1、攸县五中第二届“起航杯”数学竞赛高三年级理科 班级_ 姓名_一、选择(10小题共50分, 每题5分)1某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况： 7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； 5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； 11，
2、38，65，92，119，146，173，200，227，254； 30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A、都不能为系统抽样B、都不能为分层抽样C、都可能为系统抽样D、都可能为分层抽样2一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象( ) A B C D3为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则
3、a, b的值分别为( ) A0.27, 78B0.27, 83C2.7, 78D2.7, 834某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元 的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒， 则不同的选购方式共有( ) A 5种 B 6种 C 7种 D 8种5如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示 它们有网线相联连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递则单位时间内传递的最大信息量为( ) A 26 B 24 C 20 D 196在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是(
4、 ) A0B1C2D37向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是( ) 8计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09和字母AF共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制0123456789ABCDEF10进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则AB=( ) A 6E B 72 C 5F D B09有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方
5、体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) A4B5 C6D710设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为( )A. 2B. C. 3D. 选择题答案请填入下表中1 2 3 4 5 6 7 8 910二、填空(5小题共30分, 每空5分)11某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元.12某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资
6、失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是_(元) 13设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则=_1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 114用n个不同的实数a1,a2,an 可得n!个不同的排列, 每个排列为一行写成一个n!行的数阵. 对第i行ai1,ai2,ain, 记bi=- ai1+2ai2-3 ai3+(-1)nnain, i=1,2,3, ,n!. 用1,2,3写成数阵如右, 由于此数阵中每一列各数之和都是12, 所以b1+b2+b6=-12+212-312=-24. 那么, 在用1,2,3,4,5形成的数阵中, b1+b2+b120= 15已
7、知n次多项式, 如果在一种计算方法中，计算（k2，3，4，n）的值需要k1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 次运算 下面给出一种减少运算次数的计算方法：（k0， 1，2，n1）利用该计算方法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要 次运算三、解答(2小题共20分)16(本题满分5分)已知数列满足关，求的值.17(本小题满分15分)第(1)题4分，第(1)题5分，第(1)题6分.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意xR，有f(x+T)=T f(x)成立. (1) 函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由； (2) 设函数
8、f(x)=ax（a0,且a1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=axM； (3) 若函数f(x)=sinkxM ,求实数k的取值范围. 答案: 一、D A A C D B B A C C二、500； 4760； 0； -1080； n(n3)；2n三、16解：设即故数列是公比为2的等比数列，。17解：(1) 对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意xR，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)= (2) 因为函数f(x)=ax（a0且a1）的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：有解，消去y得ax=x,显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零
9、常数T，使aT=T. 于是对于f(x)=ax有 故f(x)=axM.(3) 当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0M.当k0时，因为f(x)=sinkxM，所以存在非零常数T，对任意xR，有f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .因为k0，且xR，所以kxR，kx+kTR，于是sinkx 1，1，sin(kx+kT) 1，1，故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2m, mZ . 当T=1时，sin(kxk)=sinkx 成立，即sin(kxk+)= sinkx 成立，则k+=2m, mZ ，即k=2(m1) , mZ .综合得，实数k的取值范围是k|k= m, mZ