1、7.2 复数的四则运算 7.2.2 复数的乘、除运算 第七章 复数 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握复数的乘法和除法运算(重点、难点)2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(易混点)1通过学习复数乘法的运算律，培养逻辑推理的素养 2借助复数的乘除运算，提升数学运算的素养 情境导学探新知 NO.1 两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？问题：(1)多项式(ab)(cd)的运算结
2、果是什么？(2)复数(abi)(cdi)的运算结果是什么？知识点1 复数的乘法 1复数代数形式的乘法法则 已知z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i2复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3C，有 交换律z1z2z2z1 结合律(z1z2)z3_ 乘法对加法的分配律 z1(z2z3)_ z1z2z1z3z1(z2z3)(1)复数的乘法与多项式的乘法有何不同？(2)|z|2z2，正确吗？提示(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部、虚部分别合并(2)不正确例如，|i|21，而i21 1
3、复数(32i)i等于()A23i B23i C23iD23i B(32i)i3i2ii23i，选B 2已知复数(a2i)(1i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是_ 2(a2i)(1i)aai2i2i2a2(a2)i，其实部为0，a20，a2 知识点2 复数的除法法则(abi)(cdi)acbdc2d2 bcadc2d2i(a，b，c，dR，且cdi0)3已知i是虚数单位，则3i1i()A12i B2i C2i D12i D 3i1i3i1i1i1i24i212i 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型4 类型1 复数代数形式的乘法运算【例1】(1)若复数(1i)(ai
4、)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A(，1)B(，1)C(1，)D(1，)(2)计算：(23i)(23i)；(1i)2；(2i)(32i)(13i)(1)B z(1i)(ai)(a1)(1a)i，因为对应的点在第二象限，所以a10，解得a1，故选B(2)解(23i)(23i)22(3i)222(9)13(1i)212ii212i12i 原式(64i3i2i2)(13i)(8i)(13i)824ii3i2 525i 1两个复数代数形式乘法的一般方法 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等 2常用公式(1)(a
5、bi)2a22abib2(a，bR)；(2)(abi)(abi)a2b2(a，bR)；(3)(1i)22i 跟进训练 1(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是()Ai(1i)2Bi2(1i)C(1i)2Di(1i)(2)复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_(1)C(2)5(1)A项，i(1i)2i(12ii2)i2i2，不是纯虚数 B项，i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数 C项，(1i)212ii22i，是纯虚数 D项，i(1i)ii21i，不是纯虚数 故选C(2)(12i)(3i)3i6i2i255i，所以z的实部是5 类型2 复数代数形式的除法运算【例2】(对接教材P
6、79例5)(1)3i1i()A12iB12i C2iD2i(2)若复数z满足z(2i)117i(i是虚数单位)，则z为()A35iB35i C35iD35i(1)D(2)A(1)3i1i3i1i1i1i42i22i(2)z(2i)117i，z117i2i 117i2i2i2i 1525i535i 1两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式 2常用公式(1)1ii；(2)1i1ii；(3)1i1ii 跟进训练 2已知i为虚数单位，则 i1i的实部与虚部之积是()A14 B14
7、 C14i D14i A 因为 i1ii1i1i1i1212i，所以 i1i的实部与虚部之积是14 3计算：1i1i8_ 1 法一：1i1i81i1i2 42i2i4(1)41 法二：因为1i1i1i21i1i2i2i，所以1i1i8i81 类型3 在复数范围内解方程【例3】在复数范围内解下列方程(1)x250；(2)x24x60 解(1)因为x250，所以x25，又因为(5i)2(5i)25，所以x 5i，所以方程x250的根为 5i(2)法一：因为x24x60，所以(x2)22，因为(2i)2(2i)22，所以x2 2i或x2 2i，即x2 2i或x2 2i，所以方程x24x60的根为x2
8、 2i 法二：由x24x60知424680，所以方程x24x60无实数根 在复数范围内，设方程x24x60的根为xabi(a，bR且b0)，则(abi)24(abi)60，所以a22abib24a4bi60，整理得(a2b24a6)(2ab4b)i0，所以a2b24a60，2ab4b0，又因为b0，所以a2b24a60，2a40，解得a2，b 2 所以x2 2i，即方程x24x60的根为x2 2i 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2bxc0a0的求解方法 1求根公式法 2利用复数相等的定义求解,设方程的根为xmnim，nR，将此代入方程ax2bxc0a0，化简后利用复数相等的定义求解.跟进
9、训练 4在复数范围内解方程2x23x40 解 因为b24ac32424932230，所以方程2x23x40的根为x3 23i223 23i4 类型4 复数运算的综合问题【例4】(1)已知复数z3i1 3i2，z 是z的共轭复数，则z z等于()A14 B12 C1 D2(2)已知复数z满足|z|5，且(12i)z是实数，求 z 1若zz，则z是什么数？这个性质有什么作用？提示 zzzR，利用这个性质可证明一个复数为实数 2若z0且zz0，则z 是什么数？这个性质有什么作用？提示 z0且z z 0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数 3三个实数|z|，|z|，z z具有怎样的关系
10、？提示 设zabi(a，bR)，则zabi，所以|z|a2b2，|z|a2b2 a2b2，z z(abi)(abi)a2(bi)2a2b2，所以|z|2|z|2z z(1)A z3i1 3i2 3i2i1 3i2 i1 3i1 3i2 i1 3i i1 3i4 34 i4，z 34 i4，z z14(2)解 设zabi(a，bR)，则(12i)z(12i)(abi)(a2b)(b2a)i又因为(12i)z是实数，所以b2a0，即b2a，又|z|5，所以a2b25解得a1，b2或a1，b2.所以z12i或z12i，所以z12i或z12i 1在题设(1)条件不变的情况下，求zz 解 由例题(1)的
11、解析可知z 34 i4，z 34 i4，z z 14，zz z2z z 34 i421412 32 i 2把题设(2)的条件“(12i)z是实数”换成“(12i)z是纯虚数”，求 z 解 设zabi(a，bR)，则 z abi，(12i)z(12i)(abi)(a2b)(b2a)i又因为(12i)z是纯虚数，所以a2b，b2a0，由|z|a2b2 5b2 5，得b1，a2；或 b1，a2所以z2i，或z2i 1由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数 2注意共轭复数的简单性质的运用 跟进训练 5已知z1，z2是复数，定
12、义复数的一种运算“”：z1z2z1z2，|z1|z2|，z1z2，|z1|z2|.当z13i，z223i时，z1z2()A 3131113i B52i C 3131113iD52i A 由|z1|3212 10，|z2|2232 13，知|z1|z2|，故z1z2z1z23i23i3i23i23i23i311i133131113i，故选A 当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1复数 21i的虚部是()A1 Bi Ci D1 D 复数 21i21i1i1i21i21i，复数 21i的虚部是1 1 2 3 4 5 2mR，i为虚数单位，若(mi)(23i)5i，则m的值为()A1B1 C2
13、D2 A 由(mi)(23i)(2m3)(23m)i5i，得2m35，23m1，解得m1 1 2 3 4 5 3已知复数z2i，则z z的值为()A5B 5 C3D 3 A z z(2i)(2i)22i2 415 1 2 3 4 5 4若复数z满足z(1i)2i(i为虚数单位)，则|z|()A1B2 C 2D 3 C 因为z(1i)2i，所以z2i1i 2i1i21i，故|z|1212 2 1 2 3 4 5 5已知复数z1(1i)(1bi)，z2a2i1i，其中a，bR若z1与z2互为共轭复数，则a_，b_ 1 2 3 4 5 2 1 z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i,z2
14、a2i1i a2i1i1i1i aai2i22a22 a22 i 由于z1和z2互为共轭复数，所以有 a22 b1，a22 1b，解得a2，b1.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)复数代数形式的乘法法则和运算律各是什么？(2)复数的除法法则是什么？(3)如何在复数范围内解方程？数学阅读拓视野 NO.4利用复数产生分形图 以前我们学过的函数，定义域都是实数集的子集但函数概念还可以推广：定义域是复数集的子集的函数称为复变函数类似地，我们还可以得到多项式复变函数的概念例如，f(z)z2就是一个多项式复变函数，此时 f(i)i21，f(1i)(1i)22i 给定多项式复变函数f(z)之后，对任意一
15、个复数z0，通过计算公式zn1f(zn)，nN可以得到一列值 z0，z1，z2，zn，如果存在一个正数M，使得|zn|M对任意nN都成立，则称z0为f(z)的收敛点；否则，称z0为f(z)的发散点f(z)的所有收敛点组成的集合称为f(z)的充满茹利亚集 例如，当f(z)z2时，如果z0i，则得到的一列值是 i，1,1,1，1，；如果z01i，则算出的一列值是 1i,2i，4，22n1，显然，对于f(z)z2来说，i为收敛点，1i为发散点事实上，利用|z2|z|2可以证明，f(z)z2的充满茹利亚集是一个单位圆盘(即由满足|z|1的所有z组成的集合)让人惊讶的是，当f(z)z2c时，对于某些复数c来说，f(z)的充满茹利亚集是非常复杂的如果利用计算机对不同形态的收敛点和发散点进行不同的着色，就可以得到与本章导语所示类似的分形图而且，如果按照一定的规则对c进行分类，并进行着色，可以得到如图所示的芒德布罗分形图 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
