛物线第一象限内一动点，过P作x轴的平行线分别交直线BC和y轴于点Q和点E，连接交直线BC于点D，连接，PB，设点P的横坐标为m，的面积为，PBD的面积为，求的最大值【答案】（1），yx4；（2）M（1，1）；（3）的最大值是4【分析】（1）先求得点A，B，C的坐标，即可求得的坐标，再用待定系数法求得直线BC的表达式；（2）过M作MHy轴于点H，连接OM 证明OMBO，即可得MOB=再求得MOB=45；由此求得 再求得抛物线的对称轴，即可求得点M的坐标；（3）过B作BIPQ于I易求，再求得PQ的最大值，即可求得的最大值【详解】（1）抛物线与x轴相交于点A，B，当y0时，解，得；B（4，0）
15、抛物线与x轴相交于点C，当x0时，y4，C（0，4）， 设BC的表达式为ykxb，将B，C两点坐标分别代入得，解，得直线BC的表达式为yx4 ；（2）过M作MHy轴于点H，连接OM 四边形是菱形，BM=，B（4，0），C（0，4），OBOC，OM=OM，OMBO，MOB=BO90，MOB=45；MHy， 抛物线的对称轴为直线，M（1，1）（3）过B作BIPQ于IPQ/x轴，IEO90，四边形EOBI是矩形 ，点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，点P的纵坐标为 PQ/x轴，点Q的纵坐标为，将其代入yx4，点Q的横坐标为点P是抛物线第一象限内，点P在点Q右侧，当m2时，PQ的最大值是2，的最大值是
16、4【点睛】本题是二次函数的综合题，解决第（3）题时构建二次函数模型是解决问题的关键6（2021山西万柏林中考一模）综合与探究：如图1，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，二次函数的图象过，两点，且与轴交于另一点（1）求二次函数的解析式；（2）点是二次函数图象的一个动点，设点的横坐标为，若求的值；（3）如图2，过点作轴交抛物线于点点是直线上一动点，在坐标平面内是否存在点，使得以点，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）m的值为或；（3）点N的坐标为(，)或(，)或(，)【分析】（1）先求得点B、C的坐标，利用待定系数法即可
17、求得二次函数的解析式；（2）先求得，ABP，设直线BP交轴于E，利用待定系数法求得直线BE的解析式，解方程组即可求解；（3）根据菱形的性质，分当CN为对角线、DN为对角线、CD为对角线三种情况讨论，根据图形分别求解即可【详解】（1）一次函数的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，令，则，令，则，B(4，0)，C (0，)，把B(4，0)，C (0，)代入，解得：，二次函数的解析式为；（2）B(4，0)，C (0，)，OB=4，OC=，若ABC=2ABP，则ABP，设直线BP交轴于E，,OE=，E1(0，)或E2 (0，)，设直线BE1的解析式为，B(4，0)，直线BE1的解析式为，解方程，整理得
18、，即m的值为；同理可求得直线BE2的解析式为，解方程，整理得，即m的值为；综上，m的值为或；（3）由（2）知，CD/x轴，即，抛物线的对称轴为，CD=2，设点M的坐标为(，)，如图：当CD、CM为边，CN为对角线时，则CD=CM=2，MDC是等边三角形，点M在线段CD的垂直平分线上，点M的坐标为(，)，点N1的坐标为(，)；当CD、DM为边，DN为对角线时，同理可得点N2的坐标为(，)；当CD为对角线时，根据菱形的对称性知：点M与点N关于对角线CD对称，点N3的坐标为(，)；综上，点N的坐标为(，)或(，)或(，)【点睛】本题是二次函数综合题，考查了菱形的性质、待定系数法求二次函数和一次函数的
19、解析式，特殊角的三角函数值，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考和解决问题，属于中考压轴题7（2021重庆一中中考一模）在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc（a0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，6），其中AB8，tanCAB3（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD/AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标（3）将该抛物线沿射线CA方向平移2个单位长度得到抛物线y1，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F，点G为抛物线y1的顶点，点M为直线FG上一点，点N为平面上一点在（2）中，当BE的值最大时
20、，是否存在以P、E、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx22x6；（2）最大值为4，此时P（4，6）；（3）存在，（1，5）或（，）或（3，3）或（3，3）【分析】（1）由C（0，6）以及tanCAB3，进而求得OA的长度，再确定点A、点B的坐标，最后运用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AC、BC的表达式，设点P的横坐标为m，由PD/AC求出直线PD的解析式，再与直线BC的解析式组成方程组求出点E的坐标，再用含字母m的式子表示BE，最后根据二次函数的性质求出BE的最大值及点P的坐标即可；（3）先根据AOC沿射线CA方向平移2个单位后
21、的位置，确定抛物线y1的表达式及顶点G和点F的坐标，求出直线FG的函数表达式，再根据（2）中求出的点P的坐标求出点E的坐标，再按照PE为边、对角线等情况画出相应的菱形，求出点N的坐标【详解】解：（1）C（0，6），tanCAB3，AO2，A（2，0），B（6，0），解得，该抛物线的表达式为y-x22x6；（2）如图1，作PHx轴于点H，交BC于点J，作EIPH于点I、EKx轴于点K设直线BC的函数表达式为ykx6，则6k60，解得k1，yx6；设直线AC的函数表达式为ypx6，则2p60，解得p3，y3x6.设P（m，-m22m6），由PD/AC，设直线PD的函数表达式为y3xn，则m22m6
22、3mn，解得nm2m6，y3xm2m6.由，得，E（，）AC2，BC6，且PEICAO，BEKBCO，EI：PI：PEOA：OC：AC1：3：，EK：BK：BECO：BO：BC1：1：，PEEI，PE10EI10（m）mm2，BEBK，BE2BK2（6）12，BEmm2（12）m28m12（m4）24，当m4时，BE的最大值，最大值为4，此时P（4，6）；（3）存在如图2，由（2）得，AC2，将AOC沿射线CA方向平移2个单位，相当于将AOC向左平移2个单位，再向下平移6个单位，该抛物线也向左平移2个单位，再向下平移6个单位，原抛物线为yx22x6（x2）28，y1x22，抛物线y1与坐标轴的
23、交点分别为F（2，0）、D（2，0）、（0，2），且顶点为G（0，2），点F（2，0）为抛物线y1与原抛物线的交点P（4，6），C（0，6），且PD/AC，D（2，0），点D与点D重合设直线FG的函数表达式为yqx2，则2q20，解得q1，yx2.如图2，点M1在点P左侧，PE、EM1为菱形的邻边连接PC，则CGPC，可得BC垂直平分PG，设垂足为点Q，则点N1与点E关于点Q对称；PCEBDE，PEDE，E（3，3），Q（2，4），N1（1，5）；如图3，PE为菱形的对角线，M2N2垂直平分PE，设垂足为点R，R为PE的中点，R（，），连接并延长BG交AC于点H，则BGOCAO，GBOACO，
24、GBOCAOACOCAO90，BHAC，BH/M2N2；设直线BH的函数表达式为yrx2，则6r20，解得r，yx2，设直线M2N2的函数表达式为yxt，则 t，解得t，yx；由，得，M2（，），点N2与点M2（，）关于点R（，）对称，N2（，）；如图4，点M3在点P右侧，PE、PM3为菱形的邻边由EN3/FG，设直线的函数表达式为yxs，则3s3，解得s0，点N3在直线yx上，连接OE，则点O、E、N3在同一直线上 设N3（d，d），OE3，EN3PE，d（3）3，N3（3，3）点M4在点P左侧，PE、PM4为菱形的邻边 设N4（e，e），则e（3）3，N4（3，3）综上所述，点N的坐标为（
25、1，5）或（，）或（3，3）或（3，3）【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质与一次函数、四边形、相似三角形等知识的综合应用，正确作出辅助线并找到等量关系列出相应的表达式或方程是解答本题的关键8（2021黑龙江讷河九年级期中）综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为_（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N当面积最大时的P点坐标为_；最大面积为_点F是直线AC上一个动点，在坐标平
26、面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）5；（3）（-2，2），8；存在， 点D的坐标为（-，-）或（，）或（，）或（-4，5）【分析】（1）把已知点坐标代入解析式；（2）取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C，由两点之间线段最短，最小值可得；（3）先求得直线AC的解析式为y=x+4，设点M的坐标为（x，0），则点P的坐标为（x，x+4），点N的坐标为（x，-x2-3x+4），根据三角形的面积公式以及二次函数的性质求解即可；分四种情况讨论，利用菱形的性质、等腰直角三角形的性质、一次函数的图象分别画出图
27、形，求解即可【详解】解：（1）将A（-4，0）代入y=x+c，c=4，将A（-4，0）和c=4代入y=-x2+bx+c，b=-3，抛物线解析式为y=-x2-3x+4；（2）作点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C，连OC，交直线l于点E连接CE，此时CE+OE的值最小令x=0，则y=4，C（0，4），抛物线对称轴为x=-=，CC=3，由勾股定理OC=5，CE+OE的最小值为5；（3）A（-4，0），C（0，4），设直线AC的解析式为y=kx+4，把A（-4，0）代入得0=-4k+4，k=1，直线AC的解析式为，设点M的坐标为（x，0），则点P的坐标为（x，x+4），点N的坐标为（x，-x2-3
28、x+4），NP=-x2-3x+4-(x+4)= -x2-4x，-2(x2+4x)=-2(x+2)2+8，-20，有最大值，当x=-2时，有最大值，最大值为8，此时，点P的坐标为（-2，2），最大值为8，故答案为：（-2，2），8；存在，理由如下：解方程-x2-3x+4=0得：x=-4或x=1，B（1，0），C（0，4），OA=4，OC=4，BC=，ACO=OAC=45，如图，当CD为对角线，即四边形BCFD是菱形，BDAC，BD=BC，过点D作DG轴于点G，DBG=OAC=45，DG=BG=，GO=BG-OB=，点D的坐标为（-，-）；如图，当CD为对角线，即四边形BCFD是菱形，同理求得点D
29、的坐标为（，）；当BC为对角线，此时DF垂直平分BC，如图：设DF交y轴于点I，连接BI，再设OI=m，则IC=IB=4-m，在RtBIO中，解得：，点I的坐标为（0，），BC中点的坐标为（，2），同理可求得，直线DF的解析式为，解方程组，得，点F的坐标为（，），BD=BF=，过点D作DH轴于点H，同理，DH=BH=，点D的坐标为（，）；当BD为对角线，此时BDAC于K，过点K作KL轴于点L，如图：此时ABK为等腰直角三角形，AB=5，KL=，LO=，点K的坐标为（-，），点D的坐标为（-4，5）；综上，点D的坐标为（-，-）或（，）或（，）或（-4，5）；【点睛】本题以二次函数动点问题为背景
30、，综合考查二次函数图象性质、相似三角形判断以及菱形存在性的判断解答时应注意做到数形结合9（20212022重庆市九年级期中）如图1在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点（1）求的周长（2）已知点是直线下方抛物线上一动点，连接，求的面积的最大值（3）如图2，点为抛物线的顶点，对称轴交轴于点， M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以点，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）4；（3）存在，点N的坐标为：（-4，-3）或（-1，）或（-1，-）或（，-）【分析】（1）利用抛物线的表达式，分别求出点A，点B，点C的坐标，根据
31、两点间的距离公式可求出ABC的周长；（2）过点P作x轴的垂线，与AC交于点Q，设出点P的坐标，表达出点Q的坐标，进行表达APC的面积，利用二次函数最值问题，求出此时面积的最大值；（3）分类讨论：当CE为边，且四边形CEM1N为菱形；当CE为边，且四边形CENM为菱形；当CE为对角线，且四边形CNEM为菱形，再利用菱形的性质求出点N的坐标即可【详解】解：（1）抛物线y=x2+x-4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，令x=0，则y=-4；令y=0，则x=-4或2，A（-4，0），B（2，0），C（0，-4）；AB=6，AC=4，BC=2，ABC的周长=6+4+2；（2）如图，过点P作x轴的垂线，
32、与AC交于点Q，A（-4，0），C（0，-4），直线AC的表达式为：y=-x-4，设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m-4），Q（m，-m-4），PQ=（-m-4）-（m2+m-4）=-m2-2m，SPAC=SPAQ+SPCQ=PQ（xP-xA）+PQ（xC-xP）=PQ（xC-xA）=（-m2-2m）（0+4）=-m2-4m=-（m+2）2+4，-10，当m=-2时，PAC的面积最大为4；（3）存在，此时点N的坐标为：（-4，-3）；（-1，）；（-1，-）；（，-）由y=x2+x-4，可知，对称轴为直线x=-1，E（-1，0），连接CE，可得CE=，当CE为边，且四边形CEMN为菱形时，
33、如图所示，此时CE=M1E=，过点M1作M1Gx轴于点G，设M1（t，-t-4），则M1G=-t-4，OG=-t，EG=-t-1，（-t-1）2+（-t-4）2=（）2，解得t=0（舍去），t=-5，M1（-5，1），N1（-4，-3）；当CE为边，且四边形CENM为菱形时，如图所示，此时CE=CM2=CM3=，过点M2作M2Hy轴于点H，过点M3作M3Ty轴于点T，AOOC，AOM2H，AOM3T，CH：CO=M2H：OA=CM2：CA=：4，CT：CO=M3T：OA=CM3：CA=：4，CH=M2H=，CT=TM3=，M2（，-4+），M3（，-4-），N2（-1，），N3（-1，-）；当
34、CE为对角线，且四边形CNEM为菱形时，如图所示，取CE的中点K，过点K作MNCE，交AC于点M，K（-，-2），由E（-1，0），C（0，-4）的可知，直线EC的表达式为：y=-4x-4，直线M4N4的表达式为：y=x-，联立，M4（-，-），N4（，-）综上可知，此时点N的坐标为：（-4，-3）或（-1，）或（-1，-）或（，-）【点睛】本题属于二次函数综合题，考查三角形的面积，菱形的存在性等，分类讨论思想；利用分类讨论思想进行正确的讨论是解题的关键10（20212022广东珠海市九年级期中）如图，已知抛物线yax2bxc的顶点D的坐标为（2，9），抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，且
35、B的坐标为（0，5），连接DB、DC，作直线BC（1）求抛物线的解析式；（2）P是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，与CD交于H，与CB交于G，若线段HG把CBD的面积分成相等的两部分，求P点的坐标；（3）若点M在直线CB上，点N在平面上，直线CB上是否存在点M，使以点C、点D、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx24x5；（2）（，0）；（3）存在，点M的坐标为（7，12）或（35，3）或（35，3）或（，）【分析】（1）抛物线yax2bxc的顶点D的坐标为（2，9），可设ya（x2）29，再将点B（0，5）代入，解得a的值，则
36、可得抛物线的解析式；（2）求得直线BC与直线CD的解析式，设点P的坐标为（x，0），则G（x，x5），H（x，3x15）根据SCGHHGCP，将SCGH用含x的式子表示出来，再由SBCDSDKCSDKB，求得SBCD；根据线段HG把CBD的面积分成相等的两部分，得出关于x的方程，解方程并 作出取舍，则可得P点的坐标；（3）设点M的坐标为（m，m5），求得CD的值，再分情况讨论：当CD与DM是菱形的两边时，则CDDM；当DM与CM是菱形的两边时，则CMDM；当DM与CM是菱形的两边时，则CMDM分别得出关于m的等式，解得m的值，则可得点M的坐标【详解】解：（1）抛物线yax2bxc的顶点D的坐标
37、为（2，9），可设ya（x2）29，又抛物线过点B（0，5），代入得：54a9，a1，y（x2）29x24x5，抛物线的解析式为yx24x5；（2）抛物线yx24x5与坐标轴分别交于A、B、C三点，且B的坐标为（0，5），当y0时，x24x50，解得x15，x21，A（1，0），C（5，0），又D（2，9），直线BC的解析式为yx5；设直线CD的解析式为ykxb，将C（5，0），D（2，9）代入，得：，解得：，直线CD的解析式为y3x15设点P的坐标为（x，0），则G（x，x5），H（x，3x15）SCGHHGCP（5x）（3x15x5）（5x）（2x10）（5x）（x5）（x5）2，设抛物线
38、的对称轴交直线BC于点K，如图：顶点D的坐标为（2，9），对称轴为直线x2，K（2，3），DK936，SBCDSDKCSDKB636215，若线段HG把CBD的面积分成相等的两部分，则（x5）215，解得：x1，x2（舍），P（，0）；（3）如图，设点M的坐标为（m，m5），C（5，0），D（2，9），CD3，当CD与DM是菱形的两边时，则CDDM，3，解得m15（不合题意，舍去），m27，点M（7，12）；当CD与CM是菱形的两边时，则CDCM，3，解得m35，点M（35，3）或点M（35，3）；当DM与CM是菱形的两边时，则CMDM，解得m，点M（，）综上所述，点M的坐标为（7，12）或（
39、35，3）或（35，3）或（，）【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、一次函数和二次函数图象上的点的坐标特点、三角形的面积计算、一元二次方程及菱形的性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键11（2021湖北五峰九年级期末）如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点（1）求此抛物线的解析式；（2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为用含的代数式表示线段的长连接，求的面积最大时点的坐标（3）设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、为顶点的
40、四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）的长为；的面积最大时点的坐标为，；（3）点的坐标为，【分析】（1）根据已知抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过点A（1，0）和点B（3，0）代入即可求解；（2）先确定直线BC解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，即可用含m的带上书表示出P和D的坐标进而求解；用含m的代数式表示出PBC的面积，可得S是关于m的二次函数，即可求解；（3）根据（1）中所得二次函数图象和对称轴先得点E的坐标即可写出点三个位置的点M的坐标【详解】解：（1）抛物线经过点和点，与轴交于点，解得，抛物线解析式为；（2）如图：当
41、 则 设，将点、代入得直线解析式为过点作轴的平行线交直线于点，答：用含的代数式表示线段的长为当时，有最大值当时，答：的面积最大时点的坐标为，（3）存在这样的点和点，使得以点、为顶点的四边形是菱形根据题意，点，根据菱形的四条边相等，以为边时，或当以为对角线时，则时，此时重合，答：点的坐标为，【点睛】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起这类试题一般难度较大解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件12如图，对称轴x1的抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（2，0）
42、，B两点，与y轴交于点C（0，2），（1）求抛物线和直线BC的函数表达式；（2）若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点，求BQC的面积的最大值；（3）点P为抛物线上的一个动点，过点P作过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E若点P在第四象限内，当OD4PE时，PBE的面积；（4）在（3）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线表达式为；直线表达式为；（2）BQC的面积的最大值为2（3）PBE的面积为（4）点N的坐标为（，）或（，）或（，）
43、或（，）【分析】（1）首先根据二次函数的对称性求出点B的坐标，然后利用待定系数法把点的坐标代入表达式求解即可；（2）过Q点作QH垂直x轴交BC于点H，连接CQ，BQ，由二次函数表达式设点Q的坐标为（x，），表示出BQC的面积，根据二次函数的性质即可求出BQC的面积的最大值；（3）根据题意设出点P坐标为（m，），E点坐标为（m，），D点坐标为（m，0），表示出OD和PE的长度，根据OD4PE列出方程求出m的值，即可求出PE和BD的长度，然后根据三角形面积公式求解即可；（4）当BD是菱形的边和对角线时两种情况分别讨论，设出点M和点N的坐标，根据菱形的性质列出方程求解即可【详解】解：（1）抛物线的对
44、称轴为x1，A（2，0），B点坐标为（4，0），将A（2，0），B（4，0），C（0，2），代入yax2+bx+c得，解得：，抛物线的表达式为；设直线BC的函数表达式为，将B（4，0），C（0，2），代入得，解得：，直线BC的函数表达式为（2）如图所示，过Q点作QH垂直x轴交BC于点H，交x轴于点M，连接CQ，BQ，设点Q的坐标为（x，），点H的坐标为（x，），HQ=，当时，BQC的面积的最大值为2；（3）设点P坐标为（m，），E点坐标为（m，），D点坐标为（m，0），OD4PE，整理得：，解得：(舍去)，D点坐标为（5，0），BD=1，；（4）如图所示，当BD是菱形的边时，BM是菱形的边时，
45、四边形BDNM是菱形，BD=BM=MN，设M点坐标为（a，），N点坐标为（a+1，），又B点坐标为（4，0），D点坐标为（5，0），BD=1，BD=BM，BD2=BM2，整理得：，解得：，N点坐标为（，）或（，），当BD是菱形的边时，DM是菱形的边时，四边形BDMN是菱形，B点坐标为（4，0），D点坐标为（5，0），BD=MN=DM=1，设M点坐标为（b，），N点坐标为（b-1，），DM2=，BD=DM，BD2=DM2，整理得：，解得：(舍去)，N点坐标为（，）；当BD是菱形的对角线时，四边形BMDN是菱形，B点坐标为（4，0），D点坐标为（5，0），M点横坐标为，将代入得：y=，M点的坐标为
46、（，），又点M和点N关于x轴对称，点N的坐标为（，）综上所述，点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）【点睛】此题考查了一次函数和二次函数表达式的求法，二次函数的性质，二次函数中三角形最大面积问题，菱形存在性问题等知识，解题的关键是根据题意设出点的坐标，表示出三角形面积，根据菱形的性质列出方程求解13如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，以为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点在对称轴上（1）求抛物线解析式；（2）若点从点出发，沿方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点停止，设运动时间为秒，过点作交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于点，连接，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？（3）若点是平面
47、内的任意一点，在轴上方是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）当时，其最大值为1；（3）；点或或【分析】（1）将点的坐标代入二次函数表达式即可求出b,c，即可求出解析式，再求出A点坐标；（2）先求出直线AC的表达式，设点，则点，得点，利用求出t的关系式，再根据二次函数性质进行求解；（3）设点，点，根据当是菱形一条边时，当是菱形一对角线时，分别利用菱形的性质进行列式求解.【详解】解：（1）将点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：，则点；（2）将点的坐标代入一次函数表达式并解得：直线的表达式为：，点，则点，设点，故有最大值，当时，其最大值为1；（3）设点，点，当是菱形一条边时，当点在轴下方时，点向右平移3个单位、向下平移3个单位得到，则点平移3个单位、向下平移3个单位得到，则，而得：，解得：，故点；当点在轴上方时，同理可得：点；当是菱形一对角线时，则中点即为中点，则，而，即，解得：，故，故点；综上，点或或【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、三角形的面积求解及菱形的判定与性质. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司
