1、第六章概率3离散型随机变量的均值与方差3.2离散型随机变量的方差课后篇巩固提升合格考达标练1.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本方差分别为DX甲=11,DX乙=3.4.由此可以估计()A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D.甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较答案B解析DX甲DX乙,乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=13,k=3,6,9,则DX等于()A.6B.9C.3D.4答案A解析EX=313+613+913=6.DX=(3-6)213+(6-6)213+(9-6)213=6.
2、3.随机变量X的分布列如下:X-101Pa13b若EX=13,则DX的值是()A.19B.29C.49D.59答案D解析由题设可得a+b=23,b-a=13a=16,b=12,则DX=-1-13216+0-13213+1-13212=59.4.已知随机变量X的取值为1,2,3,若P(X=3)=16,EX=53,则DX=()A.19B.39C.59D.79答案C解析设P(X=1)=p,P(X=2)=q,所以EX=p+2q+316=53,16+p+q=1,由得,p=12,q=13,所以DX=121-532+132-532+163-532=59.5.已知随机变量,的分布列如下表所示,则()123P1
3、31216123P161213A.EE,DDB.EDC.EE,D=DD.E=E,D=D答案C解析由题意得E=113+212+316=116,D=1-116213+2-116212+3-116216=1736;E=116+212+313=136,D=1-136216+2-136212+3-136213=1736,所以EE,D=D.6.已知随机变量X的分布列为X01xP1213p若EX=23.(1)求DX的值;(2)若Y=3X-2,求DY的值.解由12+13+p=1,得p=16,又EX=012+113+16x=23,所以x=2.(1)DX=0-23212+1-23213+2-23216=1527=
4、59.(2)因为Y=3X-2,所以DY=D(3X-2)=9DX=5.7.有甲、乙两家单位都愿意聘用你做兼职员工,而你能获得如下信息:甲单位不同职位月工资X1/元1 2001 4001 6001 800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1 0001 4001 8002 200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?解根据月工资的分布列,可得EX1=12000.4+14000.3+16000.2+18000.1=1400,DX1=(1200-1400)20.4+(1400-1400)20.3+(1600-14
5、00)20.2+(1800-1400)20.1=40000;EX2=10000.4+14000.3+18000.2+22000.1=1400,DX2=(1000-1400)20.4+(1400-1400)20.3+(1800-1400)20.2+(2200-1400)20.1=160000.因为EX1=EX2,DX1DX2,所以两家单位的工资的期望相等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,我希望不同职位的工资差距小一些,可选择甲单位;如果我希望不同职位的工资差距大一些,可选择乙单位.(言之有理即可)8.甲、乙两人轮流射击,每人每次射击一次,先射中者获胜,射击进行
6、到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为23,乙每次射击命中的概率为25,且每次射击互不影响,约定由甲先射击.(1)求甲获胜的概率;(2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列和数学期望及方差.解(1)记甲第i次射中获胜为Ai(i=1,2,3),则A1,A2,A3彼此互斥,甲获胜的事件为A1+A2+A3,因为P(A1)=23,P(A2)=133523=215,P(A3)=13235223=275,所以P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=23+215+275=6275,即甲获胜的概率为6275.(2)X所有可能的取值为1,2,3,则P(X=1)=23+13
7、25=45,P(X=2)=133523+13351325=425,P(X=3)=1323521=125.所以X的分布列为X123P45425125所以X的数学期望EX=145+2425+3125=3125,X的方差DX=1-3125245+2-31252425+3-31252125=164625.等级考提升练9.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,且x1x2,又已知EX=43,DX=29,则x1+x2的值为()A.53B.73C.3D.113答案C解析EX=23x1+13x2=43,x2=4-2x1,DX=43-x1223+43-x2213=29.x1x2,x1=
8、1,x2=2,x1+x2=3.10.已知的分布列为-101P121316则在下列式子E=-13;D=2327;P(=0)=13,正确的个数是()A.0B.1C.2D.3答案C解析由题意,根据随机变量的分布列的期望与方差的计算公式可得E=(-1)12+013+116=-13,所以正确;D=-1+13212+0+13213+1+13216=59,所以不正确;又由分布列可知P(=0)=13,所以正确.11.设0p1,随机变量的分布列是-101P121-p2p2则当p在(0,1)内逐渐增大时()A.D增大B.D减小C.D先增大后减小D.D先减小后增大答案A解析因为0p1,所以由随机变量的分布列的性质得
9、E=(-1)12+01-p2+1p2=p2-12,D=-12-p2212+12-p221-p2+32-p22p2=-p2-12+54,所以当p在(0,1)内增大时,D递增.12.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有()A.q=0.1B.EX=2,DX=1.4C.EX=2,DX=1.8D.EY=5,DY=7.2答案ACD解析因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;又EX=00.1+10.4+20.1+30.2+40.2=2,DX=(0-2)20.1+(1-2)20.4+(
10、2-2)20.1+(3-2)20.2+(4-2)20.2=1.8,故B不正确,C正确;因为Y=2X+1,所以EY=2EX+1=5,DY=4DX=7.2,故D正确.13.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=13,EX,DX分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是()A.P(X=1)=EXB.E(3X+2)=4C.D(3X+2)=4D.D(X)=49答案AB解析随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=13,所以P(X=1)=23,EX=013+123=23,DX=0-23213+1-23223=29,在A中,P(X=1)=EX,故A正确;在B中,E(3X+2)=3EX+
11、2=323+2=4,故B正确;在C中,D(3X+2)=9DX=929=2,故C错误;在D中,DX=29,故D错误.14.随机变量的取值为0,1,2.若P(=0)=15,E=1,则D=.答案25解析设P(=1)=a,P(=2)=b,则15+a+b=1,a+2b=1,解得a=35,b=15,所以D=(0-1)215+(1-1)235+(2-1)215=25.15.变量的分布列如下:-101Pabc其中2b=a+c,若E=13,则D的值是.答案59解析2b=a+c,且a+b+c=3b=1,b=13,a+c=23.又E=-a+c=13,a=16,c=12,故分布列为-101P161312D=-1-13
12、216+0-13213+1-13212=59.16.为了丰富学生的课余生活,促进校园文化建设,我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺序.求:(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率;(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X,求X的均值和方差.解(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A,则P(A)=A22A44A66=115.所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115.(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X=0)=A22A55A66=13,P(X=1)=4A22A44A66=415,P(X=2)=A42A22A3
13、3A66=15,P(X=3)=A43A22A22A66=215,P(X=4)=A44A22A66=115.随机变量X的分布列为X01234P1341515215115因此,EX=013+1415+215+3215+4115=43.DX=130-432+4151-432+152-432+2153-432+1154-432=149.新情境创新练17.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,
14、求:(1)工期延误天数Y的均值与方差;(2)在降水量至少是300 mm的条件下,工期延误不超过6天的概率.解(1)由已知条件有P(X300)=0.3,P(300X700)=P(X700)-P(X300)=0.7-0.3=0.4,P(700X900)=P(X900)-P(X700)=0.9-0.7=0.2,P(X900)=1-P(X900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是,EY=00.3+20.4+60.2+100.1=3,DY=(0-3)20.3+(2-3)20.4+(6-3)20.2+(10-3)20.1=9.8.故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.(2)由概率的加法公式,P(X300)=1-P(X300)=0.7,又P(300X900)=P(X900)-P(X300)=0.9-0.3=0.6,由条件概率,得P(Y6|X300)=P(X900|X300)=P(300X900)P(X300)=0.60.7=67.故在降水量X至少是300mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是67.8