1、1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1(a10，q0)3等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，G2ab，G.我们称G为a，b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，an
2、bn，仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.【知识拓展】等比数列an的单调性(1)满足或时，an是递增数列(2)满足或时，an是递减数列(3)当时，an为常数列(4)当q0时，an为摆动数列【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果数列an为等比数列，bna
3、2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()1(教材改编)已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()A B2C2 D.答案D解析由题意知q3，q.2(2016南昌一模)若等比数列an的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为()A. B. C1 D2答案D解析设等比数列an的首项为a1，公比为q，因为前4项的和为9，积为，所以9，且aq123aq6，即aq3，所以2，故选D.3设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6等于()A31 B32 C63 D64答案C解析根据题意知，等比数列an的公比不是1
4、.由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.故选C.4(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_答案27,81解析设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327,27381.5设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.答案11解析设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，11.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2015课标全国)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2等于()A2 B1 C. D.(2)已知
5、等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则_.答案(1)C(2)2n1解析(1)由an为等比数列，得a3a5a，又a3a54(a41)，所以a4(a41)，解得a42.设等比数列an的公比为q，则由a4a1q3，得2q3，解得q2，所以a2a1q.故选C.(2)由除以可得2，解得q，代入得a12，an2()n1，Sn4(1)，2n1.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5等于()A. B. C.
6、D.(2)(2015湖南)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.答案(1)B(2)3n1解析(1)显然公比q1，由题意得解得或(舍去)，S5.(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S23S1S3，可得a33a2，所以公比q3，故等比数列通项ana1qn13n1.题型二等比数列的判定与证明例2设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11及Sn14an2，得a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又由，得an14an4an1(n2
7、)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)解由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，故an(3n1)2n2.引申探究若将本例中“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)”，其他不变，求数列an的通项公式解由已知得n2时，Sn2Sn1n.Sn1Sn2Sn2Sn11，an12an1，an112(an1)，n2，(*)又a11，S2a1a22a12，即a212(a11)，当n1时(*)式也成立，故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列，an122n12n，an2n1.思维升华(1
8、)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明：an是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：.证明(1)由an13an1，得an13(an)又a1，所以an是首项为，公比为3的等比数列所以an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1(1)，所以.题型三等比数列性质的应用例3(1)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则l
9、n a1ln a2ln a20_.(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若，则_.答案(1)50(2)解析(1)因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.(2)方法一S6S312，an的公比q1.由，得q3，.方法二an是等比数列，且，公比q1，S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即(S6S3)2S3(S9S6)，将S6S3代入得.思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可
10、以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口(1)已知在等比数列an中，a1a410，则数列lg an的前4项和等于()A4 B3C2 D1(2)设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. BC. D.答案(1)C(2)A解析(1)前4项和S4lg a1lg a2lg a3lg a4lg(a1a2a3a4)，又等比数列an中，a2a3a1a410，S4lg 1002.(2)因为a7a8a9S9S6，且公比不等于1，在等比数列中，S3，S6S3，S9S6也成
11、等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以有8(S9S6)(1)2，S9S6，即a7a8a9.13分类讨论思想在等比数列中的应用典例(12分)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：Sn(nN)思想方法指导(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明规范解答(1)解设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.2分又a1，所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.3分
12、(2)证明由(1)知，Sn1n，Sn1n6分当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1.8分当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.10分故对于nN，有Sn.12分1在各项均为正数的等比数列an中，a31，a51，则a2a2a6a3a7等于()A4 B6C8 D84答案C解析在等比数列中，a3a7a，a2a6a3a5，所以a2a2a6a3a7a2a3a5a(a3a5)2(11)2(2)28.2(2016珠海模拟)在等比数列an中，若a10，a218，a48，则公比q等于()A. B.C D.或答案C解析由解得或又a10，因此S2030，S20S1020，S30S2040，故S4
13、0S3080，S40150.9已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn1(nN)，则通项an_.答案解析anSn1，a1，an1Sn11(n2)，由，得anan1an0，即(n2)，数列an是首项为，公比为的等比数列，则an()n1.10已知数列an的首项为1，数列bn为等比数列且bn，若b10b112，则a21_.答案1 024解析b1a2，b2，a3b2a2b1b2，b3，a4b1b2b3，anb1b2b3bn1，a21b1b2b3b20(b10b11)102101 024.11已知an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示an的前n项和(1)求an及Sn；(2)设bn是首项为2的等
14、比数列，公比q满足q2(a41)qS40，求bn的通项公式及其前n项和Tn.解(1)因为an是首项a11，公差d2的等差数列，所以ana1(n1)d2n1.故Sn13(2n1)n2.(2)由(1)得a47，S416.因为q2(a41)qS40，即q28q160，所以(q4)20，从而q4.又因为b12，bn是公比q4的等比数列，所以bnb1qn124n122n1.从而bn的前n项和Tn(4n1)12(2016全国丙卷)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由题意，得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an1
15、0，得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.13已知数列an中，a11，anan1n，记T2n为an的前2n项的和，bna2na2n1，nN.(1)判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.解(1)anan1n，an1an2n1，即an2an.bna2na2n1，a11，a1a2，a2b1a1a2.bn是首项为，公比为的等比数列bnn1.(2)由(1)可知，an2an，a1，a3，a5，是以a11为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，是以a2为首项，以为公比的等比数列，T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)3.